Задание 5

Задачи 5.01-5.10. 25.03, 24.97, 24.78, 25.32, 24.91, 24.65, 24.72, 25.35, 24.91, 25.37, n =10, γ = 0.95.

Найдем точечные оценки параметров нормального распределения генерального признака, для чего составим расчетную таблицу

	Номер					xi							xi −						(x −			)2
																x
																x					x
	наблюдения																			i
	1				25.03								0.03						0.0009
	2				24.97								-0.03						0.0009
	3				24.78								-0.22						0.0484
	4				25.32								0.32						0.1024
	5				24.91								-0.09						0.0081
	6				24.65								-0.35						0.1225
	7				24.72								-0.28						0.0784
	8				25.35								0.35						0.1225
	9				24.91								-0.09						0.0081
	10				25.37								0.037						0.1369
	∑				250.01								0.01						0.6291
Находим несмещенную оценку для a
	a =				= 1				∑xi = 250.01								= 25.00,
	a =			x	= 1				∑xi = 250.01								= 25.00,
						n				i		10
Несмещенная оценка для σ :
	σ = S =													=
		∑(xi −										)2 /(n −1)								= 0.264.
		∑(xi −						x				)2 /(n −1)						0.6291 9		= 0.264.
		i
По таблицам распределения Стьюдента при доверительной
вероятности 1 −α =γ = 0.95					и числу степеней свободы ν = n −1 =10 −1 =9
находим квантиль распределения [ 1, 3 ]
		tα				=tα						=t0.025;9 = 2.262 .
2				;n−1						2		;ν
2										2
Предельная погрешность точечной оценки математического ожидания
	ε = tα					S					= 2.262 0.				264		= 0.189.
	ε = tα										= 2.262 0.				264		= 0.189.
2			;ν				n					10

Искомый доверительный интервал для математического ожидания a :

(x −ε; x + ε )= (25.00 − 0.189; 25.00 + 0.189)= (24.811; 25.189).

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения имеет вид

S γ1 <σ < S γ 2 ,

где

γ1 =	n −1			, γ 2 =	n −1			(*)
	χα2	;n−1			χ2	α	;n−1

	2				1−	2
Коэффициенты γ1
	и γ2		соответствуют доверительной вероятности

γ =1 −α и числу степеней свободы ν = n −1 случайной величины χ 2 . По


таблицам [ 1, 3 ] при 1 −α = 0.95			и ν = 9 находим γ1 = 0.688			и γ 2 =1.826 .
Тогда доверительный интервал для σ :
0.264 0.688 <σ < 0.264 1.826 или 0.182 <σ < 0.482 .
Замечание. Построение доверительных интервалов для а						и σ можно
проводить и по методике, изложенной в [ 2, 4 ].
Предельная погрешность оценки
ε = t	S		= 2.26 0.	264	= 0.189.

γ		n	10

Здесь tγ = 2.26 найдено по таблице [ 6 ] при n = 10 и γ = 0.95. Доверительный 95% интервал для а:

(x −ε; x + ε)= (25.00 − 0.189; 25.00 + 0.189)= (24.811; 25.19).

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения

S(1 − q) <σ < S(1 + q), q <1,

где q находят по таблице по заданным значениям n и γ .

В нашем случае n =10, γ = 0.95 , поэтому q = 0.65, следовательно,

0.264 (1 − 0.65) <σ < 0.264 (1 + 0.65) 0.092 <σ < 0.436.

Задачи 5.11-5.20.

xi	4.60	4.62	4.64	4.66	4.68	4.70	4.72	4.74	4.76
ni	2	7	12	20	28	15	11	4	1

Вычислим точечные оценки параметров нормального распределения. Переходя к условным вариантам ui = (xi – 4.68)/0.02, составим таблицу:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]