ГРУПИ

Література:

1. А. Г. Курош, курс высшей алгебры, М

2. Б. Л. Вандер Ванден, Современная алгебра, ч. І, М.-Л, ОГИЗ, 1947г.

3. Л. А. Калужин, Введение в общую алгебру, М, Наука, 1973г.

Як зазначалось в курсі алгебри першого семестру, основним об’єктом вивчення в алгебрі є алгебраїчні структури. Під алгебраїчною структурою розуміють множину М, на якій задана деяка система алгебраїчних операцій, які задовольняють деякі умови-аксіоми структури. Як відомо, алгебраїчні операції діляться на два типи:внутрішні закони композиції і зовнішні закони композиції. В даному розділі під алгебраїчною операцією, означеною на множині М, розумітимемо скрізь бінарний внутрішній закон композиції на М, тобто відображення прямого добутку М×М в М.

Раніше ми ознайомилися з однією важливою алгебраїчною структурою — полем. Структура поля означається шляхом задання на множині двох алгебраїчних операцій — додавання і множення, які задовольнють відомим дев’яти аксіомам. Але найпростіші серед алгебраїчних структур є структури, які означаються однією алгебраїчною операцією. До вивчення таких структур ми зараз і приступимо.

§1. Алгебраїчні структури з однією операцією. Означення групи, найпростіші властивості груп.

І. АЛГЕБРАЇЧНІ CТРУКТУРИ З ОДНІЄЮ ОПЕРАЦІЄЮ.

Означення 1. Не порожня множина М, на якій означена одна алгебраїчна операція, називається групоїдом.

Алгебраїчну операцію що визначає групоїд, будемо найчастіше називати множенням і вживати мультиплікативний запис a×b. Підкреслимо, що операція, яка визначає групоїд М, повинна бути скрізь означеною на множині М, тобто

Щоб відзначити, що групоїд визначається двома компонентами — множиною М і алгебраїчною операцією, означеною на ній, — часом для групоїда вживають таке позначення: . Як видно з означення, на операцію, яка визначає групоїд, не накладається жодних умов.

Приклади.

1. Множина всіх векторів трьохвимірного простору R, є групоїдом, якщо під алгебраїчною розуміти операцію знаходження векторного добутку двох векторів.

2. Множина всіх підстановок n-го степеня з операцією множення підстановок утворює групоїд.

3. Якщо в множині R всіх дійсних чисел розглядати тільки операцію додавання чисел, то сукупність є групоїдом.

Як відомо, операція знаходження векторного добутку двох векторів є асоціативною і комутативною, відносно неї не існує нейтрального елемента. Операція множення підстановок є асоціативною, але не є комутативною, відносно неї існує одиничний елемент і для кожної підстановки — обернена. Операція додавання дійсних чисел є асоціативною і комутативною, відносно неї існує нульовий елемент і для кожного числа — протилежне.

Як бачимо, в деяких групоїдах алгебраїчна операція насправді задовольняє тим чи іншим умовам. Це дає можливість прокласифікувати групоїд в залежності від того, яким умовам задовольняє алгебраїчна операція групоїду. Ми зупинимось тільки на двох класах групоїдах — півгрупах і групах. Півгрупа — це групоїд, алгебраїчна операція якого є асоціативною. Група — це півгрупа, в якій існує одиничний елемент і для кожного елемента — обернений. Зараз дамо детальніші означення цих об’єктів і вивчимо їх деякі властивості.

ІІ. ПІВГРУПА.

Означення 2. Непорожня множина М, на якій означена одна алгебраїчна операція, яка є асоціативною, називається півгрупою.

Приклади.

1. Множина всіх підстановок n-го степеня з операцією множення підстановок утворює півгрупу.

2. Групоїд , деR — множина всіх дійсних чисел, теж є півгрупою.

3. Множина всіх матриць n-го порядку утворює півгрупу відносно операції множення матриць, бо множення матриць є асоціативним. В цій півгрупі існує одиничний елемент — одинична матриця Е, але не для кожної матриці існує обернена.

4. Сукупністьі, деN— множина натуральних чисел, утворюють півгрупи, причому в першому випадку нейтральний елемент (І) належить півгрупі, а в другому випадку півгрупа не містить нейтрального елемента (0).

5. Множина P всіх цілих парних чисел утворює півгрупу відносно операції множення (добуток парних чисел — парне число, множення чисел асоціативне), причому ця півгрупа нейтрального елемента (І) не містить.

Наявність асоціативного закону для операції півгрупи М дозволяє однозначно ввести в М поняття добутку 3, 4, …, nелементів. Оскільки , то добутоктрьох елементів можна прийняти будь–який із елементіві. Приймемо за означенням:

Добуток 4, 5, …, nелементів означимо рекурентно:

……………………………………………………………………………………

Наявність асоціативного закону для операції півгрупи дозволяє в добутках, що містять більше двох співмножників (такі добутки будемо умовно називати складеними), довільно розставляти дужки. Цей факт випливає з такої теореми:

Теорема 1.Добуток двох складених добутків дорівнює складеному добутку всіх співмножників, що входять до їх складу, взятих у тому ж порядку, тобто(1)

Доведення. Доведення проведемо методом математичної індукції по n.

1. Якщо n=1, то формула (1) прийме вигляд: , яка є справедливою згідно прийнятого означення добутку (m+1)-го елемента.

2. Припустимо, що формула (1) справедлива для деякого n, треба довести, що вона справедлива для n+1:

Використовуючи означення добутку (m+n)+1 елементів і асоціативність алгебраїчною операції, послідовно матимемо:

Отже, формула (1) справедлива при n, то вона справедлива і при n+1. На підставі принципу математичної індукції можна стверджувати, що формула (1) справедлива при будь-якому n.

Наслідок. В складеному добутку можна вільно розставляти дужки.

Справді, тому що у формулі (1) послідовно брати m=1, 2, …, n-1, то дістанемо:

В кожній із одержаній дужок можна на підставі теореми 1 знову довільно розставляти дужки, наслідок чого ми одержимо, наприклад, таке:

ІІІ.ОЗНАЧЕННЯГРУПИ.ПРИКЛАДИ. НАЙПРОСТІШІВЛАСТИВОСТІ ГРУП.

Означення 3. Не порожня множина G називається групою, якщо на ній означена одна алгебраїчна операція, яка задовольняє таким умовам:

1. Алгебраїчна операція асоціативна, тобто ,

2. в G існує одиничний елемент е такий, що ,

3. для кожного елемента Gіснує обернений елемент G такий, що a=a=e.

Якщо алгебраїчна операція, означена в групі, є додатково комутативною, то група називається комутативною або абелевою.

Приклади.

1. Система , де– множина додатних дійсних чисел утворює групу, бо (a,b є ) a,b є ) і операція множення задовольняє аксіомам групи: 1) множення дійсних чисел асоціативне. 2) в існує одиничний елемент – число1 . 3)для кожного числа а є обернене число існує і належить .

2. Множина всіх дійсних чисел без нуля теж утворює групу відносно операції множення дійсних чисел. В цьому переконуємось так само як і в прикладі 1.

3. Множинавсіх дійсних чисел утворює групу відносно операції додавання дійсних чисел. Справді, операція “+” вR задовольняє аксіомам групи: 1) Операція “+” асоціативна. 2) в R існує нейтральний елемент – число 0. 3)для всякого числа а існує симетричний елемент – протилежне число –а.

4. З аналогічних міркувань система, деZ – множина усіх цілих чисел є групою.

5. Множина всіх невироджених матрицьn-го порядку над полем P утворює групу відносно операції множення матриць. Дійсно ()АВ, бо за теоремою про визначник добутку матрицьКрім того, 1)Множення матриць асоціативне. 2)В існує одиничний елемент – одинична матрицяE. 3)Всяка неособлива матриця має обернену, яка, крім того ж належить , бо на підставі теореми про визначник добутку матриць із рівності=E виходить=1 і значить,

6. Множина =всіх значень кореняn-ого степеня з 1 утворює групу відносно операції множення комплексних чисел. Справді, якщо , бо==1. Операція множення задовольняє аксіомам групи: 1) множення комплексних чисел асоціативне, 2) одиниця належить=1, 3) ()() і, бо==1.

7. Множина всіх підстановокn-ого степеня очевидним чином утворює групу відносно операції множення підстановок.

Зауважимо, що групи в прикладах 1-4 і в 6 є абелевими, а групи в прикладах 5 і 7 – неабелеві. Зауважимо також, що алгебраїчні операції в конкретних групах є або операціями множення, або операціями додавання. Групи, в яких алгебраїчні операції є множенням називаються мультиплікативними, а групи, в яких алгебраїчні операції є додаванням , є адитивними. З наведених прикладів видно, також, що одні групи мають безліч елементів – нескінченної групи (групи прикладів 1-5), інші мають скінченну кількість елементів – скінченні групи (групи прикладів 6 і 7). Кількість елементів у скінченній групі G називається порядком цієї групи і позначається Or)=n, а в прикладі 7 Or)=n!. В скінченних множинах групову операцію зручно задавати за допомогою таблиць множення, так званих таблиць Келі. В множині ,що складається з двох поворотів площини навколо нерухомої точкиО – точки повороту l на куті повороту на кут операцією множення задамо такою таблицею Келі:

	e
e	e
		e

Легко перевірити, що множина із заданою операцією є групою.

Вправи.I. Дослідити, чи утворює групу:

1. множина Nвсіх натуральних чисел відносно додавання і відносно множення чисел,

2. множина Qвсіх раціональних чисел відносно додавання і відносно множення чисел,

3. множина відносно операції множення чисел,

4. множина всіх парних підстановок n-ого степеня відносно операції множення підстановок,

5. множина всіх непарних підстановок n-ого степеня відносно операції множення підстановок.

II. Скласти таблицю Келі для симетричної групи .

Відзначимо декілька найпростіших властивостей груп, які безпосередньо випливають з означення аксіоматики групи.

. В усякій групі одиничний елементе є єдиним і для всякого елемента аGобернений елемент теж єдиний.

Ця властивість є безпосереднім наслідком теорем, доведених у курсі алгебри першого семестру, про єдиність нейтрального елемента і симметричного елемента в множині з асоціативною алгебраїчною операцією.

. Для всяких елементів а,bG рівняння ax=b та ay=bмають єдині розв’язки відповідноx=bтаy=b.

Доведення цієї властивості проводиться точно так само, як і доведення відповідної властивості полів.

. (a,bG)((=), тобто елемент обернений до добутку, дорівнює добутку елементів, взятих у зворотному порядку.

Доведення. Щоб показати, що елемент є оберненим доab треба показати на підставі означення оберненого елемента, що і (ab)(еі(ab)=е. Покажемо справедливість першої рівності (друга – аналогічно): (ab)(а(b)=(ae)=a=e.

Подібно до того, як вводиться степінь з цілим показником для дійсного числа, поняття степеня з цілим показником можна ввести для будь-якого елемента групи.

Означення 4. Нехай G– група і n – ціле число. Тоді

,

Правила дій над степенями елементів групи ті ж, що і над степенями дійсних чисел:

4^*. Якщо G– група, то ( аG, m,nZ) : а^m аⁿ=а^{m + n}.

Доведення. В залежності від знаків чисел і розглянемо кілька випадків.

1) m ≥ 0, n ≥ 0. Тоді на підставі означення 4 і теореми 1

а^m аⁿ ==a^m+n.

2) m ≥ 0, n ≤ 0 . Тоді n= -|n| і, використовуючи означення 4 і теорему 1, матимемо:

=

3) m ≤ 0, n ≥ 0. Розглядається аналогічно випадку 2).

4 ) m ≤ 0, n ≤ 0. Розглядається аналогічно випадку 1).

Наслідок. В групі G(аG ) (nZ) : (аⁿ) ^-1 = а^-n , тобто , елементом, оберненим до аⁿ,є а^-n

Справді, аⁿа^-n = а^{n - n}= а⁰ = е,

а^-n аⁿ = а ^{– n + n}=а⁰= е.

Методом математичної індукції властивість 4можна розповсюдити на довільну скінчену кількість співмножників

5. В групіGдля

:()ⁿ=

Доведення. Розглянемо два випадки.

1. m – довільне, n. Тоді на підставі властивості 4і означення 4

2. m – довільне,n<0. Використовуючи означення 4, наслідок з властивості 4і перший пункт доведення даної властивості, матимемо:

=⁼=.

Вправа. Перефразувати властивості 3-5 для адитивних груп.

Зауважимо, що при переході до адитивних груп поняття n-ого степеня елемента замінюється поняттямn-кратного елемента елементу