Теория1 / 8Поверхн вращения

8.Поверхности вращения:

Поверхностью вращения общего вида называется поверхность, которая образуется произвольной кривой (плоской или пространственной) при её вращении вокруг неподвижной оси.

В частном случае, при вращении прямой a вокруг оси m, если прямая a пересекает ось m в несобственной точке, получается цилиндрическая поверхность, а если в собственной точке - коническая поверхность.

Каждая точка образующей описывает окружность, называемую параллелью. Наибольшая и наименьшая параллели называются соответственно экватором и горлом.

Плоскости, проходящие через ось вращения, называются меридиональными, они пересекают поверхность вращения по линиям, называемым меридианами.

Меридиональная плоскость, параллельная плоскости V, называется главной меридиональной плоскостью, а линии, по которым эта плоскость пересекает поверхность вращения, называются главными меридианами.

В технике широкое распространение получили поверхности вращения второго порядка - цилиндр, конус, сфера.

Поверхности вращения, могут быть образованы движением какой либо линии (образующей) вокруг закрепленной оси. Образующая может быть как плоской так и пространственной кривой.

Для поверхностей вращения закон движения постоянен, но разнообразны формы образующих.

В примере в качестве образующей примем кривую k состоящую из дуг двух окружностей ( R , r) , которая вращается вокруг оси j.

Любая точка кривой k описывает вокруг оси окружность лежащую в плоскости перпендикулярной оси и с центром принадлежащим оси. Эти окружности называют параллелями поверхности. Наибольшую из параллелей называют экватором, а наименьшую - горлом.

Если плоскость которой рассекают поверхность включает в себя ось, то получаемые кривые называют меридианами. Все меридианы равны между собой.

3.1 Однополостный гиперболоид.

Однополостный гиперболоид вращения образуется при вращении гиперболы вокруг мнимой оси.

Эта поверхность может быть также получена вращением прямолинейной образующей l вокруг оси k, причём l скрещивается с k (li).

3.2 Двухполостный гиперболоид.

Двухполостный гиперболоид вращения получается вращением гиперболы вокруг действительной оси.

3.3 Тор.

Тор получается при вращении окружности m вокруг оси k, лежащей в плоскости окружности, но не (пересекающей окружность) проходящей через её центр O.

Тор это поверхность 4-го порядка.

Коротко остановимся на поверхностях вращения второго порядка.

К ним относится эллипсоид вращения, образующийся вращением эллипса вокруг его оси. В зависимости от того какая ось эллипса выбрана осью вращения получаем сжатый или вытянутый эллипсоид вращения.

Вы уже освоили построение эллипса по двум заданным осям, теперь попробуйте изобразить в тетради основной чертеж эллипсоида вращения.

Хочу обратит ваше внимание, что в частном случае эллипс превращается в окружность , а эллипсоид в сферу.

ПАРАБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ ОБРАЗУЕТСЯ ВРАЩЕНИЕМ ПАРАБОЛЫ ВОКРУГ ЕЕ ОСИ ОZ .

ДВУПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ ОБРАЗУЕТСЯ ВРАЩЕНИЕМ ГИПЕРБОЛЫ ВОКРУГ ЕЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОСИ .

В отличие от однополостного он не является одновременно и линейчатой поверхностью. Он не может быть образован движением прямой.

Комплексный чертеж двуполостного гиперболоида прошу построить самостоятельно.