RII_OCR[1]

\<!i!

\у

_\<!i!

+С)

\у

+С)

х = е

у(

-

Yd

у

=

е

/nlyl(

-

-Iniyld

у

=

2е

2е

чается в следующем. Введем две неизвестные

функции и(х) и v(x)

по формуле у = и (х)и(х) (nодстановка Бернулли).

Тогда у' = и'и + ии'.

Подс;гавив выражения для у и у' в уравнеиие (11.13), получим

уравнеиие и'и + ии' + Р(х)ии = Q(x), которое преобразуем

к виду

(и' + Р(х)и)и + и'и = Q(x).

(11.18)

бираем

в

качестве

v

любое

частное

решение

v = и(х)

уравнения

и' + Р(х)и = О,

(11.18».

После

этого

уравнение

(11.18)

превращается в

уравнение

и'и = Q(x).

Найдя общее решение

и·= и(х, С) последнего уравнеиия,

придем к общему решению уравнения

(11.13): у = и(х, С)и(х). Таким

образом, интегрирование уравнения (11.13)

сводится к интегрированию

двух уравнений с разделяющимися переменными.

Пример 3. Проинтегрировать уравнеиие

't

х =

1

х

У +

У

g

cos

методом

Бернулли

и

решить

задачу

Коши

при

иачальном условии

у(л) = 1.

и'и + ии',

~ Сделав подстановку Бериулли

у =

ии, у' =

получим:

и'и + ии' + ии tg х =_1_, (и' + v tg х)и + и'и =_1_.

cos

х

. cos

х

Находим частиое решеиие уравнения

и' + v tg х = О:

dv +

v tg xdx

dv

+

tg xdx =

О'

= О, -v

~d:+~tgXdX=O, 1п

Ivl-In Icosxl =1п С,.

Полагая С, = 1, выбираем частное рещеНие

и =

cos х. Далее ищем

общее решение уравнення и'и =

I/cos х, где и,= COS х. Имеем:

,1

~

dx

С

=tgx+

С

.

и =--2-' и=

--2-+

cos

х

cos х

Общее решение исходного уравнения

у = ии =

(tg х + С) cos х.

z/ +(1 - a)P(x)z = (1 -

a)Q(x).

(11.20)

Решнв

уравнение

(11.20)

одним

нз опнсанных выше

методов, найдем

z = z(x,

С), а затем и у = Zl/(I-«).

Уравнение Бернулли, как и лннейное уравнение (11.13), можно

решить с помощью подстановки

Бернулли у = и(х)и(х)

(см. пример 3).

Пример 4.

Найти

общее

решение

уравнения

Бернулли уl +

z =у!-« =...;;. Согласно уравнеиию

(11.20), получим

уравнение

z/ + eXz = е', общее решеиие' которого

в соответствии

с формулой

неflие Бернулли

с

а =

2. Решим

его

методом

подстановки

Бернулли

(у = ии, у/ = и/и

+

ии/):

х(и/и + ии/) + ии = х(ии? Iп х.

Легко получаем частное решение

v = х- I

уравнения. хи/ + v = О.

Теперь иеобходимо

найти общее

решение

уравнення хиu/ =

хи2 и2 Iп х,

где и;= x- I , т.

е.

уравнения и/

= и2

Iп х

-- . Разделяем переменные в

х

последнем уравнении и иитегрируем его:

.!!.!:. =

Iп x~,

(.!!.!:. =

rIп x~,

и2

х

J u2

J

х

_

...!... =

Iп2 Х +.Е..

2

и

2

2'

и = - С + Iп2 Х •

а)

у' + ~ = 1 + 2 In х;

б)

у' + 4ху = 2xe-х'.fY.

(Ответ: а)

у =

х In х + Cjx;

б)

у =

+e-х'(С +x 2j2).)

3. Решить задачу Коши:

а)

2xydx +

(у -

x

2)dy =

О,

у(-2) =

4;

б)

у' = 2у -

х +e~, у(О) =

--.:. 1.

(Ответ: а)

Самостоятельная работа

Решить задачу Коши.

1. а) у'

+ 3у = е2Ху2, у(О) = 1;

б)

у'

+у tg х =

I/cos х,

у(л) = 5.

( Ответ:

а)

у = е-2Х ;

б) }{~ -: 5.c.QSX ± sin х.)

2.

а)

y

2dx=(x+ye- /1I)dy, у(О) =

-3;

б) у' - 7у . е3Ху2, у(О) = 2.

y=IOe7Xj(eIOx_6).)

(Ответ: а)

х=е- I /у (з+у);

б)

3.

а)

xdy =

(е-

Х

-

y)dx,

y(l) =

1;

.

~

б) у'- х:'з ~ х~з' y(I)= -2.

(

Ответ: а)

y=J..(1 +J.. -_1); б) у= х-з.)

х

е

~

2-х

11.4. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНblХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ

Уравнение виАа

РСх, y)dx + Q(x, y)dy = О

(l1.2~'

дР(х,

у)

aQ(x, у)

(11.22)

ду

a;r

Х

У

~

Р(х,

yo)dx + ~ Q(x,

y)dy =;= С,

(11.23)

ХО

УО

Х

У

~

Р(х,

y)dx + ~ Q(xo,

y)dy = С,

(11.24)

ХО

уо

где точка Мо(хо, уо) Е D.

уравнения (х2 + у -

Пример.

Найти

общий

интеграл

4)dx +

+(х+ у +eY)dy = О.

4, Q=

х +у + еУ•

~

Введем

обозначения Р = х2 +У -

Так как

дР

aQ

1, т. е. условие

(11.22) выполнено,

то данное уравнение

ау =

1, ах =

х3

у2

3"" +ху - 4х +

Т +& -

1 =

С,

который совпадает с уже найденным. <4

А3-11.3

1. Найти общий инrеграл дифференциального урав-

нения:

+у + sin y)dx + (е

+х +х cos y)dy = О;

а)

(е

Х

У

б)

(2х +eX/Y)dx +( 1 -

;

)eX/Ydy = О;

в)

у' = (у - зх2)/(4у -

х).

х2 +уеХ/У = С;

(Ответ: а)

еХ +еУ +ху +х sin у = с;

б)

в) х3 -ху

+ 2у2 = с.)

б)

xdx +ydy = (xdy - ydx)/(xz +у2), y(l) = f;

в)

х+уеХ+(у+еХ)у'=О, у(О) = 4.

Самостоятельная работа

1. 1. Решить задачу Коши: (2х +у + зх2

sin y)dx +

+ (х +х3 cos У +2y)dy = О; у(О) = 2. (ответ:

х2 +ху +

+ ~у2+х3siПУ=2)

скоростью v(O) =

о.

Найти скорость тела v = v(t)

в любой

момент

времени

t,

если на него, кроме

силы

тяжести

Р = mg,

действует

сила сопротивления

воздуха, про­

1. Общее решение уравнення вида

у(n) = '(х)

(11.25)

на dx и интегрируя, получаем уравнение (n - I)·ro

порядка:

(11.26)

Повторяя эту операцию, приходим к уравиению

(n - 2)-го порядка:

у(n-2) = ~y(n-')dx= ~(qJ,(х)+ё,)dх= ~qJ,(x)dx+ ~ё,dх=

= СР2(Х) + ё,х + ёz.

(11.27)

y,=fy"dx=f(

2

з +ё х+ё

)dх=-

+

)

)

3(х - 3) .t

2

3(х - 3?

1

-

2

+

-

-

+ 2"

Ctx

С2х+ Сз.

y=fY'dx=f(_

1

2

+-21 ёtх2 +ё2х+ёз)dХ=.

)

)

3(х-3)

1

1 -

з' 1 -

2

-

-

1

3(х _ 3)

+ 6" Ctx +

2"

С2х

+

Сзх+ С4 =

3(х _ 3) +

+ Ctx3

+

с2х2 +

Сзх +

С4• ...

(i 1.29)

Вводя

новую

нензвестную функцию

z(x) по формуле z = уЛ

н учн­

тывая.

что y(k+ ')= z'. y(k+2) = z" • ...•

у(n) = Z(n-k). прнходнм к

уравне­

нню (n - k)-ro

порядка относнтельно функцнн z(x):

F(x, г, 2", г", ... , z(n-k» = О,

(11.30)

общее .решение уравнения (11.30) в

виде

z = q>(x.

Ct•

С2• •••• Cn-k).

получнм дифференциальное 'уравненне

z = y(k) = q>(x. Ct •

С2•

••••

Cn _ k)

вида (11.25),

решение

которого

находят

k-краТНblМ

интегрированием.

В частности.

если n =

2. k = 1.

то

уравнение (11.30) -

первого по­

рядка.

Пример 2. Найти частное решение уравнения

xz' = z Iп (zjx).

(1)

Решаем

его известным образом. Делаем подстановку z = хи(х). Тогда

z' = u +

хи', и уравнение

(1)

принимает вид

u + хи' = u Iп и.

(2)

Разделяя переменные в уравненни (2) и интегрнруя, последо­

вательно находим:

du

dx

Iп Ilп u -11 =

Iп х+ Iп Ct,

u(lп u - 1)

х

интегрированием:

у'= xe l + С." У= ~xe l + C"dx = *~ xd(el + С.")=

= _I_(xe l + С., _ ~el + C"dx) =

C1x -; I el + С.,+ С2.

C 1

C1

=

2 cos х

~

siп х

Х =

1

-- 2 - dx + СI COS

2 cos х --- + СI COS Х =

cos

х

cos х

=2+ C1 cosx.

Так

как z = у",

то приходим

К

дифференциальному уравнению

1 типа,

которое легко решается:

у" =

2 + C1 COS Х, у' = ~(2 + CI cos x)dx = 2х + C 1 siп х + С2,

У = ~(2x+ CI siп х + C2)dx=x2 - CI COS Х + С2Х + Сз....

F(y, у', у", ... , у(n)}=о.

(11.31)

В итоге вместо уравнения

(11.31)

получаем уравнение вида

dp

d 2p

d('-')P)

(11.33)

ф ( у, P'"dY'

d y2' ...,

dy'-' = о.

Если уравнение (11.33) имеет общее решение

р =

ср(у,

С"

С2, ... ,

сп- ,),

( (

С

~y

С

) =

( dx,

Чt(у,

С" С2, ••• ,

С._,)=х+ Сп.

J 'Ру,

1, 2,

0'0'

n-I

)

Если

в

уравненни

(11.31)

n =

2, то

уравнение

(11.33) - первого

С

учетом того, что р = у

'

=

dy

перепишем

-;ГХ' последнее уравнение

11 виде

у'=

~3 1

(1)

т!Т+3С,.