Арифметические основы вычислительной техники Системы счисления

В ЭВМ информация всегда представляется в виде чисел записанных в той или иной системе счисления. Выбор системы счисления - один из важнейших вопросов. От правильности его решения зависят такие характеристики ЭВМ как скорость вычислений, сложность алгоритмов реализации арифметических операций и другие. Система счисления - совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками.

Любая система счисления должна обеспечивать:

• возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;

• единственность этого представления;

• простоту оперирования числами.

Различают два типа систем счисления - непозиционные и позиционные.

Непозиционнаясистема счисления - система, для которой значение символа не зависит от его положения в числе. Примером может служить система счисления с одной цифрой 1. Для записи любого числа в ней необходимо написать количество единиц равное числу. Другой пример - это римская система счисления.

Позиционнойсистемой счисления называется система записи любых по величине чисел ограниченным числом символов.

Основание (базис) rпозиционной системы счисления - максимальное количество различных знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления. Таким образом, основание может быть любым числом кроме 1 и бесконечности.

Любое число в системе счисления с основанием rможет быть записано в общем виде:

A=a_n·rⁿ+ a_n-1·r^n-1+...+a₁·r¹+a₀·r⁰+ a_-1·r^--1+...+a_-rn-1·r^-(rn-1)+a_-rn·r^-rn, (1)

или

, (2)

где любая разрядная цифра a_i{0,…,r-1},a rⁱ - вес соответствующего разряда.

Запись числа в форме (1) назовем записью числа в развернутой форме. Свернутой формой записи чисел называется запись чисел в виде

A=a₁a₂…a_k.

Для любой системы счисления основание представляется как 1 (один) и 0 (ноль).

Например: 9 1 F 7

⁺1⁺1⁺1⁺1

10₁₀10₂10₁₆10₈

Вес разряда p_iчисла выражается соотношением:

p_i = rⁱ /r⁰ = rⁱ ,

где i - номер разряда при отсчете справа налево.

Если в i-м разряде накопилось значение единиц, равное или большее r, то должна происходить передача единицы в старший i+1 разряд. При сложении такая передача информации называются переносом. При вычитании передача из i+1 разряда вi-й – заем.

Длина числа– количество позиций (разрядов) в записи числа. В технической реализации под длиной числа понимается длина разрядной сетки.

Диапазон представления чиселв заданной системе счисления – интервал числовой оси, заключенный между максимальным и минимальным числами, представленными при заданной длине разрядной сетки.

В вычислительной технике для представления данных и выполнения арифметических операций над ними удобно использовать двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Ниже коротко остановимся на них.

Двоичная система счисления

Для записи числа в двоичной системе счисления используются две цифры: 0 и 1. Основание системы записывается как 10₍₂₎ (2₁₀=1·2¹+0·2⁰). Используя данную систему любое число можно выразить последовательностью высоких и низких потенциалов или группой запоминающих элементов, способных запоминать одно из двух (0,1) значений. Арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.

	Сложение		Вычитание		Умножение
	0+0= 0		0-0=0		0 · 0=0
	0+1= 1		1-0=1		0 · 1=0
	1+0= 1		1-1=0		1 · 0=0
	1+1=10		10-1=1		1 · 1=1

Рассмотрим несколько примеров демонстрирующих выполнение арифметических операций: