Н4 = {другие причины, вызывающие отказ предохранителя}.
До опыта вероятности гипотез равны: Р(Н1)=0.25, Р(Н2)=0.15, Р(Н3)=0.32, Р(А /Н4) = 0.28. Условные вероятности события А при этих
гипотезах: Р(А/Н1)=0.4, Р(А/Н2)=0.6, Р(А/Н3)=0.8, Р(А/Н4)=0.3.
Пересчитаем вероятности гипотез после наступления события А:
P(H1 |
/ A) = |
|
P(H1) P(A/ H1) |
= |
|
|
|
0.25 0.4 |
|
|
|
= |
|||||
|
|
|
0.25 0.4 + 0.15 0.6 + 0.32 0.8 |
+ 0.28 |
0.3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
P(A) |
|
|
|
|||||||||
= |
0.1 |
|
= 0.1887, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0.53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
P(H 2 / A) = |
P(H 2 ) P(A/ H 2 ) |
= |
0.15 0.6 |
= 0.1698 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0.53 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P(A) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
P(H3 / A) = |
|
P(H3 ) P(A/ H3 ) |
|
= |
0.32 0.8 |
= 0.4830 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
P(A) |
0.53 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
P(H 4 / A) = |
P(H 4 ) P(A/ H 4 ) |
= |
0.28 0.3 |
= 0.1585 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0.53 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P(A) |
|
|
|
|
|
|
|||
После отказа предохранителя, наиболее вероятной причиной, вызвавшей этот отказ, является пробой конденсатора.
Задачи 2.26-2.30. N = 8, r = 2, β = 5.
Определим события:
А = {изделие, взятое из пополненного ящика, не бракованное},
Нi = {из двух изделий, добавленных в ящик, i – бракованных}, i = 0,1,2. Вычислим вероятности гипотез:
Р(Н0)=0.952=0.9025, Р(Н1)= 2 0.95 0.05 = 0.095, Р(Н2)=0.052=0.0025.
Условные вероятности события А при гипотезах Нi: Р(А/Н0)=1,
Р(А/Н1)=0.9, Р(А/Н2)=0.8.
Воспользуемся формулой полной вероятности:
P(A) = 0.9025 1+0.095 0.9 +0.0025 0.8 = 0.99.
Задание 3
Задачи 3.01-3.05. i = 4, p1 = 0.12, p2 = 0.18, p3 = 0.4, p4 = 0.3, N =20.
а) Закон распределения случайной величины Х имеет вид
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
р |
0.12 |
0.18 |
0.4 |
0.3 |
б) Математическое ожидание дискретной СВХ равно
4
M(X) = ∑xi pi =1 0.12 + 2 0.18 + 3 0.4 + 4 0.3 = 2.88.
i=1
30
Дисперсия случайной величины Х
4
D(X) = M(X 2 ) − M 2 (X) = ∑xi2 pi − M 2 (X) =1 0.12 + 4 0.18 + 9 0.4 +
i=1
+16 0.3 − 2.882 = 9.24 − 2.882 = 0.9456.
Среднее квадратическое отклонение
σ x = 
D(X) = 
0.9456 = 0.97.
в) Среднее число проб, необходимых для сборки одного прибора, равно М(Х). Следовательно, для сборки 20 приборов в среднем необходимо
20M(X) = 2.88 20 = 57.6 ≈ 58 |
|
проб. |
Итак, для |
сборки |
20 приборов |
|||||||||
потребуется в среднем 58 деталей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задачи 3.06-3.10. М(Х) = 3.8, |
D(Х) = 0.16, р1 |
= 0.2. |
|
|||||||||||
Пусть Р(Х = х2) = р2, тогда р2 |
= 1-р1 |
= 1-0.2 = 0.8. Для определения х1 и |
||||||||||||
х2 используем условия: М(Х) = 3.8 |
|
и D(Х) = 0.16, М(Х) = 0.2х1 + 0.8х2 = 3.8, |
||||||||||||
D(X) = 0.2x2 |
+ 0.8x2 − 3.82 = 0.16. Таким образом, |
имеем систему уравнений |
||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 4x =19 |
x =19 − 4x |
2 |
|
|
x =19 − 4x |
|||||||||
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x1 + 4x2 = 73 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5x2 − 38x2 + 72 = 0. |
|||||
(19 − 4x2 ) + 4x2 = 73 |
|
|||||||||||||
Пара точек (3;4) |
|
23 |
; |
18 |
|
есть решение системы. |
Очевидно, что |
|||||||
и |
5 |
5 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вторая пара неудовлетворяет условию x1 < x2 . Значит закон распределения СВХ имеет вид
|
|
Х |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
р |
|
|
0.2 |
0.8 |
|
|
|
0; |
x ≤ 0, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
Задачи 3.11-3.16. |
|
x2 |
|
|
|||
F (X) = |
|
; 0 < x ≤ 2, |
|||||
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
1; |
x > 2. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
а) Плотность распределения вероятностей СВХ имеет вид
0; x ≤ 0,
f (x) = F '(x) = 12 x; 0 < x ≤ 2,
0; x > 2.
б) Математическое ожидание СВХ:
2 |
1 x xdx = |
1 x3 |
|
02 = |
4 . |
M(X) = ∫ |
|
||||
0 |
2 |
6 |
|
|
3 |
|
|
Дисперсия СВХ:
31
|
|
|
|
2 |
1 x x2 dx |
− 16 |
= 1 x4 |
|
02 |
|
|
16 = |
2 − 16 = |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
D(X) = ∫ |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
9 |
8 |
|
|
|
|
|
9 |
9 |
9 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
в) Строим графики функций F(x) и f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
F(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Задачи 3.17-3.20. |
n = 150, m = 50. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
а) Стоимость выигрыша есть случайная величина Х, принимающая три |
|||||||||||||||||||||||||||||
возможных значения х1 = 0, х |
2 = 50, х 3 |
= 150. |
Найдем вероятности, |
с |
|||||||||||||||||||||||||
которыми величина Х принимает свои значения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
P(X = 0) = 5 |
5 = 25 ; P(X = 50) = 2 1 |
5 |
= 10 |
; P(X =150) = |
1 |
1 |
= |
1 |
. |
||||||||||||||||||
6 |
36 |
||||||||||||||||||||||||||||
6 |
6 |
|
36 |
|
|
|
6 |
6 |
36 |
|
|
6 |
|
|
|||||||||||||||
Следовательно, закон распределения Х примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
|
|
|
0 |
|
|
50 |
|
150 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
р |
|
|
|
25 |
|
|
10 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
36 |
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) Математическое ожидание Х:
M(X) = 0 3625 + 50 1036 +150 361 =18.05
Дисперсия случайной величины Х:
D(X) = 0 3625 + 502 1036 +1502 361 −18.052 = 475.00 −18.052 = 47174.20
в) Среднее ожидаемое значение выигрыша равно 18.05 долларов. Поэтому билет должен стоить не менее 18.05 долларов.
0; x ≤1,
Задачи 3.21-3.26. f (x) = A(2x −1); 1 < x ≤ 2,
0; x > 2.
32
а) Из условия нормировки будем иметь
∞ |
|
|
|
2 |
|
|
−1)dx = A(x2 − x) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
A ∫ (2x −1)dx =1 A∫(2x |
|
|
|
|
=1 A= |
|
|
||||||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, функция плотности запишется в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0; |
|
x ≤1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 < x ≤ 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
f (x) = 0.5(2x −1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x > 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) Находим числовые характеристики СВХ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
M(X) = |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
x3 |
|
|
− |
1 |
|
|
= |
19 |
, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
∫x(2x −1)dx = |
2 |
∫(2x2 − x)dx = |
2 |
|
3 |
|
|
2 |
x2 |
|
|
|
12 |
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
2 |
|
19 |
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
19 |
2 |
|
11 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
D(X) = |
|
∫x2 (2x −1)dx − |
|
|
|
|
= |
|
|
x4 − |
|
|
x3 |
|
|
|
|
− |
|
|
= |
|
|
|
. |
||||||
2 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
144 |
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
12 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
12 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) Строим график функции f(x):
f(x)
3/2
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
2 |
x |
|
Задачи 3.27-3.30. |
t1 |
= 1.55, |
t2 |
= 0.35, |
t3 = 1.20, n = 4. |
||
а) В нашем случае |
|
t1 = t2 + t3, т.е. время, в течение которого светофор |
|||||
разрешает проезд (зеленый свет), равно времени, при котором проезд запрещен (желтый и красный свет). Значит, вероятность того, что светофор
пропустит или задержит машину, одна и та же и равна p = 12 . Случайная
величина Х может принимать значения 0,1,2,3,4 соответственно с вероятностями, которые находятся по формуле Бернулли:
|
0 |
0 |
q |
4 |
= |
|
1 |
4 |
= 0.0625, |
|||
P(X = 0) = C4 p |
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P(X =1) |
= C41 p1q3 |
|
|
|
1 |
4 |
||||||
= 4 |
2 |
|
= 0.2500, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P(X = 2) |
= C42 p2 q2 |
= 6 |
|
|
1 |
|
4 |
|||||
|
2 |
|
= 0.3750, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
33