Решение типового варианта

Задание 1

Задачи 1.01-1.05. к =5; р = 0,1; S = 3.

Рассмотрим события: Аi = {в i - ом измерении достигнута заданная точность}, i = 1,2,…,5. По условию задачи P(Ai ) = pi = p = 0.9 ;

P(Ai ) =1− pi = qi = q = 0.1.

а) Пусть А – событие того, что во всех проведенных измерениях достигнyта заданная точность. Следовательно, A= A1 A2 A3 A4 A5 . По

теореме умножения будем иметь

P(A) = P(A1 A2 A3 A4 A5 ) = P(A1 ) P(A2 ) P(A3 ) P(A4 ) P(A5 ) = = p5 = 0.95 = 0.5905.

б) Если В – событие того, что по крайней мере в трех измерениях

Условиями приемки допускается не более 2% бракованных изделий среди 50 (что составляет 40%) проверенных, т.е. не более одного. Введем события: А0={при проверке не обнаружено ни одного бракованного изделия}, А1={среди отобранных для проверки 50 изделий обнаружено одно бракованное}. Партия из 125 изделий, содержащая 4% брака (т.е. 5 бракованных изделий), будет принята (событие А), если наступит либо событие А0, либо событие А1. Таким образом, А=А0+А1. Но события А0 и А1 несовместны, поэтому

P(A) = P(A0 + A1) = P(A0 ) + P(A1) .

25

Аналогично находим вероятность события А1:

а) Имеем событие А={участок выполнил план}. Это событие произойдет, если произойдут одновременно события А1, А2 и А3, т.е. A= A1 A2 A3, откуда

P(A) = P(A1 A2 A3 ) = P(A1) P(A2 ) P(A3 ) = 0.7 0.9 0.8 = 0.504.

б) Пусть В – событие того, что план выполнила только одна из бригад.

Значит B = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 . Переходя в этом равенстве к вероятностям, получим

P(B) = P(A) P(A1) P(A2 ) + P(A1) P(A2 ) P(A3 ) + P(A1) P(A2 ) P(A3 ) = = 0.7 0.1 0.2 + 0.3 0.9 0.2 + 0.3 0.1 0.8 = 0.092.

в) События F = {хотя бы одна бригада выполнила план} и F = {ни одна из бригад не выполнила план} противоположны. Так как

P(F ) + P(F ) =1, то

P(F ) =1− P(F ) =1−0.3 0.1 0.2 = 0.994.

Задачи 1.16-1.20. N = 20, S = 8, r = 5, k = 7.

Искомое событие F = {два определенных студента попадут на практику

26

Задачи 1.21-1.26. Схема соединения элементов имеет вид:

то будем иметь: B = (A1 + A2 ) A3 A4 . События А1 и А2 совместны, поэтому

P(B) = P((A1 + A2 ) A3 A4 ) = P(A1 + A2 ) P(A3 ) P(A4 ) = = (1− P(A1) P(A2 )) P(A3 ) P(A4 ) = (1− q1q2 ) p3 p4 = = (1−0.22 ) 0.85 0.9 = 0.7344.

Задачи 1.27-1.30. р1 = 0.9, р2 = 0.85, р3 =0.75.

Рассмотрим события: Di = {попадание в мишень при i - ом выстреле}, i=1,2,3. По условию задачи P(D1)=0.9, P(D2)=0.85, P(D3)=0.75, P(D1) = 0.1,

P(D2 ) = 0.15, P(D3 ) = 0.25.

а) Так как А=D1+D2+D3, то переходя к вероятностям, получим

P(A) = P(D1 + D2 + D3 ) =1− P(D1) P(D2 ) P(D3 ) = =1−0.1 0.15 0.25 = 0.9962.

б) Событие В реализуется через события Di и Di следующим образом

B = D1D2 D3 + D1 D2 D3 + D1D2 D3 + D1D2 D3.

Следовательно,

P(B) = P(D1)P(D2 )P(D3 ) + P(D1)P(D2 )P(D3 ) + P(D1)P(D2 )P(D3 ) +

+P(D1)P(D2 )P(D3 ) = 0.9 0.85 0.25 + 0.9 0.15 0.75 + 0.1 0.85 0.75 +

+0.9 0.85 0.75 = 0.3563.

в) Имеем C = D1(D2 +D3) , откуда

P(C) = P(D1)P(D2 + D3 ) = P(D1)(1− P(D2 ) P(D3 )) =. = 0.1 (1−0.15 0.25) = 0.0963

27

Задание 2

Задачи 2.01-2.05. α = 45, β = 25,γ = 30,δ1 = 2,δ2 = 3,δ3 = 5,i =1.

Возможны гипотезы: Нi ={поступившее на сборку изделие с i -го конвейера}, i = 1,2,3. Вероятности гипотез: Р(Н1) = 0.45, Р(Н2) = 0.25,

Р(Н3)=0.30.

Пусть событие А = {поступившее на сборку изделие – бракованное}. При данных гипотезах условные вероятности события А заданы:

Р(А/Н1)=0.02, Р(А/Н2)=0.03 и Р(А/Н3)=0.05.

Следовательно,

P(A) = P(H1) P(A/ H1) + P(H2 ) P(A/ H2 ) + P(H3 ) P(A/ H3 ) =

= 0.45 0.02 + 0.25 0.03 + 0.30 0.05 = 0.0315

Пусть событие А = {безотказная работа реле в жарких странах}. По отношению к событию А введем следующие гипотезы:

28

Н0 = {реле работает при отсутствии помех}; Н1 = {помехой в работе реле служит только перегрев};

Н2 = {помехой в работе реле служит только вибрация}; Н3 = {реле работает при наличии двух помех: вибрации и перегрева}.

Вычислим вероятности гипотез Нi, i=0,1,2,3. Для этого рассмотрим события: В={перегрев}, С={вибрация}, причем Р(В)=q1=0.2, P(C)=q2=0.1.

Тогда H0 = B C , откуда

P(H0 ) = P(B C) = P(B) P(C) = 0.8 0.9 = 0.72.

Аналогично находим

P(H1) = P(B C) = P(B) P(C) = 0.2 0.9 = 0.18,

P(H2 ) = P(B C) = P(B) P(C) = 0.8 0.1 = 0.08,

P(H3 ) = P(B C) = P(B) P(C) = 0.2 0.1 = 0.02.

связаны гипотезы Нi ={изделие обработано на i -ой линии}, i=1,2,3. По условию задачи

29