17. Особливості розв’язку геодезичних задач у просторі.

Аналітичні методи обчислень не згубили свого значення і в теперішній час, проте область їх застосування змінилась в зв'язку з широким використанням ЕОМ в різних галузях, в тому числі і в геодезичній практиці. Якщо майже єдиною базою для наближених представлень складних функцій, з якою виходила геодезія, особливо сфероїдна її частина, був розклад функцій в ряди Тейлора, то тепер, на перший план, вийшли різноманітні чисельні способи розв'язування диференційних рівнянь і обчислення еліптичних інтегралів. Відомо, що еліптичні інтеграли і походжені від них еліптичні функції в диференційних рівняннях, котрі мають квадратні корені із многочленів вищих степенів, є основним математичним апаратом поверхні еліпсоїда.

Чисельні методи, що використовуються при розв'язуванні головних геодезичних задач, можна розділити на дві групи:

а) обчислення еліптичних інтегралів методами чисельного інтегрування;

б) чисельне інтегрування диференційних рівнянь.

Зазначимо, що обчислення елітичних інтегралів методами чисельного інтегрування (формули трапецій, Сімпсона, Чебишева, Гаусса, Грегорі тощо) не є оптимальним розв'язком головних геодезичних задач. Справа в тому, що квадратурні формули, наприклад, Гаусса хоча і вимагають досить мало машинної пам'яті, проте у практичному застосуванні приводять до ускладнення програм. В період малопотужних ЕОМ дані методи мали певне практичне застосування.

В даний час оптимальним методом в розумінні точності і ефективності розв'язування головних геодезичних задач, як вже було підкреслено в п.3.4.2.6 є метод чисельного інтегрування диференційних рівнянь, названий на честь авторів методом Рунге-Кутга. Відомі також його модифікації: Рунге-Кутта- Інгланда, Рунге-Кутта - Мерсона.

Характерні риси даного методу:

• простота програмування (декілька десятків операторів для будь-якої мови програмування);

• висока точність розв'язування на відстані до 20 тис.км;

• універсальність і однотипність обчислювальної процедури при будь-яких відстанях;

• можливість оцінки точності інтегрувння на одному кроці.

Практично єдиний недолік даного методу - наявність порівняно потужної ЕОМ - на даний час не є принциповим.

У першому розділі розглянуто в загальних рисах метод Рунге-Кутта 4-го порядку для розв'язування диференційних рівнянь. Тут ми зупинимось на застосуванні цього методу для розв'язування головних геодезичних задач на поверхні еліпсоїда.

18. Використання чисельних методів у вищій геодезії.

Ще в недалекому минулому всі обчислення в області сфероїдної геодезії виконувались з допомогою логарифмів, а пізніше з допомогою малопотужної обчислювальної техніки. При обчисленнях приходилось користуватися об'ємними таблицями тригонометричних функцій та багаточисельними таблицями різноманітних величин, що в основному залежали від широти.

В сучасних умовах, коли майже всі масові обчислення виконуються на ЕОМ, абсолютно відпала необхідність в складанні спеціальних таблиць для геодезичних обчислень. Достатньо мати лише обмежене число постійних величин, необхідних для розв'язування тої чи іншої задачі.

Прогрес обчислювальних методів з використанням сучасних програмних засобів дозволяє навіть обмежитись записом формул в найбільш загальному виді, іноді тільки у виді диференційних рівнянь, а подальші перетворення віднести безпосередньо до процесу роботи на комп'ютері.

Характерним прикладом вибору обчислювальних методів на ЕОМ є застосування чисельних методів для розв'яз^ання диференційних рівнянь і обчислення еліптичних інтегралів. Такі методи були відомі давно, але на практиці не застосовувались, поскільки були досить трудомісткі і складні для ручних обчислень. Алгоритмів, якими користуються в сучасних чисельних методах дуже багато. Якщо їх реалізувати у вигляді достатньо універсальних програм, то вони можуть стати базовими і слугувати основою сучасних геодезичних технологій.

При розв'язуванні задач сфероїдної геодезії приходиться мати справу з наступними обчислювальними задачами:

• апроксимація функцій (поліномінальна, дробово-раціональна),

• чисельне інтегрування (квадратурні формули Гаусса, Чебишева),

• чисельні методи розв'язування диференційних рівнянь з початковими умовами (методи Рунге - Кутта).

Апроксимація (наближення) функцій - це заміщення різноманітних функцій "близькими" до них, але більш зручними для використання, функціями. До задач апроксимації функцій з параметрами, що входять лінійно, відносяться задачі апроксимації поліномами, а з параметрами, що входять нелінійно - дробово-раціональні апроксимації. Наближене представлення неперервної функції з допомогою полінома степені п можна отримати з допомогою ряду Тейлора та цілої низки його модифікацій, а одним із найбільш ефективних методів отримання необхідного числа дробово-раціональних наближень заданої функції є метод ланцюгових дробів.