Интерполяционные квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (квадратурные формулы Гаусса - Кристоффеля)

Точность интерполяционной квадратурной формулы можно существенно повысить путем рационального выбора узлов . Задача получения более точной квадратурной формулы формулируется следующим образом:

построить квадратурную формулу

, (8)

которая при заданном была бы точной для полиномов возможно большой степени. Обратите внимание, что в формуле (8) для удобства изложения нумерация узлов начинается с . Построение такой формулы заключается в надлежащем выборе коэффициентов и узлов. Такие формулы существуют. Они называются квадратурными формулами наивысшей алгебраической степени точности или квадратурными формулами Гаусса – Кристоффеля или квадратурными формулами Гаусса. Эти формулы точны для любого алгебраического многочлена степени .

Таким образом, для любых существует, причем единственная, квадратурная формула наивысшей алгебраической степени точности вида(8).Узлы этой формулы совпадают с корнями ортогонального на с весомполинома степени , а коэффициенты определяются формулой:

Узлы и соответствующие им веса квадратурной формулы Гаусса рассчитываются заранее для различных весовых функций и сводятся в таблицу. Приведем пример квадратурной формулы Гаусса.

Квадратурная формула Гаусса-Лежандра

Квадратурная формула Гаусса-Лежандра используется для вычисления интеграла с единичной весовой функцией =1 на конечном отрезке , т.е. интеграл вида

Этот интеграл линейной заменой переменных

приводится к виду

=

На отрезке ортогональны с весом =1 полиномы Лежандра

.

Узлы квадратурной формулы в этом случае выбираются равными корням полинома Лежандра . Квадратурная формула имеет вид

В таблице в качестве примера приведены узлы и коэффициенты для этой формулы при использовании двух, трех и четырех узлов.

Таблица – Узлы и коэффициенты квадратурной формулы Гаусса-Лежандра

Число узлов	Значение улов	Значение весовых коэффициентов
2	0,577350	1
3	0 0,774597
4	0,339981 0,861136	0,652145 0,347855

Рассмотрим данные методы на примере.

Вычислим . Этот интеграл сводится к табличному и он равен , его значение:

Разобьем отрезок интегрирования [0,1] на 5 равных частей (5 частичных отрезков). Количество узлов – 6.В нашем случае a = 0, b = 1. Вычислим h.

h = 0, 2.

Интегрируемая функция

Вычислим значения функции в узлах: 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.

Для оценки погрешности вычислим производные 1, 2 и 4 – го порядка:

Максимальное по абсолютной величине значение на отрезке [0,1] производные достигают в точке x = 0.Соответственно, .

Вычислим интеграл методом левых прямоугольников.

За узлы интегрирования возьмем точки: 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8. h = 0,2.

Погрешность интегрирования оценивается выражением:

Вычислим интеграл методом правых прямоугольников.

За узлы интегрирования возьмем точки: 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1. h = 0,2.

Вычислим интеграл методом трапеций.

За узлы интегрирования возьмем точки: 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1. h = 0,2.

Погрешность метода оценивается выражением:

Разобьем отрезок интегрирования [0,1] на 10равных частей (n = 10), вычислим интеграл методом трапеций при h1 = 0, 1 и оценим полученный результат по правилу Рунге.

Погрешность вычисления интеграла оценивается выражением:

Вычислим интеграл по квадратурной формуле интерполяционного типа.

Возьмем 3 узла: 0; 0,5; 1.Функция f(x) на отрезке [0, 1] заменяется параболой (n = 2). Квадратурная формула интерполяционного типа, построенная на узлах 0; 0,5; 1 совпадает с формулой Симпсона.h = 0,5.

Погрешность интегрирования оценивается выражением:

Вычислим интеграл методом средних прямоугольников.

За узлы интегрирования возьмем середины частичных отрезков, т. е точки: 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9. Вычислим значения функции в узлах интегрирования.

Для этого разобьем отрезок интегрирования [0,1] на 10 равных частей.

h1 = 0, 1. h =2*h1 = 0, 2.

Погрешность оценивается выражением:

Вычислим интеграл методом Симпсона.

Отрезок интегрирования [0,1] разбивается на 2n = 10 равных частей. h =h1=0, 1.

Погрешность интегрирования методом Симпсона оценивается выражением:

Вычислим интеграл по формулам Гаусса – Кристоффеля.

При n =2:

При n = 3:

При n = 4:

Задание:

1. Вычислить точное значение интеграла согласно варианту.

2. Вычислить определенный интеграл одним из методов согласно варианту при (- число частичных отрезков, количество узлов ). В методе Симпсона .

3. Методом неопределенных коэффициентов построить интерполяционную квадратурную формулу на 4 равностоящих узлах, вычислить интеграл.

4. Вычислить интеграл по формуле Гаусса - Кристоффеля на 3 и 4 узлах соответственно.

5. Оценить реальную и ожидаемую погрешность (в т.ч. по правилу Рунге).

6. Самостоятельно сделать выводы.

Варианты:

0. .

1. .

2. .

3. .

4. .

Методами:

1. левых прямоугольников.

2. правых прямоугольников.

3. средних прямоугольников.

4. трапеций.

0. парабол (Симпсона).

Варианты заданий рассчитываются следующим образом: номер по списку делится на 5 (), целая часть соответствует варианту интеграла, остаток – номеру метода.