sin x

dx

sin x

dx

dx

dx

1

sin x

2

2

x

cos

x

cos

d cos

x

tg x x C

1

tg x x C .

2

x

cos x

cos

24. sin 3 xdx .

3 cos4 x

Solution. Write the integral in the form:

ò

sin2

x sin xdx

= ò

(1-cos2 x) sin xdx

.

3

cos4 x

3 cos4

x

sin3 xdx

(1 t2 )dt

t2 dt

2

4

dt

t

dt t

dt

3

3

3 t4

3 cos4 x

3 t4

3 t4

5

1

5

1

3 t 3

3t 3

C 3 cos3 x

3cos 3 x C.

5

5

25.

cos x sin x dx .

sin x cos x

Solution. Since cos x sin x (sin x cos x) , namely

cos x sin x dx

d(sin x cos x)

ln | sin x cos x | C .

sin x cos x

sin x cos x

1.

2

sin

5 x C .

2.

3

x

1

sin 2x

1

sin 4x C .

3. cos x 1 cos3 x C .

4.

tg x

5

8

4

32

3

1 tg3 x C .

5. 1 ctg5 x 1 ctg3 x ctg x x C .

6.

1 cos5 x

1

cos7 x C .

3

5

3

5

7

7.

1

sin 2x

1

sin10x C .

8.

1 cos 4x

1

cos14x C

.

9.

1

cos 6x

1

cos8x

20

28

4

8

12

32

1

cos 4x C .

10.

x

1

ln

cos x sin x

C .

11.

C ln

cos x sin 2x

.

16

2

2

tg

x

5

x

1

4

3

12.

ln

cos x sin x

C .

13.

x

ln

4 cos x 3sin x

C .

14.

ln

2

C .

2

2

25

25

tg

x

3

2

15. 1 ctg3 x 1 ctg5 x C . 16.

sin x

2

1

5

x

C .

ln

tg(

)

2cos2

sin x

2

3

5

x

3sin3 x

4

2

17.

1

ctg2 x ln

sin x

C .

18.

1

ctg4 x ctg2 x ln

ctg x

C .

19.

1

sin10x

1

2

1

1

4

cos x

40

x

sin10x

sin 4x

sin12x 1 sin 2x C .

20.

1

C .

+

ln

tg

16

2sin2 x

40

48

8

2

2

21.

1

x

C .

22.

1

acrtg(

2 tg x) C .

23.

4 4 tg x C .

ln

tg(

)

2

2

8

2

24.

4

x

3

ln

tg x

2

2

3

ln

cos x

C .

25

25

5(tg x

2)

25

4.1.1. а) cos4 3x sin 2 3xdx ;

б)

tg xdx

;

в) cos 3x cos xdx .

1 4 tg2 x

4.1.2. а) cos3 x5 sin 4 xdx ;

б)

tg 2xdx

;

в) sin x cos 4xdx .

4 tg2 2x

4.1.3. а) cos3 x sin8 xdx ;

б)

dx

;

в) cos 7x cos 5xdx .

sin

3

x cos

7

x

4.1.4. а)

cos3 xdx

;

б)

dx

;

в) sin 5x cos 3xdx .

3 sin 4 x

1 16 sin2 x

4.1.5. а) sin 3 xdx ;

б) cos28xdx ;

в)

sin 3x sin 2xdx .

3 cos4 x

sin

x

4.1.6. а) cos3 xdx ;

б)

sin 2xdx

;

в)

sin 3x cos xdx .

4

4

3 sin 2 x

sin

x cos

x

4.1.7. а)

sin 3 xdx

;

б)

dx

;

в) sin 9x cos xdx .

3

cos

4

x

7 8sin x 6 cos x

4.1.8. а)

3sin 3 xdx

;

б)

tg xdx

;

в) cos 2x cos 3xdx .

cos4 x

9 4 tg2 x

sin 3 xdx

(3 sin x)dx

в) sin 5x sin 7xdx .

4.1.9.

а) 5

cos

2

x

;

б)

3 cos x

;

4.1.10. а) cos4 x sin3 xdx ;

б)

dx

;

в) sin 4x cos 2xdx .

9 cos

2 x

4.1.11. а) 8 cos5 x sin3 xdx ;

б)

dx

;

в) sin x cos 9xdx .

2 5 cos2 x

4.1.12. а) cos4 x sin 2 xdx ;

б)

cos25xdx ;

в) sin 3x cos 2xdx .

sin

x

4.1.13. а) 3 cos2 x sin 3 xdx ;

б)

dx

;

в)

cos 5x cos xdx .

1 4 tg x

4.1.14. а) 3 sin 2 x cos3 xdx ;

б)

dx

;

в) cos 4x cos 3xdx .

5 4 cos x

4.1.15. а) cos4 x sin 5 xdx ;

б) sin 5 x cos 5 xdx ;

в) sin 3x sin 8xdx .

4.1.16.

а) cos4 x sin 6 xdx ;

б) (2 3sin x)dx

;

в)

sin 6x sin 5xdx .

3 2 cos x