Теория1 / 18

18.Теорема о пересечении соосных поверхностей вращения. Построение проекций линии пересечения поверхностей методом сфер.

Соосными называют поверхности вращения, оси которых совпадают. Линия пересечения таких поверхностей строится на основании теоремы о пересечении соосных поверхностей вращения: соосные поверхности вращения пересекаются между собой по окружностям, проходящим через точки пересечения меридианов поверхностей.

Плоскости окружностей сечения перпендикулярны оси поверхности вращения, а центры окружностей принадлежат этой оси. Поэтому, если оси поверхностей вращения параллельны плоскости проекции, то на эту плоскость окружности сечения проецируются в отрезки прямых, перпендикулярных проекциям оси вращения.

(В качестве вспомогательной секущей поверхности вращения используют сферу, т.к. её просто вычертить).

Метод секущих сфер применим при выполнении трёх условий:

1.пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;

2.оси поверхностей должны пересекаться;

3.плоскость, образованная осями поверхностей, должна быть параллельна одной из плоскостей проекций.

Пусть требуется построить фронтальную проекцию линии пересечения между поверхностями цилиндра и конуса. При этом оси поверхностей пересекаются в точке О и параллельны фронтальной плоскости проекций. Проведём сферу с центром О так, чтобы она пересекала и цилиндр, и конус. Проведённая сфера будет пересекать поверхность цилиндра по окружности а, которая проецируется в отрезок прямой, соединяющий точки пересечения очерковых линий сферы и цилиндра. Сфера будет пересекать поверхность конуса по двум окружностям b и с, которые спроецируются в отрезки прямых, соединяющих точки пересечения очерковых линий сферы и конуса. Окружность a пересечёт окружность b в точке 1, с – в точке 2, которые принадлежат линии пересечения цилиндра и конуса.

Самая минимальная сфера должна касаться одной из поверхностей и пересекать вторую. С помощью такой сферы построена точка проекция характерной точки А.

Проекции линии пересечения представляют собой кривые 2-го порядка. Это следует из теоремы: "Если пересекающиеся поверхности 2-го порядка имеют общую плоскость симметрии, то линии их пересечения проецируются на эту плоскость (или параллельную ей) в кривую 2-го порядка".