МОДУЛЬ 1-3

МОДУЛЬ 1.

1.Вектор індукції . Потік векторів напруженості та індукції. Теорема Остроградського Гаусса та її застосування до обчислення поля нескінченної пластитни, двох пластин.

Припустімо, що точковий заряд q міститься в центрі сферичного повітряного пухирця, який перебуває в певному середовищі, наприклад у маслі, діелектрична проникність якогоε=2. Напруженість електричного поля поблизу межі поділу повітря — масло на відстані rвід заряду, меншій за радіус пухирця,

Досить лише перейти межу поділу, як напруженість поля у точці, що розміщується в маслі нескінченно близько до межі поділу, стане меншою в є разів (ε = 2):

Отже, напруженість на межі поділу двох середовищ стрибкоподібно змінюється. Тому зображення електричного поля за допомогою силових ліній ускладнюється. Якщо середовище, в якому реалізується електростатичне поле, неоднорідне, тобто характеризується різними значеннями діелектричної проникності, то для характеристики поля зручніше використати іншу величину, яка, на відміну від напруженості, не змінюється стрибкоподібно поблизу поверхні поділу двох різних діелектриків. Цю

величину називають вектором електричної індукції . Вона пов’язана з вектором напруженості таким співвідношенням:

Із наведеної рівності випливає, що індукція при переході через межу поділу двох

діелектриків залишається незмінною, оскільки зміна при переході в середовище з діелектричною проникністю ε компенсується відповідним множником.Оскільки для

вакууму і практично для повітря ε= 1 , то для них = ε0 .Якщо електричне поле створено одним точковим зарядом q, то вектор електричної індукції на відстані r від заряду буде

За аналогією з силовими лініями (лініями напруженості) для графічного зображення електростатичних полів використовують лінії електричної індукції. Кількість ліній індукції, що проходять через довільну поверхню, проведену в полі, називають потоком вектора електричної індукції через цю поверхню. Обчислимо потік вектора електричної

індукції через поверхню сфери радіуса r, у центрі якої міститься заряд q, що створює електричне поле. Оскільки напруженість електричного поля в кожній точці сферичної

поверхні то через одиницю поверхні проходить Е ліній напруженості або D ліній індукції. Тоді потік вектора електричної індукції, що пронизує поверхню сфери радіуса r, можна визначити так:

Неважко довести, що отриманий результат справедливий не тільки для випадку сферичної поверхні, а й для будь-якої замкненої поверхні, всередині якої у довільній точці міститься точковий заряд q . Формулу (8.15) можна узагальнити і на випадок, коли поле створене системою точкових зарядів q1, q2,…, qn. Урахувавши принцип суперпозиції електричних полів, дістанемо

Отже, потік вектора електричної індукції через довільну замкнену поверхню не залежить від діелектричних властивостей середовища і дорівнює алгебраїчній сумі електричних зарядів, що містяться всередині цієї поверхні. Отриманий результат називають теоремою Остроградського — Гаусса. Теорему Остроградського — Гаусса застосовують для розрахунку індукції (або напруженості) полів, які створюються довільним зарядом, оскільки будь-який заряд можна подати у вигляді суми нескінченно великої кількості точкових зарядів.

Напруженість електричного поля нескінченної рівномірно зарядженої по поверхні площини.

поле поблизу неск. Рівномірно зарядженої площини в Середній його

частині є однорідним . і побудуємо поверхню у вигляді циліндру який утворюється вект.напр.е.п. основи цього циліндра також dS і на одній з них знах. Точка в якій ми шукаємо напруженість. Обчислимо потік вектора

напруженості в цій точці . CКористаємося теоремою Острог.-Гаусса

. , , . Отже в середній частині

нескінченної рівномірно зарядженої по поверхні речовини напруженості поля буде

сталою і обчислюється . Поле двох рівномірно заряджених по поверхні площин з

різнойменними зарядами кожна з площин в середній частині буде створювати електричне поле

E=E+E

Поле всередині зар. Плоского конденсатора однорідне і напруженість обчислюється

2. Електроємність. Конденсатори. Формула плоского конденсатора . Зєднання конденсаторів.

Електроємністю (ємністю) – провідника С називають величину, що дорівнює відношенню заряду q, наданого провіднику до його потенціалу :

Одиниця електричної ємності в СІ – фарад, [C] = Кл/В=Ф.

Система з двох провідників розділених шаром діелектрика, товщина якого мала порівняно з розмірами провідників, називається конденсатором. Конденсатор бувають плоскі, циліндричні, сферичні.

Електроємність плоского конденсатора:

S – площа пластини, d – відстань між пластинами, ? – діелектрична проникність діелектрика.

Ємність конденсатора з п пластин:

Конденсатори з’єднують у батареї паралельно або послідовно. 1. Паралельне з’єднання (Рис. 31):

Напруги на всіх конденсаторах однакові:

U1=U2=…=Un q = q 1+ q2 + … + qn Тоді Спар = С1+С2+…+Сn

2. Послідовне з’єднання (Рис. 32):

Заряди усіх конденсаторів при послідовному їх з’єднанні однакові.

Загальна ємність: Потенціальна енергія зарядженого конденсатора:

Для плоского конденсатора:

Густина енергії електричного поля:

3. Робота сил поля по переміщенню зарядів. Циркуляція вектора напруженості.

Потенціальний характер електростатичного поля.

Розглянемо електростатичне поле, створюване зарядом q. Нехай у ньому переміщається пробний заряд q0. У будь-якій точці поля на заряд q0 діє сила

де - модуль сили, - орт радіус-вектора , що визначає положення заряду q0 щодо заряду q. Тому що сила міняється від точки до точки, то роботу сили електростатичного поля запишемо як роботу змінної сили:

Через те, що розглядали переміщення заряду із точки 1 у точку 2 по довільній траєкторії, можна зробити висновок, що робота з переміщення точкового заряду в електростатичному полі не залежить від форми шляху, а визначається лише початковим і кінцевим положенням заряду. Це свідчить про те, що електростатичне поле є потенційним, а сила Кулона – консервативної силою. Робота з переміщення заряду в такому полі по замкненому шляхові завжди дорівнює нулю.

- проекція на напрямок контуру ℓ.

Урахуємо, що робота із замкненого шляху дорівнює нулю

-ЦИРКУЛЯЦІЯ вектора напруженості.

Циркуляція вектора напруженості електростатичного поля, узята по довільному замкненому контуру завжди дорівнює нулю.

вектора напруженості в напрямку переміщення, тобто .

Інтеграл такого вигляду називають циркуляцією вектора напруженості. Оскільки

для замкненого контуру r1=r2, то циркуляція вектора напруженості . Поле, що задовольняє цю умову називається потенціальним або безвихровим. Нульове значення циркуляції пояснюється тим, що лінії напруженості не можуть бути замкненими кривими. А коли тіло із зарядом q0 переміщується замкнутим контуром, то на одних ділянках робота − додатна, на інших − від’ємна, причому так, що сумарна робота дорівнює нулеві.

Потенціальний характер електростатичного поля

Використовуючи результати, отримані в попередньому пункті лекції, визначимо роботу, що виконується при переміщенні заряду в електричному полі по замкненому шляху (точки 1 та 2 співпадають мал.1.1.). Для цього використаємо формулу 1.5.,

врахувавши, що . У результаті бачимо, що робота по замкнутому шляху рівна нулю. З формули (1.3/.) випливає, що в такому випадку

де γ-замкнутий контур ,по якому проводиться інтегрування.

Поля, для яких робота не залежить від форми шляху або по замкненому шляху рівна нулю, називають потенціальними. Отже, можна стверджувати, що електростатичне поле в розглянутому випадку є потенціальним. Так само, як і електростатичне поле, створене будь-яким розподілом заряду.

Знаючи, що , визначимо роботу, що виконується при переміщенні одиничного точкового заряду

,

- циркуляція вектора напруженості електричного поля по замкнутому контуру γ. Рівність нулю циркуляції по замкненому контуру будь-якого векторного поля є інтегральною ознакою потенціальності цього поля. Отже, якщо поле потенціальне, то

циркуляція його вектора дорівнює нулю. Математично інтегральна ознака потенціальності запишеться

(2.3.) Прикладами потенціальних полів у фізиці, крім розглянутого випадку, є гравітаційне поле, поле пружних деформацій в суцільному середовищі та ін.

4.Потенціал. Еквіпотенціальні поверхні. Зв'язок потенціалу з напруженістю.

Потенціал поля точкового заряду, системи зарядів.

Оскільки електростатичне поле є потенційним робота з переміщення заряду в такому полі може бути представлена, як різниця потенційних енергій заряду в початковій і кінцевої точках шляху. (Робота дорівнює зменшенню потенційної енергії, або зміні потенційної енергії, узятому зі знаком мінус.)

Постійну визначають із умови, що при видаленні заряду q0 на нескінченність його потенційна енергія повинна дорівнювати нулю.

.

Різні пробні заряди q0i, поміщені в дану точку поля будуть мати в цій точці різні потенційні енергії:

…

Відношення Wпот i до величини пробного заряду q0i, поміщеного в дану точку поля є величиною постійною для даної точки поля для всіх пробних зарядів. Це відношення називається ПОТЕНЦІАЛОМ.

ПОТЕНЦІАЛ – енергетична характеристика електричного поля. ПОТЕНЦІАЛ чисельно дорівнює потенційної енергії, якої має в даній точці поля одиничний позитивний заряд.

Роботу з переміщення заряду можна представити у вигляді

.

Потенціал виміряється у Вольтах

ЕКВІПОТЕНЦІАЛЬНИМИ ПОВЕРХНЯМИ називаються поверхні рівного потенціалу (φ = const). Робота з переміщення заряду уздовж еквіпотенціальної поверхні дорівнює нулю.

Зв'язок між напруженістю й потенціалом φ можна знайти, виходячи з того, що роботу з переміщення заряду q на елементарному відрізку d? можна представити як

З іншої сторони

- градієнт потенціалу

Напруженість поля дорівнює градієнту потенціалу, узятому зі знаком мінус.

Градієнт потенціалу показує, як міняється потенціал на одиницю довжини. Градієнт перпендикулярний функції й спрямований убік зростання функції. Отже, вектор напруженості перпендикулярний еквіпотенціальної поверхні й спрямований убік убування потенціалу.

Розглянемо поле, створюване системою N точкових зарядів q1, q2, … qn. Відстані від зарядів до даної точки поля рівні r1, r2, … rn. Робота, чинена силами цього поля над зарядом q0, буде дорівнювати алгебраїчній сумі робіт сил, кожного заряду окремо.

гле

Потенціал поля, створюваного системою зарядів, визначається як алгебраїчна сума потенціалів, створюваних у цій же точці кожним зарядом окремо.

Робота по переміщенню точкового заряду в електричному полі.

Визначимо роботу, яка виконується при переміщенні позитивного точкового заряду q в просторі із точки 1 в точку 2 в електричному полі, створеному довільним позитивним зарядом q0. Спочатку визначимо роботу по переміщенню на нескінченно

Для того, щоб визначити роботу, виконану по всьому шляху з точки 1 в точку 2, потрібно 1.4 проінтегрувати по відповідних змінних.

,

або

(1.5.)

Аналізуючи формулу (1.5.), можна сказати, що робота по переміщенню заряду в електричному полі визначається лише координатами точок, між якими здійснюється переміщення, і не залежить від форми шляху, по якому рухається заряд.

5. Провідники в електричному полі. Розподіл зарядів в провіднику. Еквіпотенціальність провідника . Напруженість поля біля поверхні провідника і її зв'язок з поверхневою густиною заряду

Розподіл заряду в провіднику.

Зв'язок між напруженістю поля в поверхні провідника й поверхневою густиною заряду

1.Вільні заряди в провіднику здатні переміщатися під дією як завгодно малої сили. Тому для рівноваги зарядів у провіднику повинні виконуватися наступні умови: 1.Напруженість поля усередині провідника повинна дорівнювати нулю , тому що т.е. тобто потенціал усередині провідника повинен бути постійним.

2.Напруженість поля на поверхні провідника повинна бути перпендикулярна поверхні

Розглянемозамкнену поверхню у формі циліндра твірні поверхні якого перпендикулярні провіднику. На поверхні провідника розташовані вільні заряди з поверхневою густиноюσ.

Так як усередині провідника зарядів немає, то потік

через поверхню циліндра усередині провідника дорівнює нулю. Потік через верхню частину циліндра поза провідником по теоремі Гауса рівний

тобто вектор електричного зсуву дорівнює поверхневої густині вільних зарядів провідника або

2. При внесенні незарядженого провідника в зовнішнє електростатичне поле вільні заряди почнуть переміщатися: позитивні - по полю, негативні – проти поля. Тоді з однієї

сторони провідника будуть накопичуватися позитивні, а з іншого негативні заряди. Ці заряди називаються ІНДУКОВАНИМИ.

Процес перерозподілу зарядів буде відбуватися доти, поки напруженість усередині провідника не стане рівною нулю, а лінії напруженості поза провідником перпендикулярні його поверхні. Індуковані заряди з'являються на провіднику внаслідок зсуву, тобто є поверхневою густиною зміщених зарядів і

тому що то тому назвали вектором електричного зсуву.

2. Еквіпотенціальність провідника. Оскільки всередині провідника , то це означає, що потенціал у всіх точках всередині провідника постійний ( ),

тобто поверхня провідника в електростатичному полі є еквіпотенціальною. Звідси ж таки витікає, що вектор на зовнішній поверхні провідника направлений по нормалі

до кожної точки його поверхні. Якби це було не так, то під дією заряди почали б переміщуватись по поверхні провідника, що протирічить рівновісному розподілу зарядів.

3. Зв'язок між вектором Е поблизу провідника і . Знайдемо взаємозалежність між вектором поблизу поверхні зарядженого провідника і поверхневою густиною зарядів на його поверхні. Для цього застосуємо теорему Остроградського-Гаусса до нескінченно малого циліндра з основою , який перетинає границю провідник – діелектрик, і ось якого зорієнтована вздовж вектора (рис. 7.1)

Рис. 7.1 Рис. 7.2

Потік вектора електричного зміщення через внутрішню частину циліндричної поверхні дорівнює нулю, оскільки всередині провідника Е = D = 0, і тому потік вектора через замкнену циліндричну поверхню визначається лише потоком через зовнішню основу циліндра. Згідно з теоремою Гаусса для електростатичного поля в діелектриці