Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черновицкий национальный университет им. Ю. Федьковича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MA_Metod3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

564.91 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

I(a; b) =

xa ¡ xb

a; b > 0

29.

ln x

;

I(a; b) =

e¡ax ¡ e¡bx

a; b > 0

30.

;

I(a; b) =

e¡ax2 ¡ e¡bx2

a; b > 0

31.

;

I(a; b) = Z0

cos bx

32.

e¡ax

1 ¡

dx,

a > 0, b 2 R;

33.

I(a; b) = Z0

e¡ax

sin bx

dx,

a > 0,

b 2 R;

34.

I(a; b) =

arctg ax ¡ arctg bx

a; b > 0

;

sin bx ¡ sin cx

I(a; b; c) =

e¡ax

a > 0

b; c

2 R;

35.

cos bx ¡ cos cx

I(a; b; c) =

e¡ax

a > 0

b; c

2 R;

36.

I(a; b; c) =

e¡ax ¡ e¡bx

sin cx dx

a; b > 0

2 R;

37.

I(a; b; c) =

e¡ax ¡ e¡bx

cos cx dx

a; b > 0

2 R.

38.

39.

Використовуючи результат задачi 25, довести, що:

¼=2

а)

ln 2;

б)

ln(sin x) dx = ¡

ln 2.

dx =

tg x

40. Довести формулу Фрулланi

+1
Z0	f(ax) ¡ f(bx)	dx = f(0) ln	b	;
		dx = f(0) ln		;
	x	a

де a; b > 0 i f(x) – така неперервна на [0; +1) функцiя, що для

кожного A > 0 iснує iнтеграл +R1 f(xx) dx.

Застосовуючи формулу Фрулланi, обчислити такi iнтеграли, залежнi вiд додатних параметрiв a та b:

	+1
41.	Z0	cos ax ¡ cos bx		dx			;
41.	Z0	x					;
	+1	cos2 ax ¡ cos2 bx			dx
43.	Z0	x						;
	+1
45.	Z0	sin ax sin bx	dx, a 6= b;
45.	Z0	x	dx, a 6= b;
	+1
47.	Z0	b sin ax ¡ a sin bx				dx			;
47.	Z0	x2							;

	+1
42.	Z0	sin ax ¡ sin bx		dx		;
42.	Z0	x				;
	+1	sin2 ax ¡ sin2 bx			dx
44.	Z0	x						;
	+1
46.	Z0	sin ax cos bx	dx, a > b;
46.	Z0	x	dx, a > b;
	+1
48.	Z0	a sin x ¡ sin ax		dx			.
48.	Z0	x2					.

10.4Iнтеграли Дiрiхле та Ейлера-Пуассона

Використовуючи властивостi невласних iнтегралiв, залежних вiд параметра, можна обчислити деякi невласнi iнтеграли, що мають численнi застосування в рiзних роздiлах математики, зокрема:

	+1
1)	Z	sin x	dx =	¼	– iнтеграл Дiрiхле;

		x		2

Z+1

2)e¡x2 dx =

2¼ – iнтеграл Ейлера-Пуассона.

З допомогою iнтеграла Дiрiхле обчислити такi iнтеграли:

cos ax

sin

dx,

a 2 R;

dx, a 2 R;

+1sin(x2)

+1sin(x3)

dx;

+1sin2 x

+1sin5 x

dx;

3 ax

sin

x cos2 x

sin

dx,

a 2 R;

dx;

sin x ¡ x cos x

;

10.

x ¡ sin x

;

sin

3 x cos ax

11.

sin

dx, a; b 2 R;

12.

dx, a > 3.

З допомогою iнтеграла Ейлера-Пуассона обчислити такi iнтеграли:

	+1			+1
13.	Z	e¡x2+2x¡1 dx;	14.	Z	e¡4x2+x dx;
	¡1			¡1
	+1			+1
15.	Z	e¡(ax2+2bx) dx, a > 0, b 2 R;	16.	Z	e¡ax2 dx, a > 0;

	¡1
	+1
17.	Z	e¡ax2	ch bx dx, a > 0, b 2 R;	18.
	¡1
	+1
19.	Z	e¡ax2	cos bx dx, a > 0, b 2 R;	20.

¡1
+1
Z0	e¡(x2+a2=x2) dx,			,	a > 0;
Z		x2		,	;
+1e¡ax2		¡ e¡bx2	dx		a; b > 0
		¡ e¡bx2

0	0
Z	Z
+1	+1

21.	xe¡ax2 sin bx dx, a > 0, b 2 R; 22.
0	0

x2 e¡x2 cos x dx.

10.5Ейлеровi iнтеграли

Гамма-функцiя Ейлера ¡(a) означається формулою

			+1
		¡(a) = Z			xa¡1 e¡x dx;		де a > 0:
			0
	Властивостi гамма-функцiї Ейлера
1.	¡(a) нескiнченно диференцiйовна на (0; +1), причому
			+1
			Z				для кожного n 2 N;
	¡(n)(a) =			xa¡1 (ln x)n e¡x dx			для кожного n 2 N;
			0
2.	¡(1) = ¡(2) = 1;
3.	¡(a + 1) = a¡(a) для всiх					a > 0;
4.	¡(n + 1) = n!			для кожного		n 2 N;
5.	¡(a) ¡(1 ¡ a) =			¼	при	0 < a < 1.
5.	¡(a) ¡(1 ¡ a) =			sin a¼	при	0 < a < 1.
Бета-функцiя Ейлера B(a; b) означається формулою
	B(a; b) = Z0 1			xa¡1 (1 ¡ x)b¡1 dx;			де a > 0 та b > 0:
	Властивостi бета-функцiї Ейлера
1.	B(a; b) = B(b; a)			для всiх		a; b > 0;
	+1	xa¡1 dx
2.	B(a; b) = Z0	xa¡1 dx			для всiх		a; b > 0.

		(1 + x)a+b

Зв’язок мiж гамма-функцiєю Ейлера та бета-функцiєю Ейлера

виражається формулою
B(a; b) =	¡(a) ¢ ¡(b)	для всiх a; b > 0:
B(a; b) =	¡(a + b)	для всiх a; b > 0:
	¡(a + b)
	56

З допомогою Ейлерових iнтегралiв обчислити такi iнтеграли:

	+1					+1
1.	Z0	x3 e¡x dx;			2.	Z0	x4 e¡x dx;
	+1					+1
3.	Z0	p		e¡x dx;	4.	Z0	p		e¡x dx;
								x3
			x
	Z					Z
	+1					+1

5.x e¡x4 dx;

(1 p¡

)

dx;

9. Z01 p3

dx;

x2 ¡ x3

11.

Z01 p6

dx;

x5 ¡ x6

13.

Z0a x2 p

dx, a > 0;

a2 ¡ x2

15.

;

1 x3

17.

, n > 0;

2 dx

19.

;

(1 + x)4

+1 p3

21.

;

(1 + x)4

6.x2 e¡x6 dx;

	0
8.	Z1	p1x2		x dx;
			¡

0Z1 p

10.x ¡ x2 dx;

	0
12.	Z1 p4 x3 ¡ x4 dx;

Z1 p

14.1 ¡ x2 dx;

	0
16.	Z1	p4			dx					;
					1 x4
	0	¡
	+1
	Z0						dx
18.				x							;
				(1 + x)3
	+1 p							dx
							x
20.	Z0										;
			(1 + x)5
	+1 p3								dx
						x2
22.	Z0										;
			(1 + x)6

+1 p4

23.

;

24.

;

(1 + x)2

1 + x3

x dx

25.

;

26.

;

1 + x3

1 + x4

2 dx

+1 x dx

27.

;

28.

;

1 + x4

1 + x6

29.

x2(2

x);

30.

x3(2

x)2

;

31.

;

32.

;

(2 + x)3(2

x)(1 + x)3

¡22

¡13

33.

(2 ¡ x)2(x ¡ 1) dx;

34.

;

x3(3

x)3

+1p

ln x

+1pln x dx

35.

dx;

36.

(x + 1)

;

x + 1

+1ln x dx

+1x2=3 ln x

37.

;

38.

dx;

x2 + 4

1 + x2

39.

Z0 2

sin6 x cos4 x dx;

40.

Z0 2

sin2 x cos2 x dx;

41.

Z0 2

sin3 x cos5 x dx;

42.

Z0 2

sin4 x cos6 x dx;

43.

tg x

;

44.

tg2a¡1 x dx,

0 < a < 1.

(sin x + cos x)2

Визначити область iснування i виразити через гамма-функцiю Ейлера чи бета-функцiю Ейлера такi iнтеграли:

Z+1

45.xm¡1 e¡nx dx при n > 0;

Z+1

47.xm e¡xn dx при n > 0;

0
1
Z		dx
Z	p1 xn
49.	m		при n; m > 0;
0¼	m	¡
Z2

51.sinn x cosm x dx;

Z1 µ 1 ¶m¡1

53. xn¡1 ln x dx при n >

0; 0

Z+1

55.e¡ex emx dx;

¡1

Z+1

57.xa e¡nx ln x dx при n > 0;

	0
	+1
59.	Z0	x ln x	dx;

		1 + x3
	Z1

61.xm (1 ¡ xn)p dx при n > 0;

	0
	¼=2
63.	Z0	sina¡1 x cosb¡1 x	dx;
63.	Z0	(sin x + cos x)a+b	dx;

Z+1

46.e¡xn dx при n > 0;

	0
	+1
48.	Z0	e¡		n		dx	при n > 0;
				2 x2
				2 x2	xm+1
	+1 xm¡1
50.	Z0					dx при n > 0;
50.	Z0		1 + xn			dx при n > 0;
	¼
	Z2

52.tgn x dx;

54.

Z µln

dx;

56.

;

(1 + x2)m

+1xa 1 ln x

58.

dx;

1 + x

+1x ln2 x

60.

dx;

1 + x3

xm dx

62.

при a; b; n > 0;

(a + bxn)p

sinp x dx

64.

1 + cos x

Роздiл XI. Криволiнiйнi i подвiйнi iнтеграли

11.1Криволiнiйнi iнтеграли I роду

Нехай на кривiй L =AB, яка знаходиться в площинi OXY ,

визначена функцiя f(x; y). Розiб’ємо криву точками A = A0,

A1; : : : ; An¡1, An = B на n частин i на кожнiй кривiй Ai¡1Ai виберемо

точку Mi(»i; ´i). Нехай ¢si – це довжина кривої Ai¡1Ai для i = 1; 2; :::; n i

¸ = max ¢si:

1·i·n

Розглянемо вiдповiдну iнтегральну суму

¾ = f(»i; ´i) ¢si:

i=1

Якщо iснує скiнченна границя iнтегральних сум ¾ при ¸ ! 0, яка не залежить вiд способу розбиття кривої L i вибору набору (Mi)ni=1 вiдмiчених точок, то вона називається криволiнiйним iнтегралом першого роду вiд функцiї f по кривiй L i позначається R f(x; y) ds,

тобто							n
	L						X
	Z	f	x; y		ds		lim	f » ; ´	s	:
	Z	(		)		=	¸!0 i=1	( i	i) ¢ i

Властивостi криволiнiйного iнтеграла I роду

1. Значення iнтеграла не залежить вiд напрямку проходження

кривої, тобто	Z	f(x; y) ds = Z
			f(x; y) ds:

2. Нехай iснує криволiнiйний iнтеграл R f(x; y) ds i точка C

лежить на кривiй AB. Тодi iснують криволiнiйнi iнтеграли

R f(x; y) ds i R f(x; y) ds, при цьому виконується рiвнiсть

AC	BC			Z
Z	Z			Z
	f(x; y) ds = f(x; y) ds +			f(x; y) ds:
^	^			^
AB	AC		CB
			R	R
З iншого боку, з iснування iнтегралiв				f(x; y) ds i f(x; y) ds
		R	^	^
випливає iснування iнтеграла		R	AC	BC
випливає iснування iнтеграла			f(x; y) ds.

Формули для обчислення криволiнiйного iнтеграла I роду

1.Нехай крива L задана параметрично системою

½x = x(t);

y = y(t); t 2 [®; ¯];

причому функцiї x(t) i y(t) неперервно диференцiйовнi на [®; ¯]. Тодi

Z Z¯ p

f(x; y) ds = f(x(t); y(t)) (x0(t))2 + (y0(t))2 dt:

L®

2.Нехай крива L задана за допомогою явного рiвняння

y = g(x); x 2 [a; b];

причому функцiя g(x) неперервно диференцiйовна на [a; b]. Тодi

Z Zb p

f(x; y) ds = f(x; g(x)) 1 + (g0(x))2 dx:

3. Нехай крива L задана за допомогою рiвняння в полярних координатах

r = r('); ' 2 [®; ¯];

причому функцiя r(') неперервно диференцiйовна на [®; ¯]. Тодi

Z Z¯ p

f(x; y) ds = f(r(') cos '; r(') sin ') (r('))2 + (r0('))2 d':

L®

Криволiнiйнi iнтеграли I роду вздовж просторових кривих

Аналогiчно вводиться поняття криволiнiйного iнтеграла I роду

вздовж кривої L =AB, яка знаходиться в просторi з прямокутною декартовою системою координат OXY Z, вiд функцiї трьох змiнних f(x; y; z), яка визначена на кривiй L. А саме,

L						n
L						X
Z	f	x; y; z		ds		lim	f(» ; ´	; ³	) ¢s	;
Z	(		)		=	¸!0 i=1	i i	i	i

де A = A0, A1; : : : ; An¡1,^An = B – розбиття кривої L на n частин, ¢si

– це довжина кривої Ai¡1Ai для i = 1; 2; :::; n, ¸ = max ¢si i (Mi)n

1·i·n i=1

		^
– набiр вiдмiчених точок Mi(»i; ´i; ³i) 2Ai¡1Ai.
Нехай крива L задана параметрично системою
x = x(t);		[®; ¯];
< z = z(t); t		[®; ¯];
8 y = y(t);	2
:	2

причому функцiї x(t), y(t) i z(t) неперервно диференцiйовнi на [®; ¯]. Тодi

Z	f(x; y; z) ds = Z¯ f(x(t); y(t); z(t))
Z	f(x; y; z) ds = Z¯ f(x(t); y(t); z(t))		(x0	(t))2	+ (y0(t))2 + (z0(t))2 dt:
L	®	p
	62

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.12.201891.9 Кб5matematuka.docx
#
18.12.2018134.66 Кб6materiali_do_lektsiyi_Fenomen_svidomosti.doc
#
23.02.2016773.12 Кб63Materialna_tochka.doc
#
28.07.201936.24 Кб1maugham 7-9.docx
#
23.02.2016476.68 Кб19MA_I.pdf
#
23.02.2016564.91 Кб10MA_Metod3.pdf
#
13.08.2019157.7 Кб2MD_Doslidzh.doc
#
13.08.2019144.9 Кб1MD_Kompl_dosl.doc
#
13.08.2019163.33 Кб1MD_Komunik_1.doc
#
13.08.2019259.07 Кб1MD_Komunik_2.doc
#
23.02.20161.71 Mб20meddopomga_kn.pdf