Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилёва

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

RII_OCR[1]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.02.2016

Размер:

8.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3529 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

IIЗ которой находнм, что а20 =

аЗI = all. аЗО = alO. а21 = О;:ЧИСJЦI a.IO иаll

можио считать произвольиыми параметрами. Обозиачим их через C1 и

С2 соответствеиио. Тогда решеиие (3) запишется в виде

y\I.2) = (C1+ С2х)е',

y~I.2) =

C1e" ilэl ,2) = (C1+ С2х}е'.

(4)

Корию

Аз = О,

согласио

формуле

(11.62),

соответствует решеиие

у\З) =

а\З)еОХ = а\З),

У~З) =

а~З)еОХ = а~З), у&З) = а&З)е

ОХ

= а&З),

(5)

где числа а\З), а.~З),

а&З) определяются из системы (см. систему (11.63»:

a~) +

а&З) = О,}

а\З) + а~З) _ а&З) = О,

а~З) + a!i) =

О.

Ее решеиие: а\З) =

2Сз,

a\t) = -

Сз,

а&З) = СЗ.

Следовательно, соответ

ствующее

корию

Аз =

решение

вида

(5)

исходиой

системы

(1)

имеет вид

у\З) = 2Сз, ~З) = _ Сз, у&З) = СЗ,

где СЗ -

произвольиая постояиная.

Общее решеиие исходиой системь, записывается в виде

YI = y\I,2)+ у\З) = (C1+

С2х)е' +2СЗ'}'

У2 =

y~I,Z) +У~З) =

C1ex -

Сз,

уз =

y&I.2) + у&З) =

(C1+С2х)еХ+ СЗ'

Если система -

неоднородиая, то, зиая общее решеиие вида (11.64)

соответствующей одиородиой системы, можио иайти общее решение исходиой иеоднородиой системы методом вариации произвольных постояиных C1, С2, ..., Сп В решении (11.64). Рассмотрим этот вопрос

подробиее. Доказано, что общее решение иеоднородной системы всегда

можио записать в виде (11.64), заменив произвольные постояииые C 1, С2, ..., Сп соответственно функциями C1(X), С2(х), ..., Сn(х) (вклю чающими в себя аддитивно произвольные постоянные C1, С2, ... , Сп).

Эти функции определяются с помощью данной неQДНОРОДНОЙ системы:

в нее подставляют YI,' У2,	..., У., y~,	~, ..., !Iп, получают	линейную
систему n алгебраических	уравнений	отиосительно C~ (х),	~(x), ...,

C~(x), решение которой всегда существует и представимо в виде

СНх) = Ipl (х), СНх) = 1p2(Х), ..., C~(x) = !р.(Х),

где !р;(Х) (i = Гn) - известные функции. Иитегрируя эти равеиства,

находим

С;(х) = ~!p;(x)dx + С;,

где С; - произвольиые постояииые. Подставляя в решеиие (11.64) иместо С; = сопst. иайденные значеиия С; (..х), получаем общее решение иеодиородиой системы уравиеииЙ. ~

Пример 4. Решить задачу Коши

y~ =4YI - 5У2+ 4х+ 1,	YI(O) = 1, У2(0) = 2.	}
	YI(O) = 1, У2(0) = 2.	(1)
Y~=YI-2Y2+X,	,

• Прежде ,всего иайдем общее решеиие соответствующей одио

родиой системы

(2)

Корни ее характеристического уравиеиия: "'. = -1. "'2 = 3. а общее ре

шеиие ищем в виде (См.. случаЙ 1):			+ 5C~3x,
у. = С.е-		Х
У2 =	С.е-	Х	+ C~3x.	(3)

Считаем. что в решеиии	(3) С. и С2 ЯВJIяются иеизвестными фуик

циями С.(х) И С2(Х} (в этом суть метода вариации произвольиых по стояииых!). Потребуем. чтобы УI и У2 были решением исходной

системы (1). Находим:	С.(х)е-Х + 5СНх)е3Х + 15С2(х)е3Х,
у\ = Cl(x)e-Х -
y~ = C~ (x)e-~ -	С. (х)е-Х + C~(x)e3X + 3С2(х)е3Х.
ПодстаВJIяем выражеиия для у•• У2. yl. y~ в систему (1). Приводя
подобиые члены. получаем систему:			4х + I.}
С\(х)е-Х + 5СНх)е3Х =
Cl(x)e-Х +		СНх)е3Х =	х.
откуда
1	х		1
CHx)=4(x-l)е		• СНХ)=4(3Х+ l)e- 3x•
Проиитегрировав последние равеиства. имеем:
1	+ С••	С2(Х) = -	1
С.(х) =4(Х - 2)е'			12(3Х + 2)е-3Х + С2.

Подставляя С.(х) и -С2(х) В равеиства (3) вместо С. и С2• получаем

общее решеиие исходной неоднородиой системы (1):

у. =	С.е-	Х	+ 5C~3X+т(х- 2) -	5
				12(3Х+ 2).
У2=	С.е-	Х	+C~3X+т(х-2) -	/2(3Х+ 2).

Используя иачальиые условия. получаем. систему для определения

постоянных С. и С2:		.
1 = С. + 5С2 -		1/2 - 5/6.}
2= С. +	C2 -1/2-1/6.

откуда С. = 11/4. С2 = -1/12.

Таким образом. решением задачи Коши будет следующее частное

решеиие:

1-1	е -	Х	5		3х 1 (	2)	5 (3	х+	2)
у. =4	е -		-Т2е		+4 х-		-12	х+		•
11	е -Х		1	е	3х + 1 (	2	1		2)	.	~
У2=4			-12		4 х-	) - 12(3Х+				.	~

II. Второй метод янтегрироваиия системы (11.60) (метод исклю чения) состоит в следующем. При выполнеиии некоторых условий

всегда можио исключить все иеизвестиые функции. кроме одиоЙ.

иапример у•• и получить для у. (х) одио линейное неоднородиое диффе

ренциальиое уравиеиие с постояииыми коэффициентами (если в системе

(11.60) aij = const) порядка n. Решив его. найдем' все остальиые иеиз

вестиые фуикции У2(Х). У3(Х). ...• уn(х) С помощью операции диффе реицирования. Делается это следующим образом. Дифференцируем по

284

:,~ooe :части первого уравнения _системы (1 ЦЮ) - (с.9итая, ац,;==. consJ).

затем вместо !/J. y~• ...• Y~ подставлн"ем их -значения из системы (Ii .60).

Получаем
y~' = alIY~ +a12Y~ + ... + alпY~ +{Нх) =
= L2(y1. У2• ...• Уn) + F2(X).	(11.68)
где L2(y1. У2. ...• Уn) обозначает известную·линейную	комбищщиlp с

постояиными коэффициентами функций YI. У2• ...• Уn. а F2(X) - Л/шейную комбииацию фуикций I1 (х). 12 (х)• ...• fп(x) и Л (х). Дифференцируя обе части уравиеиия (11.68) по х. опять получаем линейное неоднородиое

уравнение

y~" = LЗ(УI. У2• ...• Уn) + Fз(х).

Продолжая этот процесс. находим

у\n) = Ln(YI. У2• ...• Уn) + Fn(x).

В результате получаем систему n уравнений:

!/J = allYI + al2!l2 + ... + alnYn + fl(X).} У'{ = L2(YI. У2• ...• Уn) + F2(x).

(11.69)

y\n-I) = L"-_I (YI. У2• ...• Уn) + Fn- I(х).

у\n) = L.(YI. У2• ...• Уn) + Fn(x).

Первые n - 1 уравиений системы (11.69) разрешаем относительно

фуикций У2. Уз•...• Уn (это. как правило. возможио). Очевидно. что

эти фуикции выражаются через.х. YI. у\. у\'• ...• y\n-I):
У2 = !Р2(Х. YI.		y~.	у\'• ...•		y\,,-I».
Уз = !рз(х.	YI.	!/J,	У'{,	...•	y\n-I»),	(11.70)
Уn = !рn(Х.	YI.	Y~.	У'{•	...•	y\n-I»).

Подставляя выражеиия дЛЯ У2. Уз• ...• Уn из системы (11.70) в

последнее уравнеиие системы (11.69). приходнм к линейному иеодио родиому дифференциальному уравнеиию n-го порядка с постояниыми коэффициеитами

у\n) = F(x. YI. Y\,!/J~, ...• y\n-I».

общее решеиие которого определяется с помощью известных методов

(см. § 11.5):

					(11.71)
Диффереицируя последиее выражение n -		1 раз по х. иаходим производ
иые y~. У'{• •..• y\n-I). подставляем их в		систему	(11.70)	и	получаем
вместе с фуикцией (11.71) общее решение исходной системы:
У2 = ф2(Х. C1• С2.		Сп).
Уз = Фз(х.	C1• С2•	Сп).			(11.72)
Для решеиия задачи Коши	с учетом системы		(11.71)	-	(11.72) и

;lадаииых, начальиых условий иаходим значения произвольных пост<)яи

ных C1• С2• ....• СП И подставляем "Х в систему (11.71) ---: (11.72).

285

,; ,Пример 5~ Методом исключеиия иайти общее	решеиие, 'систeщ,l
Y~ = 3У, - У2 + Уз + еХ,}	,-.
У~=У'+У2+УЗ+Х,	(1)
у5 = 4у, -У2 + 4уз

~ чаС,тное ее решеиие, удовлетворяющее иачальным условиям:

у,(О) = 0,34, У2(О) = -0,16, Уз(О) = 0,27.	(2)
• Диффереицируем по х первое уравиение системы (1)	и под

ставляем вместо y~, y~, у5 нх выражеиия из этой системы. В резуль

тате имеем

у'{ = 3yi - y~ +у§ +еХ = 3(3у, - У2 +Уз +еХ) - (у, +У2 + Уз - х) + + 4у, - У2 + 4уз + еХ = 12у, - 5У2 + 6уз + 4еХ + х.

Дифференцируем у'{ по х и опять замеияем y'I, У2, y~ НХ выраже

ииями из системы (1):

у'{ = 12у\- 5y~ +6y~+ 4еХ + 1 = 12(3УI -У2+ уз+е1-5(у, + + У2+ Уз -х) + 6(4у, - У2+ 4уз) + 4еХ + Х= 55у,-

- 23У2 + 31уз + 16еХ + 6х.

Следовательно, для даниого случая система (11.69) имеет вид


У; = 3у, -	У2 +'Уз + еЖ,			}
у'{ = 12у,-	5У2+ 6уз + 4еХ +х,			(3)
у\" =55у,- 23У2 + 31Уз+16еХ +6х.
Из первых двух уравнеиий находим У2 и Уз:			- х,
У2 = у\' - 6у\ + 6у, + 2е		Х
уз=у'{-5У\+3УI+ ex-х.				(4)

Выражения дЛя У2 и Уз подставляем в третье уравиение системы (3):

у\" = 55у, - 23(у\- 6y~ + 6УI + 2еХ - х) + 31 (у'{ - 5у\ + 3у, + + еЖ _ х) + 16еХ + 6х = 8у;' - 17у! + lOYI + еХ -2х.

Получили иеодиородиое лииейиое уравиеиие третьего порядка с по стояниыми коэффициеитами:

у." -	8у'{ + 17у; - 10у, = еЖ -	2х.	(5)
Решаем его известиым	методом (см. § 11.5).	Составляем	характери
сти~еское уравнеиие
			(6)
кории которого: "', = 1,	"'2 = 2, "'3 = 5. Общее решеиие УI одиородного
уравиеиия, соответствующего уравнению (5), имеет вид

у, = С,еХ + С2е2Х + Сзе5х•

	Правая часть уравнеиия (5) есть сумма двух специальных фуикций
вида	(11.50)	и (11.54):	f(x)=f,(x)+Mx),	fl(x) =	еХ,	12(х)= -2х.
Для	,,(х)=еХ	число z= 1,	т. е. совпадает с	корием	""	=1, поэтому

286

Ik== 1. Для f2(X)= -2х числоz=о н его нет среДН-КОРllеА хаРакте.

ристического уравнення (6), поэтому k = о.

Итак, частное решенне ут уравнеиия (5) следует искать в виде

уТ = Ахе-< + Вх +С,

где иеизвестные числа А, В, С находят с помощью метода иеопреде·

ленных коэффициеитов. Определяем ут', у(, у(' и вместе с iJt под·

ставляем их в уравиеиие

(5). Имеем:

ут' = Ае

+ Ахе-< + В,

у( = 2Ае-< + Ахе-<.

у('= ЗАе-< +Ахе-<,

ЗАе-< + Ахе% -

8 (2Ае-< + Ахе-<) + 17(Ае

+ Ахе%

+ В) -

IО(Ахе-< +

+ Вх + С) = е% - 2х,

4АеХ + 17B-10Вх-IОС=еХ -2х,

4А = 1, -IОВ = -2, 17В - IОС= о,

откуда А =

1/4, В =

1/5,

С =

17/50.

Таким образом,

Общее решение уравнеиия

(5) определяется формулой

С.е

+ c~2x +

Сзе

5Х

у. =у. + ут =

+тхе-< +Бх+

50.

Найдем

производные yf, y~'

и подставим их в равеиство

(4):

yf =

С.е-< + 2C~2x +

5Сзе5Х:- тхе-< +Б'

у.' = С.е-< + 4С2е2Х + 25Сзе5Х

+2"еХ

+ тхе-<,

У2 = С.е-< + 4c~2x + 25Сэе5Х

2" еХ +

Т хеХ -

6(С.е-< + 2С2е2Х +

+ 5Сзе5Х

+ ~ех + -{-хех+ ~) + 6(С.еХ

1 хеХ

17)

2х

+ C~2X + Сзе

5х

+т

+Бх+ 50

+ 2е -Х= С,е -

2С2е

+Сзе

5х

1 хех

-е-<+т

+БХ+

25'

уз =

С.е-< + 4c~2x +

25Сзе5Х +

2"еХ + тхе-<-

- 5 ( С.е-<+ 2С2е2Х + 5Сзе5Х + -{-е-<+-{-хе-<+ f) + з(С.еХ +

+ С2е

2Х

Сзе

5х

17)

+ е-< - х =

- С.е-< -

+ тхе-<

Бх

+ ЗСэе5х

I Х

-ЗС2е Х

те

-тхе-<.-БХ +

50.

Следовательио, общее решеиие системы

(1)

иайдено:

у, = С,еК + С2е2Х +Сзе5Х +тхеК +Бх+ 50'

У2

= С,е

2С

2е

2х

зе

5х

+ 1

Х + 6 + 21

тхе

25'

Уз= -

,е

ЗС' 2х + 3С

зе

5х + 1 Х

1 хе'

2 + 1

те

-т

-sx

50·

Для решения задачи Коши воспользуемся иачальиыми условиями. Получим систему для определеиия произвольных постояиных CI, С2, Сз:

17	СI +	С2 +	Сз +	17
50 =	СI +	С2 +	Сз +	50'
4	~ С,-2С2+ Сз -1				21
- 25	~ С,-2С2+ Сз -1				+25'
27					1	1
100 =-С,-3С2+3СЗ +Т + 50'
откуда С, = О, С2 = О,Сз = о.
Искомое ча.стное решение имеет вид: .
	1 хеХ		1	17
	1 хеХ		1	17
у,=т		+sX+ 5O '
Y2=~Xe'-			еХ +~x+~
	4		5		25'

А3-11.8

1. Найти общие решения данных однородных систем

уравнений, не пользуясь методом исключения:


а) {Y~= -7YI+Y2,				б) {Y~=YI-3Y2,
		y~ = -2YI - 5У2;		Y~ = 3YI + У2;
	{	Y~ =YI-Y2+Y3,
в)		Y~=YI +У2-УЗ,
		у~=2УI-У2.			У2 = e- 6X ((C 1 +
(Ответ:		а) YI = e-6х (С1 cos х +		С2 siп х),
+C2)cOSx-(С1-С2)siпх);				б) YI=~(Clcos3x +
+ С2 sin 3х), У2 =			eX(C1sin 3х -	С2 cos 3х);	в) YI = C1ex +
+ С2е2Х + Сзе-х,			У2 = C1ex - 3Сзе-х, Уз =		C1ex + С2е2Х -

-5Сзе-Х .)

2.Методом исключения найти общее решение каждой

из следующих систем уравнений:

а) {У1= -5УI+2У2+ еХ,	б) {у~=3УI-2У2+Х,
y~ = YI +6У2 + е-2Х;	y~ = 3YI - 4У2;

288

(Ответ: а)

_ С

- 4х + С

2е

-7х + 7

Х + I

- 2х

У2=

Yt-

Б"е

_ I С

-4х

2е

-7х + I

Х + 3

-2х.

б)

-"2

40 е

то е

+ С2е

-ЗХ

2х + 3С

-ЗХ

)

-зх-тв, У2=

2е

-"2Х-Т2; в

У! = CteX +

c~2x +

СзеЗх, У2 = CteX + 2СзеЗх, Уз =

2Ct~ +

+С2е2Х + 2СзеЗХ .)

3.Решить задачу Коши для следующих систем диффе

ренциаЛЬНbIХ уравнений:

{Y~ =У2,

а) Y~ = Уз, У' (О) = У2(0) = уз(О) = 1;

Уз=Уt, .

{Y~ =У2 +Уз,

б) У2=Уt+Уз, Yt(O) = -1, У2(0) = 1, уз(О}=О.

Уз=Уt+У2,

Самостоятельная работа

Найти общее решение систеМbI дифференциаЛЬНbIХ уравнений.

1 {Y~ = У2 + tg2 Х - 1,

•y2=-Yt+tgx.

(Ответ: Yt=Ctcosx+C2 sinx+tgx, У2= -Ctsinx +

+С2 cos Х + 2.)

{y~ =У! - У2,

2.Yz=Yt +У2+ еХ.

(Ответ:		У! = (С! COS Х +		С2 sin х -	l)eX ,	У2 = tС! sin х
-	С2 cos х)еХ .)
	3. {Y~ =		У! +У2 - COS х,
		У2 =	-'-2у! -У2 +	sin х + cos х.
(Ответ:		У! = С! COS Х +		С2 sin х -	х cos Х, У2 = (С2
-	C t) COS х -		(С! + С2) sin х + x(cos х +			sin х).)

289

11.8. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 1( ГЛ.1I

ИД3-11.1

Найти общее решение (общий интеграл) дифферен

циального уравнения.

1.1.	eX+3Y dy=xdx. (Ответ:			е3У =З(С-хе-Х -е-Х).)
1.2.	у' sin х = у In у. (Ответ: In у = с tg (xj2).)					х2 + С)
1.3.	у' =	(2х - 1) ctg у. (Ответ: In Icos у' =х -
1.4.	sec2	х tg ydy	+ sec2 у tg xdy = О.		(Ответ:	С =
=,tg У tg х.)			eYdx = О.			+ 1) =
1.5. (1 +eX)ydy -				(Ответ:	-е-У(у
= In _Х	еХ _ + с.)
е	+ I
1.6. (у2 + 3)dx -			е' ydy = О. (Ответ: In(y2 + З) =			2(С-
_ хе-Х _ е-Х).)			Х

1.7.sin у cos xdy = cos у sin xdx. (Ответ:

С= cos xjcos у.)

1.8.у' = (2у + 1) tg х. (Ответ: -JГ2-у-+-I = Cjcos х.)

1.9. (sin (х + у) + sin (х - y»)dx + dy = О	(Ответ:
cosy	С + 2 cos х.)
tg у =	С + 2 cos х.)

1.10.(1 + еХ)уу' = еХ . (Ответ: у2 = 2 In С(еХ + 1).)

1.11.sinxtgydx- ~y =0. (Ответ: In Isinyl =С+

SIП Х

I 1 . 2 )

+2"Х-"4SIП х.

1.12. ЗеХ sin ydx + (1 - еХ) cos ydy = О. (Ответ: sin у =

=С(еХ _ 1)3.)

1.13.y'=e2X jlny. (Ответ: у(1пу- 1)={е2Х +С.)

1.14.ЗХ'+Уdу +xdx = О. (Ответ: ЗУ ={З-Х2 + С ln З.)

1.15.	(cos (х - 2у) + cos (х + 2у»)у' =		sec х.	(Ответ:
sin 2у =	tg х	+ С.)
1.16. у' =		е'х(1 +у2). \ Ответ: arctg у =		с +{е'.)
1.17. ctg х cos2 ydx + sin х tg ydy =			О.' (Ответ: tg2 у =
= ctg2 Х + 2С.)				.

1.18. sinx.y'=ycosx+2cosx. (Ответ: у=Сsiпх-2.)

290

1.19. 1 +(l +у')еУ = о. (Ответ:

С(е

1) =

е-

1.20. у' ctg х + У = 2. (Ответ: у =

С cos х +

2.)

e-X'dy

О (о

твет:

1 .

1.21. -- +-2- = .

-2

+-4 slП

У =

cos

C_~e'2)

2 .

1.22. е

sin ydx +

tg ydy =

о. (Ответ: ln Itg ( ~

+ t)1

=C-еХ.) с

1.23.(1 + e3Y)xdx = e3Ydy. (Ответ: х; =-} In (1 +

+е3У) + с.)

1.24. (sin(2x + у)- sin (2х - y))dx = dy . (Ответ:

			SlПу
			ctg у =	С - sin 2х.)
1.25. cos ydx = 2~2dy + cos y~2dy. (Ответ:
2InI1g(~ + ~)I +y=ln 'x+~21 +с.)
1.26. y'~2 -	cos2 У = о. (Ответ: tg у = arcsin х +
+с.)	(1	- еХ) sec2 ydy. (Ответ: tg у =
1.27. е' tg ydx =	(1	- еХ) sec2 ydy. (Ответ: tg у =
			=	С/(еХ - 1).)
1.28. у' + sin (х +		у) = sin (х -	у). (Ответ:	In Itg ~ I=
= С-2 sin х.)
1.29. cos3 у. у' -	cos (2х + у) =		cos (2х -	у). (Ответ:
		{у ++ sin 2у =		SIП ~x + с.)

1.30. зу'-х' = уу'/х. (Ответ: з-у' = 3-Х' - 'l.Cln 3.)

2.1.(ху+х3у)у'= 1 +у2. (Ответ: Cx=-V(l +х2)(1 +у2).

2.2.у'ЛУ-Х = 3. (Ответ: 7-У = 3· 7-Х + С ln 7.)

2.3. У- ху' = 2(1 +х2у'). (Ответ: у= сх/...;1 + 2х2 +

+2.)

2.4. у-ху'= 1 +х2у'. (Ответ: у=Сх/(х + 1)+ 1.)

291

2.5.	(х +4)dy - xydx = О.		(Ответ:		у =	СеХ/(х +4)4.)
2.6. у'+у+у2=о. (Ответ: y/(y+I)=C-х.)
2.7.	у2 ln xdx - (у - I)xdy =		о.	(Ответ:		~ + In у =
=C+fln2 x)
2.8.	(х + xy2)dy +ydx - y2dx =			о. (Ответ: у +
			+ In (у ~ 1)2			= С+ In х-)
,2.9.	у' + 2у - у2 = о. (Ответ: -у(у -				2)/у =СеХ.)
2.10. (х2 +x)ydx +(у2 + 1)dy =				О. (Ответ:		~2 + In у =
	43	х2 )
=С- з		-2'.

2.11.(ху3 +x)dx +(х2у2 - y2)dy = О. (Ответ:.ууЗ+1 =

=С/-Ух2 1.)

2.12. (I +y2)dx -			(у + yx2)dy =		о. (Ответ:		-} In (у2 +
+ 1) =	С + arctg х.)
2.13.	у' =	2ху +х. (Ответ: f ln 12у + I1 =					х2/2 + С-)
2.14.	У -	х{/ = 3(1 +х2у'). (Ответ: у =				c-V;/.ух +3 + .
+3.)				.
2.15.	2хуу' = 1- х2.			(Ответ:	у2 =	In Ixl	_ ~2 + С-)
2.16.	(х2 -	I)у' -	ху =	О. (Ответ: у =		С-Ух2	1.)
2.17.	(у2х	+y2)dy	+ xdx О. (Ответ:			уЗ	3(С _ х +

+In Ix+ 11).)

2.18.(I+ХЗ)У3dх-(у2_I)Х3dу=о. (OTBet: lny+= =

+~ =c+x-~.2)

2у2 2х

2.19.ху' - у = у2. (Ответ: у/(у + 1) = Сх.)

2.20.-lil+1 dx = xydy. (Ответ: -уу2 +- 1 = In Сх.)

2.21.у'- ху2=2ху. (Ответ: ln ly/(y+2)1 =С+х2.)

2.22. 2х2уу' +у2 = 2. (Ответ:' In 12 - у2 1 = С + I/х.)

292

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3529 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.02.20165.71 Mб137readmsg.docx
#
21.02.2016109.57 Кб60refland.ru_turizm_1.doc
#
13.08.2019254.09 Кб21ReportLab3TPR.docx
#
21.02.2016463.98 Кб21RGR_1.pdf
#
21.02.20166.32 Mб47RIII_OCR[6].pdf
#
21.02.20168.54 Mб66RII_OCR[1].pdf
#
21.02.201642.09 Кб31Rixos.docx
#
21.02.20166.99 Mб55RI_OCR[4].pdf
#
02.12.20183.59 Mб26ROZDIL_ 5.doc
#
10.11.20181.95 Mб10ROZDIL_1.doc
#
15.08.20191.1 Mб12rozdil_3.doc