- •Рабочая программа
- •Пояснительная записка
- •Тематический план
- •Литература
- •Конспект лекций
- •Понятие множества и операции над множествами
- •Числовые множества
- •Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки
- •Функция одной независимой переменной
- •Основные элементарные функции. Сложная функция
- •Предел и непрерывность функции
- •Дифференциальное исчисление функции одной независимой переменной
- •Приложения производной
- •Правило Лопиталя
- •Исследование функций и построение графиков
- •Неопределенный интеграл
- •Метод замены переменной (метод подстановки)
- •Интегрирование по частям
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Определенный интеграл и его приложения
- •Дифференциальные уравнения
- •Методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка
- •Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Контроль знаний
- •Контрольная работа №1
- •Контрольная работа №2
- •Контрольные вопросы к зачету
- •Контрольные вопросы к экзамену
- •Глоссарий
2.6. Предел и непрерывность функции
Число A называется пределом функции f (x) |
при x → a , |
если для любого |
|||||||||
сколь угодно малого ε > 0 найдется такое δ > 0 , что |
|
|
f (x) − A |
|
<ε |
при |
|
x − a |
|
<δ . |
|
|
|
|
|
||||||||
lim f(x) = A |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это записывают так: x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В определении предела функции следует обратить внимание на два существенных момента:
1. Число A называют пределом функции, если выполнение неравенства x − a <δ влечет за собой выполнение неравенства f (x) − A <ε , гдеε > 0 – задан-
ное число, а δ – соответствующим образом подобрано.
2. Для существования предела функции в точке а вовсе не требуется, чтобы функция f(x) была непременно определена в точке a. Для того, чтобы функция f(x) стремилась к пределу при x→a, необходимо лишь, чтобы в области ее определения были точки, как угодно близкие к a и отличные от a.
Пример. Используя определение, доказать, что функция f (x) =3x − 2 в точке
x=1 имеет предел, равный единице, т.е. limx→1 ( 3x − 2 ) =1.
∆В данном примере f (x) =3x − 2 , A=1 и a=1. Возьмем любоеε > 0 . Задача со-
стоит в том, чтобы по этому ε найти такоеδ > 0 , при котором из неравенства |
||||||||||||||||||||
|
x −1 |
|
<δ следовало бы неравенство |
|
|
f (x) −1 |
|
= |
|
3x − 2 −1 |
|
<ε . Преобразуя последнее |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
неравенство, получаем |
|
3(x −1) |
|
<ε , |
или |
|
x −1 |
|
< ε . Отсюда видно, что если взять |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δ ≤ |
ε |
, то для всех x, удовлетворяющих неравенству |
|
x −1 |
|
<δ , выполняется тре- |
|
|
|
||||||
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
буемое неравенство |
|
f (x) −1 |
|
<ε . Это и означает, что lim( 3x − 2 ) =1. В частности, |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
если |
ε = |
, то δ ≤ |
и т.д. |
|||||||
2 |
6 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция f(x) называется бесконечно большой при x→a, если для произвольного положительного числа M, найдется такоеδ > 0 , что f (x) > M
приЕслиx − a lim<δ α. (x) = 0 , то функция α(x) называется бесконечно малой при x→a.
x→a
Если x<a и x→a, то употребляют запись x→a–0, если x>a и x→a – запись
x→a+0. Число f(a − 0 ) = lim f(x) и |
f(a + 0 ) = lim f(x) называют соответственно |
x→a−0 |
x→a+0 |
левым и правым пределом функции f(x) в точке a.
Для существования предела функции f(x) при x→a необходимо и достаточ-
но, чтобы f(a − 0 ) = f(a + 0 ) .
Практическое вычисление пределов основано на следующих теоремах.
Если существуют |
lim f(x) |
lim g(x) |
, то |
||
x→a |
и x→a |
|
|||
1) |
lim[f(x) ± g(x)]= lim f(x) ± lim g(x) |
; |
|
||
x→a |
x→a |
x→a |
|
||
2) |
lim[f(x) × g(x) ]= lim f(x) × lim g(x) ; |
||||
|
x →a |
x →a |
x →a |
|
|
27
|
|
f(x) |
|
|
lim f(x) |
|
|
||
3) |
lim |
= |
x→a |
|
(при lim g(x) ≠ 0 ); |
|
|||
|
lim g(x) |
|
|||||||
|
x→a g(x) |
|
x→a |
|
|||||
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
||
4) |
lim |
f(ϕ) = A , |
lim ϕ(x) =ϕ0 , то предел сложной функции |
lim f[ϕ(x)] = A . |
|||||
|
ϕ→ϕ0 |
|
|
|
|
x→x0 |
|
x→x0 |
|
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|||
1. Найти lim |
|
x 2 |
− 9 |
|
|
||||
x 2 |
− 3x |
|
|
||||||
|
|
x→3 |
|
|
∆ Непосредственно теорему 3) (предел частного) применить нельзя, так как предел знаменателя при x→3 равен нулю. Следовательно, имеем неопределен-
ность вида 00 . Необходимо, как говорят, раскрыть эту неопределенность. Для
этого разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель x-3, который обращает в нуль знаменатель и числитель дроби. Это можно сделать, так как в определении предела функции при x→3 значение функции в точке x=3 не входит во множество значений функции, поскольку x≠3 имеем:
lim |
x2 |
−9 |
= lim |
(x −3 )(x + 3 ) |
= lim |
x + 3 |
||
x2 |
−3x |
x(x −3 ) |
|
x |
||||
x→3 |
x→3 |
x→3 |
Так как знаменатель теперь не равен нулю, то неопределенность |
0 |
раскры- |
||||||||||
0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
та. Применяя теорему (3), окончательно получаем lim |
x2 |
−9 |
= lim |
x + 3 |
= |
6 |
= 2 . |
|||||
x2 |
−3x |
x |
|
|
3 |
|||||||
|
3x + 5 |
x→3 |
x→3 |
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Найти x→∞ 2x + 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастает при x→∞. В та-
ком случае говорят, что имеет место неопределенность вида |
∞ . Разделив на x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
∞ |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 5 |
|
3 + |
|
|
lim |
( 3 + |
) |
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
||||||||
числитель и знаменатель дроби, получаем lim |
= lim |
|
|
= |
x→∞ |
|
|
= |
, так |
||||||||||
2x + 3 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
x→∞ |
x→∞ |
2 + |
|
|
lim |
( 2 + |
|
) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
||
как при x→∞ каждая из дробей |
и |
стремится к нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. Найти lim |
x + 4 − 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ Числитель и знаменатель дроби при x→0 равен нулю. Имеем неопреде-
ленность типа |
0 |
. Чтобы ее раскрыть, умножим числитель и знаменатель дроби |
|||||||||||
0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
на сумму x + 4 + 2 . Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim ( |
x + 4 + 2 )( x + 4 − 2 ) |
= lim |
|
x + 4 − 4 |
= lim |
1 |
|
lim1 |
|
1 . |
|||
x( |
= |
x→0 |
= |
||||||||||
x→0 |
x( |
|
x + 4 + 2 ) |
x→0 |
x + 4 + 2 ) |
x→0 |
x + 4 + 2 |
lim |
x + 4 + 2 |
|
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
28
4. Найти lim |
x −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x→1 3 |
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∆ Для раскрытия неопределенности вида |
0 |
удобно предварительно сделать |
|||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
замену t = 6 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x , а затем полученные многочлены разложить на множители: |
|
|
|||||||||||||||||
lim |
x −1 |
= lim |
t3 |
−1 |
= lim |
(t −1)(t2 + t +1) |
= lim |
t2 |
+ t +1 |
= |
lim t2 |
+ t +1 |
= |
3 |
. |
||||
x |
−1 |
t2 |
−1 |
(t −1)(t +1) |
|
t +1 |
t→1 |
|
2 |
||||||||||
x→1 3 |
|
t→1 |
t→1 |
|
|
t→1 |
|
|
lim t +1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→1 |
|
|
|
|
При вычислении пределов используются также следующие, так называемые
замечательные пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
sin x |
=1 – первый замечательный предел |
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
||||||||||||
x→0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim (1 + |
1 |
)x = lim(1 + α) |
|
= e = 2,71828...... – второй замечательный предел |
|||||||||||
α |
|
||||||||||||||
x |
|||||||||||||||
x→∞ |
|
α→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Также полезно иметь в виду следующие равенства: |
|
||||||||||||||
|
|
|
lim |
ln (1 + x) |
=1; lim |
a x −1 |
|
= ln a ; lim |
(1 + x)m −1 |
= m , |
|||||
|
|
|
|
x |
|
x |
|
||||||||
|
|
|
x→0 |
x |
|
x→0 |
x→0 |
|
здесь ln x – натуральный логарифм (логарифм числа x по основанию e).
5. Найти lim |
|
sin mx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∆ Используя первый замечательный предел, имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
sin mx |
= lim |
m sin mx |
= m lim |
sin mx |
|
= m |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin mx |
x→0 |
x |
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
mx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6. Найти lim |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
sin nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∆ Используя первый замечательный предел, имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin mx |
|
|
|
m |
sin mx |
|
|
|
m |
|
|
lim |
sin mx |
|
|
|
m |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mx |
|
|
|
mx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
= lim |
|
|
|
= |
|
|
x→0 |
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→0 sin nx |
|
x→0 |
n |
sin nx |
|
|
|
n lim |
sin nx |
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
nx |
|
nx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 − cos 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7. Найти lim |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→0 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|||||
∆ Используем формулу тригонометрии 1 − cos α = 2 sin 2 |
, тогда: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin 2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
lim |
1 − cos 4x |
= lim |
= 2 lim |
sin 2x |
lim |
sin 2x |
|
=8 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
x2 |
|
|
x→0 |
|
x2 |
x→0 |
|
|
x |
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
8. Найти lim |
(1 + |
a |
|
)bx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ Используя второй замечательный предел, имеем:
|
|
a |
|
|
|
a |
|
x |
|
a |
|
|
|
a |
|
x |
|||
lim(1 |
+ |
)bx = lim |
[(1 |
+ |
) |
|
] |
|
bx |
= lim |
[(1 |
+ |
) |
|
] ab = eab . |
||||
a |
x |
a |
|||||||||||||||||
x |
x |
x |
|||||||||||||||||
x→∞ |
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
29
Аналогично доказывается, что lim(1 + ay) |
b |
= eab . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
lim(1 + |
3 |
)5x |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. Найти |
, |
lim(1 − 4x) |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→∞ |
|
|
x |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∆ Используя пример 8, получаем lim |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(1 + |
)5x = e15 ; lim(1 − 4x) |
|
= e−12 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x −3 |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10. Найти lim |
( |
)4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2x − 3 |
|
|
2 − |
|
|
||||||||||||||||
∆ Имеем |
неопределенность |
вида |
[1∞ ], |
так как |
lim ( |
) = lim |
x |
=1, |
||||||||||||||||||||
2x −1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
x→∞ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − |
|
|
|
lim ( 4x) = ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выделим |
у |
дроби |
|
целую |
часть |
2x −3 |
= |
( 2x −1) − 2 |
=1 − |
|
2 |
|
|
. Обозначим |
||||||||||||||
|
2x −1 |
2x −1 |
|
2x −1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = − |
2 |
|
|
, при x→∞ y→0, причем x = − |
1 |
+ |
|
1 |
. Используя второй замечательный |
|||||||||||
2x −1 |
y |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
предел, получаем |
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
2x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim ( |
)4 x = lim (1+ y)− |
|
+2 |
= lim (1+ y)− |
|
|
×lim (1+ y)2 |
=[ lim (1+ y) |
|
]−4 ×1 = e−4 . |
||||||||||
y |
y |
y |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
x→∞ |
2x −1 |
y→0 |
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
y→0 |
y→0 |
Непрерывность функции
Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если:
1)эта функция определена в некоторой окрестности точки a;
2)существует предел lim f(x) ;
→ax
3) этот предел равен значению функции в точке a; т.е. |
lim f(x) = f(a) |
. |
x→a |
Обозначим x-a=∆x (приращение аргумента) и f(x)-f(a)=∆y (приращение
функции), условия непрерывности можно записать так: lim ∆y = 0 , т.е. функция
∆x→0
непрерывна в т. a тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она называется непрерывной в этой области.
Пример
Доказать, что функция f (x) = 5x2 − 6x + 2 непрерывна в любой точке x0 чи-
словой прямой.
∆ Придавая аргументу x в точке x0 приращение ∆x, найдем соответствующее приращение функции:
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = 5(x0 + ∆x)2 − 6(x0 |
+ ∆x) + 2 −5x0 |
2 + 6x0 − 2 = (10x0 |
− 6)∆x + 5(∆x)2 . |
Найдем предел ∆y при ∆x→0 lim ∆y = lim [(10x0 − 6)∆x + 5(∆x)2 ]= 0 |
в любой точке |
||
∆x→0 |
∆x→0 |
|
|
x0, что и доказывает непрерывность заданной функции на всей числовой прямой.
30
Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, где делитель не равен нулю.
Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметических действий над простейшими элементарными функциями, а также суперпозицией этих функций, составляют класс элементарных функций. Одним из важных свойств элементарных функций является их непрерывность в каждой точке области определения. Это свойство открывает широкие возможности для вычисления пределов элементарных функций.
Примеры
1. Найти lim |
1 + sin x |
. |
||
|
||||
x→ |
π |
1 − cos 2x |
||
2 |
|
|||
|
|
|
|
∆ Так как в точке x = |
π |
функция 1, |
sinx, |
cos2x непрерывны, то функция |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 + sin x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f(x) = |
непрерывна в точке |
x = |
, |
т.е. предел функции и ее значение в |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 − cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
этой точке равны, тогда, переходя к пределу, получаем |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+sin ( |
π |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
lim |
1+sin x |
= |
|
2 ) |
|
= |
|
|
1+1 |
=1. |
||||||||||
|
|
|
|
1−cos 2x |
|
|
|
|
|
π×2 |
|
1 |
−( −1) |
|||||||||||
|
|
|
|
x→ |
|
|
|
1−cos ( |
) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. Найти lim |
x + 2 − 6 − x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x→2 |
x2 |
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∆ Функция |
f(x) = |
x + 2 − 6 − x |
|
не определена в точке x=2, т.е. не является |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывной в этой точке. Поэтому сразу переходить к пределу, как в предыдущем примере, нельзя. Для нахождения предела надо функцию f(x) тождественно преобразовать так, чтобы она при x ≠ 2 совпала с некоторой функцией F(x), непрерывной в точке x=2, т.е. надо найти непрерывную функцию F(x), та-
кую чтобы выполнялось равенство f(x)=F(x) при x ≠ 2 или lim f(x) = lim F(x) = F( 2 ) . |
|||||
|
|
|
x→2 |
x→2 |
|
Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на сумму |
x + 2 + 6 − x : |
|
|||
f(x) = |
x + 2 − 6 − x |
= ( x + 2 − 6 − x )( x + 2 + 6 − x ) = |
(x + 2 ) −( 6 − x) |
= |
|
|
x2 − 4 |
(x2 − 4 )( x + 2 + 6 − x ) |
(x2 − 4 )( x + 2 + 6 − x ) |
|
|
= (x2 |
2(x − 2 ) |
2(x − 2 ) |
|
2 |
|
− 4 )( x + 2 + |
6 − x ) = (x − 2 )(x + 2 )( x + 2 + 6 − x ) = (x + 2 )( |
x + 2 + 6 − x ) |
|
Таким образом, f(x)=F(x) при x ≠ 2 . Но функция x=2, поэтому переходя к пределу, получаем
lim |
x + 2 − 6 − x |
= lim |
2 |
x→2 |
x 2 − 4 |
x→2 (x + 2 )( x + 2 + 6 − |
F(x) непрерывна в точке
= |
2 |
= |
1 |
x ) |
4( 2 + 2 ) |
|
8 |
31