RII_OCR[1]

2.23. у' = (1 + у2)/(1 + х2). (Ответ: arctg у =

С +

+

arctg х.)

2.24. y'-{l+Y2 =

х2/у.

(Ответ:

-y~(1-+-y2-?=

с +х3.)

2.25. (у + l)у'

у

+ ху. (Ответ: у + In у =

-У[_х2

=

arcsin х + х2/2 + с.)

2.26.. (1 +х2)у' +y-{"l+x2 = ху. (Ответ: у =

c~ )

x+~·

2.27. хуу' = I +Х:. (Ответ: 2у2 -

у4

.. 41п Ixl + 2х2 +

I-y

+с.)

2

dy

+у(l- x)dx =

о.

(~

2у +

2.28. (ху - х)

Ответ: 2" -

+In ly1 =In Ixl +++с.)

2.29. (х2у - у)2у'= х2у -

У+х2

-

1.

(Ответ: ~ -

у+

3.1:

у - ху

'

-

у (о

.. у

1

n

с

'\

-

х sec х·

твет. sш х -

ТХ!

.{

3.2.

(у2 _

зх2)dу +2xydx = о.

(Ответ:

(у2 -

Х )2 Сх2у3.)

3.3.

(х +2y)dx ~ xdy = о. (Ответ: у ---'

Сх2 -

х.)

3.4. (х -

y)dx + (х + y)dy = о. (Ответ: arctg ~

+

J.. In у2 + х2 =

In ~ )

2xy)dx +x2dy =

+ 2

х2

Х •

3.5. (!/ -

о.

(Ответ:

у/(х -

у) = Сх.)

3.6.

у2 +х2у' = хуу'. (Ответ: еУ/

Х

= Су.)

.

о. (ОТ-

вет: .! In (У +Х) +~ In (у2

+ 4х2 ) _ ~ arctg JL =

ln~.)

5

х

5

х2

10

2х

х

3.19. (x-у)уdх-х2dу=О. (Ответ: y=xjln Сх.)

3.20. ху +у2 = (2х2 +ху)у'.

(Ответ:

JL + 21n.!L =

х

х

=ln ~.)

3.21. (х2 -

2ху)у' = ху -

у2.

(Ответ: .!..- +2 In JL =

.

у

х

3.23. ху' +У(ln ~ -

1) =

о. (Ответ: у=; хеС/Х.)

3.24. (х2 +y2)dx +2xydy =

о. (Ответ: у2=

с3 jЗХ -х2jЗ.)

3.25. (у2 -

2xy)dx -

x 2dy =

о.

(Ответ:

(у -

Зх)jу =

=

ln (Сх).)

3.27. (2х -

y)dx +(х +y)dy =

о.

( Ответ: -+ ln( у2 ~х2

) + a~ctg ~ =

ln Сх.)

3.28. 2х3у' = у(2х2 -

у2). (Ответ:

у2 = х2лп(Сх)4.)

ренциального уравнения.

у = (хз t

4.1. (х2 + l)у' +4ху = 3, у(О) = о. (Ответ:

4.2. у' +У tg х = sec х, у(О) = о.

+ 3x)j(x2

+ 1) .)

(Ответ: у =

sin х.)

4.3. (1 -

х) (у' +у) =

е-Х, у(О) =

о. (Ответ: у =

=е-

Х

1

In __.)

ху' -

2у = 2х\

у(l) = о.

у = х

1-х

4.4.

(Ответ:

4 -

х2 .)

4.5.

у' = 2х(х2 +у),

у(О) = о.

(Ответ:

у = х2

+ 1 _ е'.)

4.6.

у' -

у =~, у(О) = 1. (Ответ: у =

(х + l)еХ .)

е;;' -)

4.7.

ху' +У+хгХ' = О, у(l)= 21е. (Ответ:

у =

4.8.

cos ydx = (х +2 cos y)sin ydy, у(О) = лj4.·

х2у' +ху + 1 =

(Ответ: х=( sin2 у -

+) co~y-)

4.9.

о, уо) =

о. (Ответ: у =

-

(In x)jx.)

у(О) = 1.

(Ответ: х(у­

- 1)2 =

(у -In у - 1).)

In х.)

4.14. х(у' -

у) = ех, у(l) = о. (Ответ: у = е

Х

4.15. у =

х(у' - х cos х),

у(лj2) = о.

(Ответ:

у =

= (sin х - l)х.)

1)ln х =

у(е) =

у =

(ln5 х­

4.16. (ху' -

2у,

о. (Ответ:

-ln2 x)j3.)

-

х)у' = 1,

у(О) = о.

х = е

-

4.17. (2е

У

(Ответ:

У

е-У.)

4.18. ху'

+(х + l)у = Зх2е-х,

у(l) = о.

(Ответ:

у =

= (х2 -

ljx)e- x .)

1. (Ответ: х=у2_ у.)

+х ctg у)у' = 1,

у(О) = лj2.

(Ответ:

х =

= -sin у cos у.)

,

4.21. (х + l)у' +у =

х3 +х2,

у(О) = о.

(Ответ:

у =

3х· +4х3 )

,

12(х+ 1)·

4.22. (ху'- 2у +х2 = О, у(l) = о. (Ответ: у = -х2

1п х.)

4.23. ху' +У = sin х, у(л/2) = 2/л.

(Ответ:

у = (1 -

-

cos х)/х.)

l)у' - ху = х3 -

Х, у(-у2) = 1. (Ответ: у =

4.24. (х2 -

= х2 -1.)

.

4.25. (1 -

х2)у' +ху = 1,

у(о) = 1.

(Ответ:

у = х +

+~2.)

4.26. у' ctg х - у -:- 2 cos2 Х ctg х, у(О) = о. ( Ответ: у =

=

6 sin х - 2 siп

З

х .)

=

1/(cos rij

С - tg х

).)

5.5. xydy =

(у2 +x~dx. (Ответ: у =

x-V2(C - l/х).)

5.6. ху' +2у +х5у ~ = о. (Ответ: у =

= 1/(x2-.j2(еХ + С»).)

5.7. у'х3 sin у =

ху' -

2у. (Ответ:

х=-.

jy/(C - cos у).)

5.8. (2х2у In у -

х)у' = у. (Ответ:

х = 1/(у(С -ln2 у».)

5.9. 2у' --=- =~.2

(Ответ: у =

у

х

-

1

, --- == -

2x2-JY=

=..jC--r;c-1-Ух2 1.)

5.10. ху' -

4у. (Ответ: у. {-(С+ 111 х)2.)

+lnlx+ll».)

1/(x(G + In х».)

5.13. у'х + У =

_ху2. (Ответ: у =

5.14. у' -

ху =

_у3е-Х'. (Ответ:

у = e'i2 /-.j2(С + х).)

5.15. ху' -

2#у = у. (Ответ: у =

х(х2/2 + с)2.)

5.17. у' =

.!... е2х +у. (Ответ: у = eX~х2 + С.)

у

5.18. ух' +х= _ух2 . (Ответ: х= 1/(y(C+ lny)).)

5.19. х(х -

l)y' +уЗ = ху. (Ответ: у =

.

= (х - 1)/';Г2--(Х-lП-Х-+-С).)

5.20.

2х3уу' + 3х2у2 + 1 = о. (Ответ: у =~С х/х3/2.)

5.21.

dx =(~ _ 2x)dy. (Ответ: х = у/(у2 + С).)

+С)

3/2 .)

у = l/(ln х + 1 + Сх).)

5.23. ху' + У -:- y2 1n х. (Ответ:

5.24. xdx = (х2/у - y3)dy. (Ответ: х = y.j С _

у2.)

.-----;:----,,----

5.26. у' +у =

= 2ГХ'/~2x2г2X'

+е-

2Х' +4С.)

x/y~2. (Ответ: у =

= е-х.у

-)

хе3Х _-}е3х + С

5.27. у' - У tg х +у2 cos Х = о.

(Ответ:

у =

l/«x +

+ С) cos х).)

5.28. у'+2у =

2-2{;. (Ответ: у=

х

cos Х

5.29. у'

- У +у2 cos Х = о. (Ответ: у"= 2е

Х

/(eX(cos х +

+ sin х) +

С).)

.

5.30. у'. х-/У+ /(~ 1. (Ответ: у =(-}(х2 - 1)3/4 +

+C/~l.)

Решение типового варианта

Найти общее решение (общий интеграл) дифферен­

циального уравнения.

x2y)dy = о.

1. (ху2

+ x)dx +(у -

ydy

-xdx

у2+ 1 =

1-х2

Интегрируем обе части последнего равенства:

С ydy

1

= -С xdx

, ..!..ln (у2 +

1)=..!...ln ,х2 -11 +..!..ln С

J у2 +

J 1 - х2

2

2

2'

у2 + 1 =

С 1х2 - 11,

у2 = С 1х2 - 11 -

1.

Следовательно, общим решением исходного уравнения

является

y=+-у'

~

Сlх2 -11- 1.

2.

sec 2 х tg ydx +sec2 у tg xdy = о.

sec 2 ydy = _ sec 2 xdx

С d(tg у) = -С d(tg х)

tg у

tg х

'] tg у

J tg х '

ln Itgyl =

-ln Itgxl +ln ICI, tgy=Cjtgx,·

tg у. tg х= С,

,

, +

' +

их - х

,

+

и - 1

У

=их

и, их

и=--, их

и=-I+'

х+ их

и

u'х = и -1 _ и = _и2 -

1

du

=

и2 + 1

и + 1

и +

1

,хdx

.."... и + 1 •

u + 1 du = _.!!:!.... f

u + 1 du =

_С.!!:!....

и2 + 1

х ' ) и2 + 1

) х '

~C 2udu

+С~ =

-ln 'хl +

ln ICI,

2 ) и2 + 1

) и2 + 1

dy _ ху + е-

Х

- у

dy + 1 - х

_

е-Ж

ух -

1-х 'Ух т=х

у

- т=-х.

dy

е-

Х

Уравнение

-d +У =-1-- -

линейное

первого по-

х

-х

рядка. Решаем его с помощью

подстановки у = u(х)и(х).

Имеем:

у'=u'и+uи', u'и+uи'+uи=~,

1-х

u'и +

dV

)

е-

Х

(1)

и( dx + v

= т=х.

Находим функцию и(х)

из условия ~~ +v . О:

dv =

-и, dv =

-dx, fdv = _С dx,

ь

v

) v

)

r x 2dx =IUI(X)=x.

dUI=dx,

1=

)~

dVI= ~, VI=..;т+;2

1 +х2

= х..;т+;2 -

~..;т+;2dx, = х..;т+;2 - ~ ~dx =

/

1 +х2

= х..;т+;2 _ r

dx

_ r x 2dx .

)~ )~

Из последнего равенства получаем:

2 r ~ = x--{l+;2 -ln Iх+..;т+;21 -

2С,

)

1 +х2

r ~=-}х..;т+;2--}lП Iх+..;т+;21-с.

)

1 +х2

Следовательно,

--1-={х..;т+;2_-} ln Iх+..;т+;21 -

с,

-1- =-} ln Iх +..;т+;21 _-}x--{l+;2 + С,

1

_~

1

_~

с)

-1

.

U = ("2 ln Iх +v 1 + х2

1 -"2

х У 1 + х2 +

Окончательно находим, что общее решение исходного

уравнения определяется формулой

у= 1

-.jl

+х2

~

1

"21n Iх+~I-"2х-.jl +х2 +С

1.5.

у" =

4 cos 2х,

хо =

л/4, у(О) == 1, у'(О) = 3.

(Ответ:

4,36.)

у" =

1/(1 +х2), ХО = 1, у(О) = О, у'(О) =

1.6.

О.

(Ответ:

0,44.)

вет: 0,77.)

1 8

У

'"

=е

2х

,Х

О

1

(О)

9

'(О)

1

"(О)

1

.•

=2'У

=в'У

=Т'У

= -2'

(Ответ:

1,22.)

1.9.

y"'~ cos2 Х,

ХО =

л,

у(О) = 1,

у'(О) =

-1/8,

у"(О) = О. (Ответ: 3,58.)

1-.10.

у" =

1/~2, ХО =

1, у(О) = 2, у'(О) =

3. (Ответ:

5,57.)

,

1.11. у" =_1_

ХО =~л

у(...::.) =...::.

у'(...::.) =

1

sin 2

2x '

4'

4

4 '

4

.

(Ответ:

3,93.)

вет: 5,31.)

1.13. у" =

arctg х, хо =

1, у(О) =у'(О) =

О. (Ответ: 0,15.)

1.14.

y"=tgx._- ,

хо=л/4,

у(О) =

1/2,

у'(О)=О.

1

(Ответ: -0,39.)

cos2 х

1.15. у'" = ех/2 + 1, хо = 2, у(О) =

8, у'(О) =

5, у"(О) = 2.

(Ответ:

25,08.)

'\

1.19. у'" sin4 х =

sin 2х,

хо = 5л/2,

у(л/2) =

л/2,

у'(л/2) = 1, у"(л/2) = -1.

(Ответ: 7,85.)

1.20. y"=cosx+e- x , хо=л, y(O)=-е-", у'(О) = 1.

(Ответ: 1,00.)

sin3 х, хо = 2,5л, у(л/2) = -7/9, у'(л/2) = О.

1.21. у" =

(Ответ: -0,78.)

1.22. уШ =.,;; -

sin 2х,

хо = 1, у(О) =

-1/8, у'(О)=

= +cos 2, у"(О)= {-. (Ответ: 0,08.)

1.23. у" =

/

,Хо =

4л, у(О) = О, t/(o) = 1.

(ОТ­

cos (xj2)