METODIChKA_Nachertat_Geometria

1.Точка

Построение изображений предметов в начертательной геометрии основано на методе проецирования. Так как каждый предмет можно рассматривать как совокупность точек, по-

кажем сущность метода проецирования на примере одной точки. Проведем через точку А пространства (рис.1) прямую линию и отметим точку А1 пере-

сечения этой линии с плоскостью П1, на которой будем стро-

ить изображение предмета.

Точка А называется оригиналом, точка А1 проекцией,

прямая АА1 – проецирующим лучом, плоскость П1 – плоско-

стью проекций. Если проецирующий луч АА1 перпендикулярен

плоскости проекций П1, то проецирование называется орто-

Рис.1

гональным, а точка А1 называется ортогональной проекцией точки А.

Спроецировав по этому принципу все точки предмета, получим его изображение.

На рис.1 видно, что одна проекция точки не определяет ее положения в пространстве,

так как в точку А1 проецируются все точки проецирующего луча АА1. Для того чтобы по чер-

тежу можно было определить положение точки в пространстве необходима ещё одна проек-

ция на другую плоскость проекций.

Возьмем две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1 и П2 (рис.2).

Плоскость П1 называется горизонталь-

ной плоскостью проекции, а плоскость П2 –

фронтальной плоскостью проекций. Линия их пересечения называется осью проекций и обозначается Х12 .Спроецируем точку А орто-

гонально на обе эти плоскости (проецирующие лучи АА1 и АА2 перпендикулярны соответст-

вующим плоскостям П1 и П2). Получим две проекции точки А1 и А2.

Точка А1 называется горизонтальной проекцией точки А, а точка А2 - фронтальной

проекцией.

Рис. 2

В трехмерном пространстве положение точки определяется тремя прямоугольными (декартовыми) координатами. Отметим на оси

Х12 точку О – начало координат. Координатную ось Х совместим с осью проекций Х12, коор- 4

динатную ось Y – с плоскостью П1, а Z – с плоскостью П2. Тогда отрезок ОАх определит ко-

ординату Х точки А, отрезок АхА1 – координату У, а отрезок АхА2 – координату Z. Таким об-

разом, две проекции точки А1 и А2 полностью определяют ее положение в пространстве.

Координатные оси Y и Z определяют третью плоскость проекций, перпендикулярную плоскостям П1 и П2. Эта плоскость называется профильной плоскостью проекций и обозна-

чается П3. Положительные значения координат указаны на рис.2 стрелками.

Повернем плоскость П1 вокруг оси Х12 до совмещения с плоскостью П2.

Получим плоский чертеж, называемый эпюром (рис.3). Фронтальная и горизонталь-

ная проекции точки располагаются на одной прямой, перпендикулярной оси Х12. Эта линия называется линией проекционной связи. Положение фронтальной проекции точки А2 опреде-

ляют координаты Х и Z , горизонтальной проекции А1 – Х и Y.

Рис. 3

На рис.3,б показано, как построить профильную проекцию точки А3 по горизонталь-

ной и фронтальной проекциям.

Плоскости П1 и П2 делят все пространство на четыре четверти, отмеченные на рис.4

римскими цифрами I, II, III и IV. Точка А находится в I четверти. Все ее координаты имеют положительное значение. У точки В, находящейся во II четверти, координата Y будет отри-

цательной, у точки С в III четверти отрицательными будут координаты Y и Z , а у точки D в

IV четверти – координата Z. При совмещении плоскостей проекций обе проекции точки В окажутся выше оси Х12, точки D ниже оси Х12 , а у точки С горизонтальная проекция выше оси Х12, а фронтальная ниже. Координаты точки показывают величины расстояний точки от плоскости проекций. Координаты Y – это расстояние точки от плоскости проекций П2, коор-

дината Z – от плоскости проекций П1 , координата Х – от плоскости проекций П3. Если точка лежит на одной из плоскостей проекций, то одна из ее координат будет равна нулю.

5

Рис. 4

2.Прямая линия

Положение прямой линии в пространстве определяется двумя ее точками. Чтобы по-

строить проекции прямой, возьмем на ней две произвольные точки А и В (рис.5) и спроеци-

руем их на плоскости проекций П1 и П2. Соединяя прямыми одноименные проекции этих то-

чек, получим проекции прямой.

Рис. 5

Две проекции прямой полностью определяют ее положение в пространстве.

Если точка С лежит на прямой, то ее проекции лежат на соответствующих проекциях прямой. Если эта точка делит отрезок АВ в каком либо отношении, то в том же отношении

проекции точки делят проекции отрезка.

6

Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой об-

щего положения.

Ортогональные проекции отрезка прямой общего положения всегда меньше длины самого отрезка. Длину отрезка прямой можно определить по двум его проекциям.

Рассмотрим прямоугольный треугольник

АВ1(рис.6).

Катет А1 равен горизонтальной проекции от-

резка А1В1, а катет В1 – разности координат его концов, взятой на другой проекции отрезка. Гипо-

тенуза этого треугольника равна длине отрезка или,

как иногда говорят, его натуральной величине.

Угол между натуральной величиной отрезка и его проекцией определяет угол наклона прямой

Рис. 6 к соответствующей плоскости проекций.

На рис. 7а натуральная величина (н.в.) отрезка определена на горизонтальной плоско-

сти проекций и угол ά есть угол наклона прямой АВ к горизонтальной плоскости проекций

П1.

Рис. 7

Аналогично на рис.7б натуральная величина определена на фронтальной плоскости проекций. В этом случае угол β определяет угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций П2. Этот способ определения натуральной величины отрезка прямой называ-

ется способом прямоугольного треугольника.

Следами прямой АB называются точки пересечения ее с плоскостями проекций

(рис.8). Точка Н – горизонтальный след прямой АВ. Точка F – фронтальный след прямой АВ.

7

Для определения на эпюре горизонталь-

ного следа прямой (рис.9) необходимо продол-

жить фронтальную проекцию прямой до пере-

сечения с осью Х12 и отметить точку Н2 . Из этой точки провести линию проекционной свя-

зи до пересечения с горизонтальной проекцией

Рис. 9

Прямые, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций, называются

прямыми частного положения. Прямые, параллельные плоскостям проекций называются

линиями уровня.

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталь-

ной и обозначается буквой h (h1, h2) (рис.10,а). На горизонтальную плоскость проекций она проецируется в натуральную величину и может быть расположена под разными углами к оси

Х12 в зависимости от положения в пространстве, а фронтальная ее проекция всегда парал-

лельна оси Х12.

Аналогично прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций П2, считается

фронтальной и обозначается буквой f (f1,f2) (рис.10,б). Горизонтальная проекция фронтали всегда параллельна оси Х12.

Прямая, параллельная профильной плоскости проекций называется профильной прямой (рис.10 в). У профильной прямой горизонтальная и фронтальная проекции перпен-

дикулярны оси Х12.

8

Рис. 10

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими.

Прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, – горизонтально-

проецирующая (рис.11,а). На горизонтальной плоскости проекций П1 она проецируется в точку, а фронтальная ее проекция перпендикулярна оси Х12.

Рис. 11

Аналогично прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций – фрон-

тально-проецирующая (рис.11,б), а прямая, перпендикулярная профильной плоскости про-

екций П3 – профильно-проецирующая (рис.11,в).

3.Взаимное положение прямых.

Две прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися.

Если в пространстве две прямые параллельны, то их одноименные проекции также параллельны (рис.12). Параллельность профильных прямых не всегда очевидна. Хотя их го-

ризонтальные и фронтальные проекции параллельны, сами прямые могут быть не парал-

9

лельны. Для определения их взаимного положения можно построить профильную проекцию. (рис.12,б).

Пересекающиеся прямые – это прямые, имеющие общую точку, следовательно, если прямые в пространстве пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций ле-

жат на одной линии проекционной связи (рис.13).

Скрещивающиеся прямые не имеют общей точки,

поэтому точки пересечения их одноименных проекций не ле-

жат на одной линии проекционной связи (рис.14). Точкам пе-

ресечения одноименных проекций скрещивающихся прямых соответствуют в пространстве две точки, расположенные на разных прямых.

Пары точек, у которых какие-либо одноименные про-

екции совпали, называются конкурирующими (одна из них

«закрывает» другую). Из двух конкурирующих точек видна

та, у которой больше одна из координат (две другие совпада-

Рис. 14

ют). Например, координата Z (рис.14) у точки М больше, чем у

точки N , следовательно, прямая а в этом месте расположена выше прямой в и будет видима при взгляде сверху, т.е. на горизонтальной проекции. Аналогично, у точки L координата Y

больше, чем у точки К, следовательно, в этом месте прямая а расположена ближе к зрителю и будет видима на фронтальной проекции. Определение видимости конкурирующих точек позволит нам в дальнейшем определять видимость прямой относительно плоскости.

Величина угла между двумя пересекающимися прямыми в общем случае на про-

екциях искажается. В натуральную величину этот угол будет проецироваться в том случае,

если плоскость угла параллельна одной из плоскостей проекций. Тогда другие проекции сто-

рон угла совпадают и параллельны оси проекций (рис 15).

10

Рис. 15

Исключением является тот случай, когда угол между прямыми равен 90° ( прямой угол). Чтобы этот угол проецировался без искажений на одну из плоскостей проекций, дос-

таточно чтобы одна сторона угла была параллельна этой плоскости проекций (рис.16).

Рис. 16

После изучения выше изложенного материала вы можете приступить к выполнению первой самостоятельной графической работы Эпюр1(лист 1).

11

Графическая работа Эпюр 1 (лист 1).

1)Содержание задания Эпюра 1 (лист 1)

По координатам вершин построить проекции треугольной пирамиды АВСS с учетом видимости. Выполнить анализ ребер пирамиды. Найти натуральную величину каждого из ребер.

2)Требования к выполнению графической работы.

Рекомендации к оформлению задания.

Задание выполняется на формате А3 (297х420) карандашом. Надписи на чертеже вы-

полняются шрифтом согласно ГОСТ 2.304-68.

Варианты координат даны в табл.1.

Студенту вариант для выполнения графической работы выдает преподаватель.

Рекомендации к выполнению задания.

Перед тем, как приступить к выполнению работы, необходимо изучить материал, из-

ложенный на стр. 3…11

Пример выполнения графической работы Эпюр 1 (лист 1) смотрите на рис. 17.

Работу начинайте с построения 3-х проекций заданных точек по координатам. Если не знаете, как это выполнить, обратитесь к рис.3.

Соединив все точки между собой, получите проекции треугольной пирамиды. Теперь нужно установить видимость ребер. Те ребра, которые (создают) контур проекции поверхно-

сти нечем не могут быть перекрыты, поэтому всегда видимы. Видимость проекции ребер,

которые находятся внутри контура поверхности необходимо установить с помощью конку-

рирующих точек (см. рис.14). На образце эпюра 1 такими ребрами являются АС и SB. На фронтальной проекции они внутри очерка проекции поверхности. Рассмотрены две конкури-

рующие точки 1 и 2. Фронтальная проекция (22) т.2 видима, поэтому видимой является и проекция ребра SB, которому принадлежит точка 2.

Выполняя анализ ребер пирамиды необходимо мысленно «разобрать» пирамиду на отдельные прямые. Каждое ребро вычертить на отдельных чертежах. Над каждым чертежом надписать название ребра согласно его расположения относительно плоскостей проекций,

т.е. ребро – общего положения или частного положения. Если ребро общего положения, то на его чертеже определить н.в. ребра методом прямоугольного треугольника, ребра частного положения на одну из плоскостей проекций проецируется в натуральную величину. Указать эту проекцию надписав над ней величину н.в. отрезка.

12

Варианты координат для выполнения графической работы Эпюр 1 (лист 1)

13