MA_Metod3
.pdfЗмiст
Роздiл IX. Функцiональнi послiдовностi i ряди |
4 |
|
9.1 |
Рiвномiрна збiжнiсть функцiональних |
|
|
послiдовностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
9.2 |
Рiвномiрна збiжнiсть функцiональних рядiв . . . . . . |
7 |
9.3Властивостi сум функцiональних рядiв . . . . . . . . . 14
9.4Область збiжностi степеневих рядiв . . . . . . . . . . . 20
9.5Властивостi сум степеневих рядiв i розклад функцiй у
степеневi ряди . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9.6Розклад функцiй у ряди Фур’є на промiжках завдовжки 2¼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9.7Розклад функцiй у ряди Фур’є на довiльних промiжках 30
9.8Розклад у ряди Фур’є лише за косинусами або лише за
синусами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
33 |
Роздiл X. Iнтеграли, залежнi вiд параметра |
26 |
10.1Власнi iнтеграли, залежнi вiд параметра . . . . . . . . 38
10.2Рiвномiрна збiжнiсть невласних iнтегралiв, залежних
вiд параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
10.3Властивостi невласних iнтегралiв, залежних вiд параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
10.4Iнтеграли Дiрiхле та Ейлера-Пуассона . . . . . . . . . 54
10.5Ейлеровi iнтеграли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Роздiл XI. Криволiнiйнi i подвiйнi iнтеграли |
58 |
11.1Криволiнiйнi iнтеграли I роду . . . . . . . . . . . . . . 60
11.2Криволiнiйнi iнтеграли II роду . . . . . . . . . . . . . . 68
11.3Обчислення подвiйних iнтегралiв . . . . . . . . . . . . 79
11.4Замiна змiнних у подвiйних iнтегралах . . . . . . . . . 85
11.5Формула Ґрiна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
11.6Геометричнi та фiзичнi застосування подвiйних
iнтегралiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
92 |
Роздiл XII. Поверхневi i потрiйнi iнтеграли |
|
12.1 Поверхневi iнтеграли I роду . . . . . . . . . . . . . . . |
99 |
12.2Поверхневi iнтеграли II роду . . . . . . . . . . . . . . . 104
12.3Обчислення потрiйних iнтегралiв . . . . . . . . . . . . 108
12.4Замiна змiнних у потрiйних iнтегралах . . . . . . . . . 113
3
12.5Геометричнi та фiзичнi застосування потрiйних iнтегралiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
12.6Формули Стокса i Ґаусса-Остроградського . . . . . . . 118
4
Роздiл IX. Функцiональнi послiдовностi i ряди
9.1Рiвномiрна збiжнiсть функцiональних послiдовностей
Послiдовнiсть (fn)1n=1 функцiй fn : X ! R називається поточково збiжною на множинi X до функцiї f : X ! R, якщо
lim fn(x) = f(x)
n!1
для кожного x 2 X. При цьому, функцiю f називають граничною функцiєю i пишуть
fn ! f на X:
Послiдовнiсть (fn)1n=1 функцiй fn : X ! R називається рiвномiрно збiжною на множинi X до функцiї f : X ! R , якщо для довiльного
" > 0 iснує таке N 2 N, що для всiх n ¸ N i для всiх x 2 X має мiсце нерiвнiсть
jfn(x) ¡ f(x)j < ":
Для позначення рiвномiрної збiжностi функцiональної послiдовностi (fn)1n=1 до функцiї f на множинi X використовують запис
fn ¶ f на X:
Зрозумiло, що кожна рiвномiрно збiжна на множинi X послiдовнiсть функцiй є поточково збiжною на цiй множинi.
Для кожного n 2 N покладемо
rn = sup jfn(x) ¡ f(x)j:
x2X
Теорема 9.1. Нехай послiдовнiсть (fn)1n=1 функцiй fn : X ! R поточково збiгається на множинi X до функцiї f : X ! R. Тодi функцiональна послiдовнiсть (fn)1n=1 рiвномiрно збiгається на X до функцiї f у тому i тiльки в тому випадку, коли
lim rn = 0:
n!1
5
Дослiдити на рiвномiрну збiжнiсть функцiональну послiдовнiсть
(fn)n1=1 на множинi X, якщо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1. fn(x) = xn, X = [0; 1 ]; |
2. fn(x) = xn, X = [0; 1]; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. fn(x) = xn ¡ xn+1, X = [0; 1]; |
4. fn(x) = xn+2 ¡ xn, X = [0; 1]; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. fn(x) = x2n ¡ xn, X = [0; 1]; |
6. fn(x) = x2n ¡ x5n, X = [0; 1]; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. fn(x) = |
|
xn |
, X = [0; 1]; |
8. fn(x) = sinn x, X = [0; ¼ ]; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1+x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
9. fn(x) = |
arctg nx |
, X = [0; +1); |
10. |
fn(x) = |
arctg(n+2x) |
, X = R; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3+jxj |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n+x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin (n¡x) |
|
|
|
|
cos p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
nx5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
fn(x) = |
|
|
n+x2 |
|
|
|
, X = R; |
12. |
fn(x) = |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, X = [0; 2¼]; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2n+3x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
fn(x) = |
n2 |
|
, X = [¡1; 1]; |
14. |
fn(x) = |
x |
|
, X = [0; 3]; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
n2+x2 |
x+n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15. |
fn(x) = |
|
|
nx |
|
|
|
|
|
, X = [0; 1]; |
16. |
fn(x) = |
|
|
nx2 |
|
|
|
|
|
, X = [0; 1]; |
|||||||||||||||||||||||
|
1+n+x |
1+2n+x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
17. |
fn(x) = |
|
|
2nx |
|
, X = [0; 1]; |
18. |
fn(x) = |
|
|
|
nx |
|
|
|
, X = [0; 1]; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+n x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+n x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
19. |
fn(x) = |
|
n2x |
|
|
|
|
, X = [1; +1); |
20. |
fn(x) = |
2nx |
|
, X = [1; +1); |
|||||||||||||||||||||||||||||||
n5+x2 |
|
|
n2+x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21. |
fn(x) = q |
|
|
|
|
, X = R; |
22. |
|
|
|
|
|
|
|
, X = (0; 1); |
|||||||||||||||||||||||||||||
x2 + n1 |
fn(x) = |
nx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n+xn |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin np |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, X = [1; +1); |
24. |
fn(x) = |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
fn(x) = e¡nx |
ln(n+1) , X = [0; ¼]; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25. |
fn(x) = e¡(x¡n)2 , X = [¡1; 1]; |
26. |
fn(x) = e¡(x¡n)2 , X = R; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
27. |
|
|
¡nx, X = (0; 1); |
28. |
|
|
pn3 x |
, X = [0; +1); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
fn(x) = e¡x |
fn(x) = |
|
ep |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
nx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
29. |
fn(x) = nx ln nx , X = (0; 2); |
30. |
fn(x) = |
ln(nx) |
, X = [1; +1); |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
nx2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
31. |
fn(x) = sin |
x |
, X = R; |
32. |
fn(x) = sin |
1+nx |
, X = R; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n4 |
2n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
33. |
fn(x) = |
|
1 |
cos x , X = (0; 1); |
34. |
fn(x) = |
|
1 |
cos x , X = (0; 2); |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
x |
|
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||
35. |
fn(x) = n sin |
1 |
, X = (1; +1); |
36. |
fn(x) = n sin |
1 |
, X = (0; 3); |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
nx |
nx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
37. |
fn(x) = sin |
n |
, X = [1; +1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
enx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38.fn(x) = nx ln(1 + nx ), X = (0; 4);
39.fn(x) = arctg nx, X = (0; +1);
40.fn(x) = x arctg nx, X = (0; +1).
41.Нехай (fn)1n=1 – послiдовнiсть функцiй fn : R ! R, яка рiвномiрно на R збiгається до функцiї f0 : R ! R, i gn(x) = sin(fn(x)) для всiх
x 2 R i n = 0; 1; 2; : : : . Довести, що gn ¶ g0 на R.
42. Нехай (fn)1n=1 – послiдовнiсть строго додатних функцiй fn : R ! (0; +1), яка рiвномiрно на R збiгається до функцiї f : R ! (0; +1).
Чи обов’язково 1 ¶ 1 на R?
fn f
43.Нехай для кожного " 2 (0; 1) послiдовнiсть (fn)1n=1 функцiй fn : (0; 1] ! R рiвномiрно на ["; 1] збiгається до функцiї f : (0; 1] ! R. Чи обов’язково fn ¶ f на (0; 1]?
44.Нехай послiдовнiсть (fn)1n=1 неперервних функцiй fn : [0; 1] ! R рiвномiрно на (0; 1] збiгається до функцiї f : (0; 1] ! R. Довести, що iснує така функцiя g : [0; 1] ! R, що fn ¶ g на [0; 1].
9.2Рiвномiрна збiжнiсть функцiональних рядiв
Розглянемо функцiональний ряд
X1
un(x); |
(9.1) |
n=1 |
|
де un : X ! R для кожного n 2 N. |
|
Для x 2 X та n 2 N суму |
|
|
n |
Sn(x) = u1(x) + u2(x) + : : : + un(x) = |
uk(x) |
|
=1 |
|
Xk |
називають n-ою частинною сумою ряду (9.1). |
|
7
Функцiональний ряд (9.1) називається поточково збiжним на множинi X, якщо послiдовнiсть (Sn)1n=1 його частинних сум є поточково збiжною на X. При цьому, функцiя
S(x) = lim Sn(x)
n!1
позначається через P1 un(x) i називається сумою функцiонального
n=1
ряду (9.1).
Функцiональний ряд (9.1) називається рiвномiрно збiжним на множинi X, якщо
Sn ¶ S на X:
Теорема 9.2. Якщо ряд (9.1) рiвномiрно збiгається на множинi X, то un ¶ 0 на X.
Теорема 9.3 (критерiй Кошi). Функцiональний ряд (9.1) рiвномiрно збiгається на X тодi i тiльки тодi, коли для довiльного " > 0 iснує таке N 2 N, що для всiх n ¸ N, p 2 N i x 2 X має мiсце нерiвнiсть
jun+1(x) + un+2(x) + : : : + un+p(x)j < ":
Теорема 9.4 (ознака Вейєрштрасса). Нехай
1)jun(x)j · cn для всiх x 2 X i n 2 N;
2)числовий ряд P1 cn збiжний.
n=1
Тодi функцiональний ряд P1 un(x) рiвномiрно збiжний на X.
n=1
Теорема 9.5 (ознака Дiрiхле). Нехай
1) для кожного x 2 X послiдовнiсть (an(x))1n=1 монотонна;
2) |
an ¶ 0 на X; |
|
¯ n |
bk(x)¯ |
|
|||
3) |
iснує таке C > 0, що |
· C для всiх n 2 N i x 2 X. |
||||||
|
|
1 |
a (x) b (x) |
|
¯X |
¯ |
X |
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|||
|
|
nP |
|
|
¯k=1 |
¯ |
|
|
Тодi ряд |
n n |
рiвномiрно¯ ¯збiжний на . |
||||||
=1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
Теорема 9.6 (ознака Абеля). Нехай
1)для кожного x 2 X послiдовнiсть (an(x))1n=1 монотонна;
2)iснує таке C > 0, що jan(x)j · C для всiх n 2 N i x 2 X;
X1
3) функцiональний ряд bn(x) рiвномiрно збiжний на X.
n=1
Тодi ряд P1 an(x) bn(x) рiвномiрно збiжний на X.
n=1
Знайти областi збiжностi таких функцiональних рядiв:
1. X1 xn;
n=1
3. X1 xn2 ;
n=1
5. X1 xn ;
n=1 n2
|
1 |
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
p |
n |
+ n |
; |
|
|
|
|||||||
n=1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
1 + xn |
; |
|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
1 |
|
sin |
x |
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n=1 |
2n |
|
|
|
|
|||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
1 |
|
sin nx |
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
15. |
X |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n=1 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
17. |
|
|
|
|
|
µ |
2x + 1 |
¶ |
; |
|||||
n=1 n + 1 |
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
x |
|
n |
||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X1
2. (ln x)n;
n=1
4. X1 xnn ;
n=1
X1 xn
6. pn;
n=1
X1
8. n(n + 1) xn;
n=1 |
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
1 + x2n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
X |
xn tg |
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n=1 |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
cos nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
14. |
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
e |
nx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
|
2n |
|
|
1 |
µ |
1 + x¶ |
; |
|
|
|
|
|
|||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
(¡1)n |
|
|
|
1 ¡ x |
n |
|
|
|
|
||||||
18. |
X |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
: :¢: (2n) |
|
|
µ |
|
¶ |
; |
||
n=1 |
|
|
¢2 |
¢4 |
|
|
|
|
1 + x2 |
|||||||||
|
1 |
1 |
|
3 : : : (2n ¡ 1) |
|
2x |
|
n |
||||||||||
|
X |
|
|
|
|
¢ |
|
|
¢ |
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n 32n |
|
|
1 |
2n sinn x |
||||
19. |
X |
|
xn(1 ¡ x)n; |
20. |
X |
|
|
; |
||
n=1 |
2n |
n=1 |
n2 |
|||||||
21. |
1 |
n2 sin(nx), 0 < x < ¼; |
22. |
1 |
(¡1)n ; |
|||||
|
X |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
n=1 |
1 + n3 |
|
|
n=1 |
x + n |
||||
|
1 |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
23. |
X |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
n=1 |
(x2 + 1)(x2 + 2):::(x2 + n) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доcлiдити за означенням або за допомогою критерiю Кошi на рiвномiрну збiжнiсть на вказаних множинах такi функцiональнi ряди:
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
24. |
X |
(1 ¡ x) xn, jxj · 1; |
|
|||||
|
n=0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
26. |
X |
|
|
|
|
, x ¸ 0; |
||
n=1 |
(x + n)(x + n + 1) |
|||||||
|
1 |
|
|
|
x |
|
||
28. |
X |
|
|
|
|
|
|
, x ¸ 0; |
|
|
¡ |
x + 1)(nx + 1) |
|||||
n=1 (nx |
|
25. X1 µxn ¡ xn+1 ¶, jxj · 1; n n + 1
n=1
27. |
1 |
xn |
jxj · 1; |
|
n=1 |
n2 , |
|||
|
X |
|
|
|
29. |
1 |
xn |
jxj · 1. |
|
n=1 |
n! , |
|||
|
X |
|
Користуючись ознакою Вейєрштрасса, довести рiвномiрну збiж-
нiсть ряду P1 un(x) на множинi X, якщо:
n=1
30. un(x) =
32. un(x) =
34. un(x) =
36. un(x) =
1
x2 + n2 , X = R;
sin nx, X = R; n!
cos(n2 + x3), X = R; 3n + x4
sin(x2 ¡ n), X = R; n3 + jxj
31. |
un(x) = |
|
|
n |
|
, X = R; |
|||||
|
|
|
|
||||||||
x |
4 |
|
3 |
||||||||
|
|
|
+ n |
|
|
|
|||||
33. |
un(x) = |
cos(x + n) |
|
, X = R; |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(p |
|
|
|
|
|
||||
35. |
un(x) = |
nx) |
, X = R; |
||||||||
(2n)! + jxj |
|||||||||||
37. |
un(x) = |
cos(n7 |
+ x) |
, X = R; |
|||||||
|
n2 + x6 |
|
|
10
38. |
un(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, X = R; |
|
39. |
un(x) = |
np |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
, X = R; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n2(1 + nx2) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n + x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
40. |
un(x) = p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, X = R; |
|
|
|
41. |
un(x) = |
n + 7 |
|
, X = R; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n5 + x4 |
|
|
|
|
|
n |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ jxj |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(3 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
42. |
un(x) = |
np |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, X = [0; 31 ]; |
|
43. |
un(x) = |
|
|
, X = [¡1; 1]; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n + x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
44. |
un(x) = |
e¡n2x2 |
, X = R; |
|
|
|
|
|
45. |
un(x) = p |
2¡nx4 |
|
|
|
, X = R; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 + x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
46. |
|
|
arcctg(n x) |
, X = R; |
|
47. |
|
arctg(n2x) |
, X = R; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
un(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
un(x) = |
|
|
|
np |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
(n + jxj)2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
u |
(x) = |
(¡1)n |
|
|
|
|
X = ( |
|
2; + |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
48. |
2n + x, |
|
¡ |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
49. |
u |
(x) = |
(¡1)n |
, |
|
X = ( |
¡ |
2; + |
1 |
) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n2 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
50. |
un(x) = |
x |
|
|
|
, X = [0; +1); |
|
51. |
un(x) = |
|
|
|
|
|
|
, X = R; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n3 + x |
|
n4 + x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
52. |
un(x) = |
|
n x |
|
|
|
|
|
|
|
, X = R; |
|
|
|
53. |
un(x) = |
|
n x2 |
|
, X = R; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 + n x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + n x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
n2(x2n |
|
+ 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
54. |
un(x) = |
|
xn p |
|
|
|
|
|
, X = [21 ; 2]; 55. un(x) = |
|
, X = [¡98; 89]; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
56. |
un(x) = |
|
, X = [0; +1); |
|
|
|
57. |
un(x) = |
|
, X = [0; +1); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
enx |
|
|
|
en2x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
58. |
un(x) = sin2 |
|
|
|
|
x |
|
|
, X = [0; +1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 + n2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
59. |
un(x) = arctg |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
, X = R; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
60. |
un(x) = ln µ1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
¶, X = [¡5; 5]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 + n ln2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61. un(x) = |
n ln(1 + nx) |
, X = [2; +1); |
xn |
12