RII_OCR[1]

~ Имеем уравнение вида (11.31), где n = 3. Вводя новую функцию

р (у) в соответствии с равеиствами (11.32), последовательио находим:

р2 :; +Р( :: )2_(р ::У/Р=6р2у,

р2( ~; _ 6У)= О (р7'= О),

d2p

откуда d7 = 6у. Это уравнение 1 типа, оно легко решается двукрат-

-n

-_r;;'Следовательио, искомое частное решение

6-у3

263

А3-11.4

1. Проинтегрировать следующие уравнения:

y"(-I)=O;

в) у" = е2у, у(О) = О, у'(О) = 1.

3. Автомобиль движется по горизонтальному участку пути' со скоростью v = 90 км/ч. в некоторый момент вре­ мени он начинает тормозить. Сила торможения равна

0,3 от веса автомобиля. В течение какого промежутка времени он будет двигаться от начала торможения до остановки и какой путь пройдет за это время (какова

длина тормозного пути)? (Ответ: 8,5 с; 106,3 м.)

Самостоятельная работа

1.1. Проинтегрировать ypaBHeH~e х2у'" = у"2.

2.Решить задачу Коши 2у' =(y-I)y", у(О)=О,

у'(О) = 1.

называемое лин,ейн,ым одн,ородн,ым дифферен,циальн,ым уравн,ен,ием,

соответствующим уравнению (11.34).

Если ai(x), '(х) непрерывны в области D, которая представляет

собой интервал (а; Ь), то верна теорема Коши существования и един-

264

ственности решения любых уравнений вида (11.34). (11.35) (см. теорему 1 из § 11.1) для начальных условий

у(Хо)=Уо. y/(xo)=y~• ...• y(n-J)(xo)=ybn- I). хоЕ(а; Ь).

где Уо. y~• ...• y&n-I) - любые числа.

При отыскании общего и частного решений уравнений (11.34)

и (11.35) важную роль играет понятие линейной зависимости и линей­

ной независимости фуикций УI (х). У2(Х)• ...• Уn (х).

Функции YI; У2• ...• Уn называются линейно зависимыми в интер­

вале (а; Ь). если существуют постоянные числа /!I. /!2•...• /!n. не все n

равные нулю. такие. что ~ /!iYi(X) == о для любых х Е (а; Ь). Если же i=1

указанное тождество выполияется только в случае. когда все /!i = О.

то функции Yi(X) называются линейно независимыми в иитервале (а; Ь). Определителем Вронского (или вронскианом) называется опреде­

литель вида

Уn(Х) уравнения (11.35) называется фундаментальной системой реше­

ний. С ее помощью строится общее решеиие одиородиого уравнения

(11.35). Справедлива следующая

Теорема 1. Если YI. У2• ...• у" - любая фундаментальная система

решений уравнения (11.35), то функция

n

(11.37)

где С/ - nроизвольные постоянные, является общим решением уравне­

ния (11.35).

ных В \lсходное уравнение показывает, что они являются его реше­

ниями. Их вронскиан имеет вид (11.36):

1

Следовательно. еХ, е-Х• е2Х линейно независимы и образуют фунда­ ментальную систему решений исходного уравиения. Его общее решение. согласно формуле (11.37). имеет вид

у = C1ex + С2е-Х + Сзе2Х. ....

265

Теоремл 2 (о структуре общего решения уравнения 11.34). Общее

можно найти методом вариации nроизвольных постоянных (методом Лагранжа), согласно которому у* всегда представимо в виде

которая является линейиой системой алгебраических уравиений от­ носительно n неизвестных СЕ. Определитель системы является опре,­ делителем Вронского (см. формулу (11.36», который в случае фунда­ меитальиой системы решений у;(х) отличен от нуля. Поэтому система (11.39) имеет единствеиное решение СЕ = !pi(x). Иитегрируя последние

равенства, являющиеся дифференциальиыми уравнениями первого

порядка, находим С;(х) = ~<l'i(x)dx.

появляются n произвольиых постоянных. Их можно считать равиыми

его частное решение у* методом Лагранжа. СоглаСНQo'формуле (11.38),

у* = C1(x)e' + с2(х)гх + Сз(х)е2<

Система (11.39) в нашем случае нмеет вид

266

системы решений уравнения (11.35) не существует. Поэтому в общем случае иевозможно найти частное решение у* уравнения (11.34) и, следовательно, его общее решение. Других методов решения уравне­ иия (11.34) также не существует. Только в частном случа'е, когда

в уравнеиии (11.34) все коэффициенты а;(х) являются постоянными числами, существует метод нахождения фундаментальной системы

267

Фуидамеитальиую систему решеиий уравиення (11.42) можно

найти. используя только алгебраические методы. следующим образом.

Исходя нз уравиения (11.42). составляем алгебраическое уравнеиие

Лn+р,лn -' +Р2лn-2+ ... +рn_,л+рn=0. (11.43)

которое называется характеристическим уравнением для уравнения

(11.42) _ Оио имеет n корией. среди которых могут быть действитель­

ные простые и кратиЬ{е кории. а также пары комплексио-сопряжен­

UJ,lX корией (простых и кратиых).

Если все корнн Л, характеристического уравнения (11.43)- простые и деЙствительиые. то получаем следующую фундаментальную систему решеиий уравиення (11.42):

(11.44)

Извеj:ТНО. что каждому действительному корню Л кратиости k харак­ теристического уравнеиия (11.43) соответствует ровно k лииейно незавнсимых решений уравнения (11.42) вида

Каждой паре комплексно-сопряженных корней а ± 111 кратности m характеристического уравнения (11.43) соответствует ровио 2т линейно иезависимых решений уравиения (11.42) вида

рактеристического уравиения (11.43) соответствует ровно n линейно независимых решеннй однородного уравиения (11.42). образующих фуидаментальную систему решеииЙ. лииейная комбииация которых

спроизвольными ко~ффидиеитами дает ,общее решение уравнення

(11.42) в соответствии с формулой (11.37).

Пример' 4_ Найти общее решение линейного однородного диффе­ ренциального уравнения четвертого порядка с постоянными ко~ффи-

дифференциальное уравнение второго noрядка с постоянными коэф­

фициента.4l.и

268

,Корни его характеристического уравненин

(11.48)

могут быть:

1)действительиыми и различными: АI =1= А2;

Z)действительными и равиыми: АI ~ Л2 ~ А;

3)комплексио-сопряженными: AI.2 == а ± fIi.,

ние, 'находим его корни, фундаментальную систему решеиий и общее

решение:

а) 1.2 - 15А + 2б = О, АI = 2, А2 = 13;

УI = е2" У2 = e t3x ;

у = Cle2x + C2e 13,;

б) А2 + БА + 9 = О, АI = А2 = -3;

УI = е-3" У2 = хе-3Х ;

у = е-3Х (СI + С2х);

в) А2 -2А+ 10=0, AI.2~ 1 ±3i;

УI = еХ cos 3х, У2 = еХ sin 3х;

у = еХ(С1 cos 3х + С2 siп 3х)• ...

Таким образом, для того чтобы решить лииейное уравнение с по·

стоянными коэффициеитами, необходимо:

1) найти его фундаментальиую систему решений;

2) составить общее решение у однородного уравнения (11.42);

,з) по методу Лагранжа найти частное решение У*, уравнения

(11.41) ; 4) по формуле у = у +у* получить общее решеиие у уравнения

(11.41).

В различных инженерных приложениях правая часть {(х) ура,В­

,некоторые постоянные числа. Частными случаями функции {(х)

являются:

269

Доказано, что во всех этих случаях, а также в общем СЛУЧl;iе (СМ. фор­

мулу (11.49», частное решение у* 'уравиеиия (11.41) имееr аналогич­

ную этим правым частям структуру. Для общего случая ~функции '(х)

корней характеристического уравиения (11.43), совпадающему с чис-

и т. д. Следовательно, согласно формуле (11.55), сразу можно опре­ делить структуру частного решения у*, в котором неизвестными явля-

ются т?лько коэффициеиты многочленов Рт(х) И Qm(X). Подставляя

решение у* и его производные в уравнение (11.41) и прирав,иивая

коэффициенты подобных членов слева и справа, получаем необходи­ мое количество линейных алгебраических уравнений для вычисления

этих иеизвестиых коэффициентов. Такой способ иахождения коэффи­ циентов н, тем самым, у* называется методом неоnределенных коэф' фициентов. Следовательно, зная структуру у* (см. формулу (11.55», можно найти частное решение с помощью элементариых операций, таких, как дифференцироваиие и решение систем линейных алгебраи­

ческих уравнений, ие применяя операцню интегрироваиия, возникаю­

щую при решении уравнения методом Лагранжа. Пример 6. Найти общее решение уравнения

(1 )

~ Составляем характеристнческое уравнение, иаходим его кории,

фундаментальную систему решений и общее решеиие jj соответствую­

щего однородного уравиения:

к '1астиому случаю (11.54), поэтому z=O; Двукратиый корень харак­

так как правая '1асть уравнеиия (1) является многочленом второй

степени. Подставляя y.Il и y.IVB уравиение (1), мы получим тождество

(у* - решение уравнеиия (1». Здесь и далее для удобства вычислений

будем выписывать выражения для у*, у*', у*", у*щ, y*!.v, ... в отдельные

строки и слева за вертикальной '1ертой помещать коэффициенты, стоящие перед ними в уравнении. Умножая эти выражения на коэф­

фициенты, складывая и приводя подобные члеиы, имеем:

270

Оу*'" = 24Ах + 6В,

у*,У = 24А,

y*IV _ 3у*" = -36Ar - 18Bx - 6С + 24А = 9х2•

Приравиивая коэффициеиты при одинаковых степенях х в левой

и правой частях последнего тождества, получаем систему алгебраи-

ческих уравиеиий для ОП?дlе;~~;;, С: }

7! -6С+24А=0.

у*" -7у*' + 6у* = еХ «6А -7А + А)х2 +(6В -7В - 14А + 2А + В + + 2А)х-78 +2А +28) =~(x-2).

Сокращая обе частн последиего тождества на еХ =1= О и прирав­ нивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой

частях. имеем:

откуда А = - 1/10, 8 = 9/25;

271

у* =е"(- _1_ x2+ ~x).

.. 10 25

Общим решеиием уравиения (1) является фуикция

у = у-+у* = С,'е + с2е6. + ех(- W1 х2 + т9s х ) •

Для того чтобы решить задачу Коши, н~ходим .у':

y'=c,e'+6C2e6'+e'C--ioх2+ ;5 х)+е"(- ~ х+ :5}

Используя начальиые условия, получаем лииейную систему урав­ нений для определения значений произвольных постояиных С, И С2:

ние у* уравнения (11.41) можио иайти сразу метоДомЛагранжа или,

что рациоиальнее, разделить иа два этапа: для решеиия уравненпя

(11.56) использовать структуру (11.55), а для решения уравпения

(11.57) применить метод Лllгран;жа.

Поэтому, используя структуру (11.55), методом неоiIределенных коэф­

фициентов иаходим частное решеиие уТ уравнения

272