4.2.5. Теорія міцності Мора

Розглянуті вище теорії, засновані на перевірці міцності для пластичних матеріалів за величиною дотичних напружень, не враховують розходження властивостей матеріалу при роботі на розтягання та стискання, тобто для випадків, коли . Таке розходження властивостей матеріалів враховується теорією, що одержала ім'я німецького вченого Мора. Виведення цієї теорії, яке наводиться в літературі з опору матеріалів, є доволі громіздким. Це позв'язане з тим, що при її одержанні напружений стан описувався графічним чином за допомогою так званих кіл Мора.

Розглянемо інший спосіб, заснований на узагальненні теорії найбільших дотичних напружень. Відповідно до цієї теорії умова міцності має вигляд (4.19). Перепишемо це рівняння таким чином:

. (4.24)

Рівняння (4.24) у графічному змісті являє собою пряму лінію, де ;; при; при.

(4.25)

Вигляд цієї прямої наведений на рис.4.6,а.

Будь-яка точка, що належить площині , наприклад, точка А, відповідає деякому напруженому станові. Пряма (4.25) поділяє цю площину на три зони: зона граничних напружених станів – точки цієї зони належать граничній прямій лінії (4.25); зона безпечних напружених станів точки цієї зони знаходяться вище і ліворуч граничної прямої лінії (внутрішня область); зона небезпечних напружених станів – точки цієї зони знаходяться праворуч і нижче граничної прямої лінії (зовнішня область). У точках цієї області гарантувати міцність не можна.

Таким чином, наведений на рис.4.6,а графік дає можливість оцінити за допомогою третьої теорії міцність елемента за місцезнаходженням точки, що визначає даний напружений стан ().

Рис.4.6

Використовуючи аналогію, розглянемо випадок, коли . У цьому випадку точки граничної прямої, що належать осям координат, визначають наступні напружені стани:;.

Вид граничної прямої для цього випадку наведений на рис.4.6,б. Опишемо цю пряму.

Рівняння прямої у відрізках має вигляд:

, (4.26)

Де ;;;.

Введемо коефіцієнт , підставимо цей коефіцієнт у рівняння (4.26) і перетворимо рівняння до вигляду:

. (4.27)

Рівняння (4.27) є рівнянням граничної прямої. Ліва частина цього рівняння являє собою еквівалентне напруження для розглянутого напруженого стану. Вводячи знак нерівності у рівняння граничній прямої (4.27), одержуємо теорію міцності Мора:

(4.28)

Нерівність (4.28) описує внутрішню область безпечних напружень (Рис.4.6,б).

Теорія міцності Мора є узагальненням теорії найбільших дотичних напружень і буде їй ідентична при рівності допустимих напружень . У цьому випадку коефіцієнт.

П'ята теорія міцності (теорія міцності Мора) добре підтверджується експериментом для більшості будівельних матеріалів (камінь, деревина, пластмаси), тобто для тих матеріалів, що не укладаються в сформульовані раніше класичні теорії міцності.

Підводячи підсумок розглядові класичних теорій міцності, можна написати умову міцності при об'ємному напруженому стані у такому вигляді:

, (4.29)

де  еквівалентне (розрахункове) напруження;  допустиме напруження при простому розтяганні і стисканні. Розрахункове напруження може бути витлумачене як розтягальне напруження при лінійному напруженому стані, еквівалентному розглянутому об'ємному напруженому стану у відношенні небезпеки для міцності матеріалу.

Вибір теорії міцності, а значить і формули для , таким чином, відповідає на запитання: який критерій міцності матеріалу настільки ж надійний для розглянутого об'ємного напруженого стану, як і для лінійного?

Що стосується практичного застосування теорій міцності, то тут варто мати на увазі, що будь-який матеріал в залежності від умов роботи і виду напруженого стану може перебувати як у крихкому, так і в пластичному стані. У зв'язку з цим необхідно виділити ті теорії міцності, які придатні для перевірки міцності матеріалу при його пластичному стані, і ті, котрі варто застосовувати для перевірки міцності матеріалів у крихкому стані. Експерименти показують, що для пластичного стану матеріалів найбільш достовірною є енергетична теорія міцності. Незначно розходиться з експериментом для пластичних матеріалів теорія найбільших дотичних напружень.

Що стосується крихкого стану матеріалів, то для оцінки міцності в цьому випадку іноді використовується друга теорія міцності  теорія найбільших лінійних деформацій; наводяться експерименти, які показують, що у ряді випадків підтверджується для такого стану матеріалу і теорія найбільших нормальних напружень; нею користуються на практиці для перевірки міцності таких матеріалів як камінь, чавун та ін.

Крім классичних теорій міцності, розглянутих у даній темі, існує ще кілька десятків так званих “нових” теорій, що пропонують нові підходи до оцінки міцності конструкційних матеріалів. В рамках даного посібника ці теорії не наводяться.

Усі наведені вище теорії міцності були записані через головні напруження. На практиці ми часто маємо справу не з головними напруженнями. У зв'язку з цим при практичних розрахунках зручно мати формули для еквівалентних напружень для різних теорій міцності, які виражені через нормальні і дотичні напруження, що діють у довільних площадках.

Розглянемо кілька окремих випадків плоского напруженого стану і запишемо для цих випадків умови міцності відповідно до різних теорій.

Один з таких окремих видів напруженого стану наведений на рис.4.7. Цей вид напруженого стану часто зустрічається в розрахунковій практиці при плоскому поперечному згинанні, деяких видах складного опору та ін.

Рис 4.7

При визначенні еквівалентних напружень для наведеного на рис.4.7 окремого виду напруженого стану візьмемо до уваги, що

. (4.30)

Підставляючи (4.30) у вираз (4.17), умову міцності відповідно до першої теорії міцності одержимо у вигляді:

. (4.31)

Для другої теорії умова міцності після підстановки (4.30) у (4.18) набуває вигляду:

. (4.32)

Для третьої теорії умова міцності після підстановки (4.30) у (4.19) запишеться так:

. (4.33)

За четвертою теорією умова міцності після подстаноки (4.30) у (4.23) і деяких перетворень матимеме вигляд:

. (4.34)

Як уже відзначалося вище, для оцінки міцності пластичних матеріалів використовують як теорію найбільших дотичних напружень, так і енергетичну теорію міцності. З'ясуємо на прикладі розглянутого вище окремого випадку напруженого стану, яка існує розбіжність між цими теоріями міцності. Для цього, використовуючи вираз (4.33) та (4.34), обчислимо значення еквівалентних напружень при різних вихідних значеннях і.

Припустимо, що . Тоді. При;. Порівнюючи ці значення, можна зробити висновок, що максимальна розбіжність між третьою і четвертою теоріями складає 15%. В практичних задачах при невеликих значеннях дотичних напружень ця розбіжність суттєво менша. Тому використовують обидві теорії для оцінки міцності матеріалів у пластичному стані.

Приклад 4.2. Перевірити міцність чавунної деталі (що працює у складному напруженому стані), якщо головні напруження в небезпечній точці перерізу: МПа;;МПа. Коефіцієнт Пуассона.

Допустиме напруження на розтягання МПа, на стискання МПа.

Розв’язок:

1. Для перевірки міцності чавуну на розтягання варто застосувати теорію найбільших лінійних деформацій:

МПа.

Отримане розрахункове напруження близьке до допустимого на розтягання.

2. Якби ми скористалися для розрахунку теорією найбільших дотичних напружень (непридатної для крихкого стану матеріалу), то одержали б помилкові результати:

МПа.

У цьому випадку розрахункове напруження є близьким до руйнівного напруження.