§5. Системы линейных алгебраических уравнений. Метод обратной матрицы и теорема Крамера

Это один из основных разделов в алгебре. Системы линейных алгебраических уравнений в том или ином виде используются во многих научных исследованиях и практических приложениях. Разумеется, это применительно и к экономическим задачам. Рассмотрим одну простейшую задачу, приводящую к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Решение её знакомо ещё из школьного курса математики.

Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 12 млн. у.е. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 70%, второго – на 40%. В результате суммарная прибыль должна вырасти в 1,5 раза. Какова величина прибыли каждого из отделений в минувшем году?

Обозначим за хиуприбыли первого и второго отделений в минувшем году. Тогда оба условия задачи можно записать в виде системы уравнений³:

Решив систему (методом подстановки), получим х=4,у=8. Следовательно, прибыль в минувшем году первого отделения – 4 млн. у.е., второго – 8 млн. у.е.

Перейдем к основным понятиям.

Определение 1.5.Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестныминазываются соотношения вида:

(1.5)

где a_ij,b_i(,) – заданные числа, ах₁, х₂,…,х_n– неизвестные величины.

Числа a_ij называютсякоэффициентами системы, а числаb_i –свободными членами.

Система (1.5) называется однородной, если все свободные члены уравнений равны нулю

Определение 2.5.Решением системы уравнений называется такая упорядоченная совокупностьnчисел

(с₁, с₂, … ,с_n),

которые при подстановке вместо неизвестных х₁,х₂, … ,х_nсоответственно обращают каждое уравнение системы в верное равенство (тождество).

Определение 3.5.Система уравнений называетсясовместной, если она имеет хотя бы одно решение, инесовместной, если не имеет ни одного решения.

Определение 4.5.Система уравнений называетсяопредёленной, если она имеет единственное решение, инеопределённой, если имеет более одного решения.

Исследовать и решить систему уравнений – это значит:

1. установить, совместна она или несовместна;

2. если она совместна, установить, является она определенной или неопределенной, при этом:

• в случае определенной системы найти единственное ее решение;

• в случае неопределенной – описать множество всех ее решений.

Применим понятия матричной алгебры к системам линейных уравнений. Сведем коэффициенты при неизвестных в матрицу:

.

Матрица Асостоит изmстрок иnстолбцов и называетсяосновной матрицейсистемы. Введем в рассмотрение две матрицы-столбца:матрицу неизвестныхXиматрицу свободных членовВ:

,.

Тогда систему линейных уравнений можно записать в матричной форме, поскольку размер матрицы Аравенmn, а размерХ–n1, значит, произведение этих матриц имеет смысл:

А  Х = В. (2.5)

Таким образом, матричная форма (2.5) универсальна для записи любой системы линейных уравнений.

Матричная форма записи представляет собой обычное матричное уравнение, с решением которого Х=А^-1Вмы уже встречались в §3. Возникает вопрос:любую ли систему уравнений можно решить таким образом?

Вспомним условия существования матрицы А^-1, обратной для данной А. Во-первых, искать обратную имеет смысл только дляквадратных матриц; во-вторых, исходная матрица должна бытьневырожденной.

Итак, пусть задана система nлинейных алгебраических уравнений сnнеизвестными:

(3.5)

В матричной форме эта система имеет вид: А  Х = В,

где квадратная матрица – основная матрица системы,

– матрица-столбец неизвестных,

– матрица-столбец свободных членов.

Пусть определитель основной матрицы системы (3.5) отличен от нуля, т.е. матрица A– невырожденная.

Теорема.Система линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей совместна и имеет единственное решение.

Это решение имеет вид:

Х = А^–1  В.

□

Решим систему уравнений методом обратной матрицы.

Сначала запишем её в матричной форме АХ=В:

.

Найдем определитель матрицы А:.

Следовательно, система имеет единственное решение, которое и найдём по указанной выше формуле с помощью обратной матрицы.

Вычислить самостоятельноА^-1. Проверить ответ

.

Тогда .

Следовательно, система уравнений, согласно определению 2.5, имеет решение (1,5, 3).

■

Другой метод решения системы nуравнений сnнеизвестными основан натеореме Крамера.

Составим определитель матрицы системы (3.5):

.

Заменим в этом определителеj–й столбец () на столбец свободных членовВ, т.е. получим этой заменой другой определитель:

.

Теорема Крамера. Пусть Δ – определитель матрицы системы, а Δ_j– определитель, полученный из Δ заменой j–го столбца столбцом свободных членовВ. Тогда, если Δ0, система линейных уравнений имеет единственное решение, определяемое по формулам:

( ).

Поясним происхождение этой формулы на примере. Возьмём систему трёх уравнений с тремя неизвестными и запишем в развернутом виде форму её матричного решения. Из вида обратной матрицы (§3) следует, что столбец неизвестных Хвыражается по формуле:

.

Выполнив умножение матриц в правой части этого равенства, мы имеем равенство двух матриц-столбцов, из которого, приравнивая соответствующие элементы, получаем систему равенств-выражений для неизвестных:

,

,

.

Но по теореме Лапласа (§2) сумма в скобках правой части равенств представляет собой разложение определителя по столбцу, в котором стоят элементы столбца свободных членов, а остальные столбцы этого определителя такие же, как и в определителе Δ системы.

Следовательно, ,,.

□

Применяя полученную формулу, решим знакомую нам систему:

.

Вычислим определители матриц А₁,А₂,А₃, полученных из основной матрицыАсистемы заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов.

Теперь по теореме Крамера получим решение:

■