Приложение

П.1. Полярные координаты на плоскости

Полярные координаты r и ' на плоскости определяются формулами:

x = r cos '; y = r sin ':

Координатными линиями полярной системы координат являются лучи, выходящие из начала координат, и окружности с центром в начале координат. На луче, линии r, угловая координата ' постоянна. На окружности, линии ', постоянен радиус r. Через каждую точку плоскости, исключая начало координат, проходят две координатные линии, которые определяют полярные координаты точки. Начало координат – это особая точка. Для нее полярные координаты не определены. Например, на рис. П.1 через точку A проходят координатные линии r = ro и ' = 'o. Единичные векторы, касательные в данной точке к координатным линиям, служат базисом полярной системы координат. Эти векторы ортогональны друг другу. Поэтому система координат называется ортогональной. Для получения проекций некоторого вектора на базис полярной системы координат необходимо в точке, где задан вектор, построить базисные векторы и спроектировать вектор на направления, определяемые базисными векторами. Пример построения базиса и получения проекций вектора скорости ~v в точке A приведен на рис. П.1.

Выбор углов , ' и базисные векторы сферической системы координат показаны на рис. П.2. Разложение базиса сферической системы координат по осям декартовой системы координат и коэффициенты Ламе имеют вид:

Дифференциал радиуса-вектора и бесконечно малые длины вдоль координатных линий даются выражениями:

Отсюда для вектора скорости, ее проекций на базис сферической системы координат и квадрата скорости получаются формулы:

П.4. Общий случай ортогональных криволинейных координат

Обозначим ортогональные криволинейные координаты qi, где i пробегает значения 1; 2; 3. Формулы преобразования к криволинейным координатам задаются

98 И.С. Сягло Теоретическая механика

Проекции базисных векторов на оси декартовых координат получаются по фор-

мулам:

1 @~r ~ei = hi @qi :

Коэффициенты Ламе hi вычисляются из условия нормировки базисных векторов на единицу. Ортогональность базисных векторов обеспечивается выбором функций fj(qi) в формулах преобразования (П.6). Дифференциал радиуса-вектора и бесконечно малые длины вдоль координатных линий записываются в виде:

d~r = h1dq1 ~e1 + h2dq2 ~e2 + h3dq3 ~e3;

dl1 = h1dq1; dl2 = h2dq2; dl3 = h3dq3:

Для вектора скорости, проекций скорости на базис криволинейной системы координат и квадрата скорости справедливы формулы:

~v = h1q1 ~e1 + h2q2 ~e2 + h3q3 ~e3;

v1 = h1q1; v2 = h2q2; v3 = h3q3;

v2 = h21q12 + h22q22 + h23q32:

1.Криволинейные координаты.

Вопросы для повторения:

1.1.Координатные линии и базисные векторы полярной на плоскости и цилиндрической систем координат.

1.2.Координатные линии и базисные векторы сферической системы координат.

1.3.Проекции вектора градиента на базисы цилиндрической и сферической систем координат.

Задачи

1.1. Начертить координатные линии и базисные векторы ортогональной системы координат на плоскости, заданой формулами: x = ; y = 12 ( 2 2):

1.2. Спроектировать базисные векторы полярной и сферической систем коорди-

нат на декартовы оси. Использовать чертеж или формулу ~ei = 1 @~r :

hi @qi

1.3.Спроектировать базисные векторы декартовой системы координат на базисные векторы цилиндрической и сферической систем координат. Воспользо-

1.4.Спроектировать d~r на базис ортогональной криволинейной системы координат, в частности на базисы полярной и сферической систем координат. Использовать зависимость ~r от криволинейных координат ~r = ~r(q1; q2; q3) и

формулу ~ei = 1 @~r :.

hi @qi

1.5.Используя результаты предыдущей задачи, найти проекции скорости на базис ортогональной системы координат и квадрат скорости. Рассмотреть частные случаи полярной и сферической систем координат.

1.6.Найти в полярных координатах траекторию, проекции скорости и квадрат скорости точки, закон движения которой имеет вид:

(a) r = b + 2a cos kt; ' = kt:

(b) r = a(1 + t2); ' = arctg t:

1.7.Найти в полярных координатах уравнение кривой, которую опишет корабль, сохраняющий постоянный угол пеленга на неподвижную точку (Угол пеленга угол между вектором скорости и направлением на неподвижную точку). В начальный момент времени r = r0; ' = '0.

1.8.Самолет равномерно набирает высоту, поднимаясь на 7000м за 1 мин 40 с, и двигается при этом со скоростью 900 км.час по винтовой линии, расположенной на вертикальном цилиндре радиусом 10км. Найти проекции его скорости на базис цилиндрической системы координат.

1.9.Найти в сферической системе координат проекции скорости и квадрат скорости точки, закон движения которой имеет вид:

1.10.Радиолокатор обнаружил на расстоянии 1000км тело, радиальная скорость

которого равна 6км/с. В это время угол луча локатора с вертикалью был 300. При слежении за телом ' = 0; 006рад/с, _ = 0; 002рад/с. Найти величину

скорости тела.

1.11.Корабль движется со скоростью, которая составляет постоянный угол с меридианом. Найти его траекторию. Считая величину скорости постоянной найти проекции скорости корабля на базис сферической системы координат.