Metod_2a_2002

2

УДК 622(07)

Методические указания и варианты заданий к расчетно-проектировочным работам по курсу “Сопротивление материалов” для студентов строительных специальностей дневной формы обучения / Сост.: В.И.Осыка, А.И. Демидов.

Приведены примеры выполнения расчетных работ. Перед каждой задачей имеется перечень вопросов для самостоятельной работы и краткие теоретические сведения, знание которых позволит студенту успешно выполнить расчетную работу.

Авторы выражают искреннюю благодарность лаборантам кафедры Сергеевой Л.И. и Солодковой Е.А. за компьютерный набор текста и рисунков.

5

V0, 0 прогиб и угол поворота в начале координат;

М0, Q0 изгибающий момент и поперечная сила в начале координат; Р, М, q действующая на балку нагрузка;

m, p соответственно расстояния от момента и силы до рассматриваемого сечения mn; p = z - ap. m = z – am.

uн, uк расстояние от рассматриваемого сечения mn до точек начала и конца действия распределенной нагрузки.

uH = z - aH uK = z -aK

Правила пользования уравнениями (4.9), (4.10)

4.2.2.1.Начало координат выбираем в крайней левой или крайней правой точке балки.

4.2.2.2.Знаки слагаемых, входящих в уравнения, определяем по правилу знаков изгибающих моментов.

4.2.2.3.В уравнения входит нагрузка, заключенная между началом координат и рассматриваемым сечением: mn.

4.2.2.4.Правило знаков для определения перемещений:

+Vz прогиб направлен вверх,

+ z сечение поворачивается против часовой стрелки (ось z вправо), сечение поворачивается по часовой стрелке (ось z влево)

4.2.2.5. Начальные параметры V0 и 0 определяются из кинематических условий (закрепление балки на опорах), М0 и Q0 из статических условий (реакции в опорных точках балки рис.4.3, рис.4.4, рис.4.5).

y

8

4.2.4. Расчет на жесткость Расчет на жесткость заключается в том, что максимальный прогиб в пролете и на

консоли балки не должен превышать заранее заданной величины, зависящей от длин пролета и консоли. Устанавливается нормами проектирования.

В пролете балки:

В том случае, когда одно или оба условия не выполняются, производим подбор балки по жесткости:

По величине IХ из сортамента прокатных профилей подбираем двутавр.

Величину максимального прогиба в пролете определяем, приравняв уравнение угла поворота на соответствующем участке нулю:

dVz z 0. dz

Решая полученное уравнение относительно z, находим сечение, в котором прогиб достигает величины Vmax. Подставив найденное значение Z в уравнение Vz этого участка, определяем Vmax.

4.2.5. Анализ эпюр Mx, Qy, Vz и z

Для построеных эпюр Mx, Qy, Vz и z должны выполняться следующие зависимости:

Упругая линия балки строится в соответствии с найденными значениями прогиба и их знаками. На участках балки, где эпюра моментов положительная, упругая линия вогнутая; на участке, где эпюра моментов отрицательная упругая линия выпуклая.

В сечениях, где Мх = 0, упругая линия балки меняет знак кривизны.

Аналогичные зависимости наблюдаются между эпюрами QУ и Z. Между прогибом и углом поворота сечения балки должны существовать такие зависимости, как между функцией и ее производной (4.12). В сечении, где угол поворота Z =0, прогиб VZ достигает экстремального значения. На участке балки, где Z < 0, прогиб убывает; в случае Z >0, прогиб возрастает.

9

4.3.Порядок выполнения работы

3.3.1.Для заданной балки строим эпюры изгибающих моментов МX и поперечных сил QУ.

3.3.2.Из условия прочности по нормальным напряжениям подбираем размер двутавровой металлической балки.

3.3.3.Выполняем проверку прочности балки по MAX, MAX и по одной из теорий прочности.

3.3.4.Определяем перемещения балки в заданных точках методом начальных параметров.

3.3.5.Определяем перемещения в тех же точках балки с использованием способа Верещагина (таблица 4.1).

3.3.6.Результаты определения перемещений сводим в таблицу 4.2.

3.3.7.Сравниваем полученные перемещения по величине и направлению двумя методами и определяем их численные значения.

3.3.8.Cтроим на одном чертеже эпюры Mх, QУ, VZ, Z. Производим анализ этих эпюр.

3.3.9.Выполняем расчет балки на жесткость.

4.4. Содержание работы

Выполнить расчет заданной балки на прочность и жесткость с построением соответствующих эпюр. Проанализировать полученные результаты.

4.5. Пример выполнения расчетной работы № 4

Задана балка, закрепленная и нагруженная, как показано на рис.4.7. Р=40 кН, q=20кН/м, М=70кНм, R=210 МПа, Е=2·105 МПа, = 6м, а=3м.

4.5.1.Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис.4.7а,в).

4.5.2.Из условия прочности по нормальным напряжениям подбираем поперечное сечение металлической двутавровой балки:

Мmax =102,5 кН·м,

Согласно ГОСТ 8239 72 принимаем I № 30: Wx=518 см3, Ix=7780 см4, b=14,5 см, d=0,65 см, t=1,07 см, F=49,9 см2, Sx=292см3 (рис.4.8).

Проверка прочности балки по максимальным нормальным напряжениям:

Проверка прочности балки по максимальным касательным напряжениям: Qmax = 70 кН, RСР =0,7R, R = 0,7·210 = 147 МПа;

10

4.5.3. Проверка прочности балки по IV теории

Для рассматриваемой балки проверку делаем для сечения mn, расположенного бесконечно близко справа от точки С (рис.4.7):

Mmn = 100кНм, Qmn = 50 кН.

Строим эпюры z и y для опасного сечения двутавровой балки и показываем напряженное состояние элементов в точках 1, 2, 3, 4, 5 (рис.4.8)

Рис.4.8

Определяем значение эквивалентных напряжений по IV теории прочности:

уIVЭКВ у2 3ф2 1792 3 222 183MР8 < R = 210МПа

Условие прочности выполняется.

4.5.4. Определяем прогибы и углы поворота методом начальных параметров в точках А,

В, С, D (см. уравнения 4.9, 4.10).

Для рассматриваемого примера (рис.4.7) начало координат выбираем в т.А.

Va 0, a 0, Qa = 0, Ma= 0.