Завдання на КР Оптим ИЗДН_2015

Національний авіаційний університет

Інститут заочного та дистанційного навчання

Кафедра біокібернетики та аерокосмічної медицини

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ЗАВДАННЯ до виконання курсової роботи з дисципліни «Оптимізація проектних рішень» (спец. 7.05090204)

Тема: Оптимізація характеристик біомедичних пристроїв

Укладач Буриченко М.Ю

Київ 2015

Курсова робота (КР ) з дисципліни «Оптимізація проектних рішень» виконується у відповідності з даними методичними рекомендаціями. Метою КР закріплення і поглиблення теоретичних знань та вмінь студента в області оптимізації пристроїв різного призначення. У процесі виконання КР студент повинен вивчити методи і алгоритми оптимізації, отримати навички складання цільової функції для простих задач.

Час, необхідний для виконання КР - до 36 годин самостійної роботи.

Згідно з робочою програмою дисципліни виконання та захист КР оцінюється за рейтинговою оцінкою, максимально - 30 балів. Відповідність рейтингових оцінок у балах оцінкам за національною шкалою така:

Оцінка в балах	Оцінка за національною шкалою
27-30	Відмінно
23-26	Добре
18-22	Задовільно
менше 18	Незадовільно

Загальні вимоги до курсової роботи

Студент виконує курсову роботу відповідно до методичних вказівок згідно з своїм варіантом. Варіант обирається за останньою цифрою суми двох останніх цифр номеру залікової книжки. Наприклад, останні дві цифри номера залікової книжки 65, їх сума дорівнює 11, тобто треба виконувати варіант 1.

Курсова робота складається з титульного аркуша, завдання на роботу, змісту, основного розділу, висновків по роботі, списку використаної літератури. Робота має бути оформлена на аркушах формату А4. Студент виконує, оформлює та захищає курсову роботу індивідуально.

Методичні вказівки до виконання

В курсовій роботі треба розв’язати дві оптимізаційні задачі і відповісти на теоретичні питання. Задачі розв’язуються аналітично з використанням необхідних і достатніх умов оптимальності функції однієї змінної.

Розв’язання оптимізаційної задачі треба виконати в такому порядку:

1. Навести умови задачі.

2. Навести креслення, що пояснює задачу.

3. Ввести необхідні позначення.

4. Знайти співвідношення між величинами задачі.

5. Записати цільову функцію однієї змінної Q = f(x).

6. Визначити область допустимих значень для змінної.

7. Знайти стаціонарну точку цільової функції, розв’язанням рівняння f’(x) = 0.

8. Визначити характер стаціонарної точки (мінімум, максимум, або перегин) за знаком другої похідної цільової функції.

9. Накреслити графік цільової функції, позначити на ньому точку екстремуму.

10. Зробити висновки.

В додатку наведено основні визначення та співвідношення для полегшення розв’язання деяких задач. Після умов таких задач є посилання на цей додаток.

Приклад розв’язання варіанта завдання

1. Прямокутний лист металу має периметр 36 см. Він має бути згорнутий в циліндр. Визначити: а) довжину і ширину листа, при яких об’єм циліндра буде максимальним; б) максимальній об’єм циліндра.

2. Креслення циліндра

3. Позначимо розміри листа х і у

4. Периметр

або .

Окружність циліндра дорівнює х, отже радіус циліндра

,

а об’єм циліндра

5. Використовуючи підстановку отримуємо цільову функцію, яку треба оптимізувати

6. Перша похідна ЦФ

.

Стаціонарні точки .

Значення не має фізичного сенсу. Отже , а .

7. Друга похідна в точці

Оскільки друга похідна менше нуля, то в точці цільова функція має максимум.

8. Графік цільової функції наведено на рис. 2.

Графік цільової функції

9. Максимальний об’єм циліндра

куб. см

Варіанти завдань

Варіант 1

1. Треба виготовити відкриту коробку з прямокутного куска металу розміром 48 х 18 см. Коробка виготовляється вирізанням квадратів зі стороною Х і загинанням сторін. Визначити сторону квадрата, який треба вирізати, що отримати коробку максимального об’єму. Обчислити максимальний об’єм коробки.

2. Компанія виробляє і продає х біомедичних приладів за місяць. Вартість одного приладу обчислюється як

.

Затрати на виробництво за місяць описуються рівнянням

.

Обчислити для кожного місяця: а) максимальний дохід; б) максимальний прибуток; в) кількість приладів, що дає максимальний прибуток; г) ціна, яку компанія має встановити за кожний прилад.

(***Див. додаток)

3. Дайте характеристику етапів постановки завдання оптимізації проектування технічних виробів.

4. Опишіть метод найскорішого спуску, наведіть його особливості.

Варіант 2

1. Треба виготовити коробку з квадратним дном стороною х і відкритим верхом. Об’єм коробки має бути 32000 куб. см. Обчислити розмір сторони дна х і висоту коробки y, при якої буде використано мінімальну кількість матеріалу.

2. Компанія виробляє і продає х біомедичних приладів за місяць. Вартість одного приладу обчислюється як

.

Затрати на виробництво за місяць описуються рівнянням

.

Обчислити для кожного місяця: а) максимальний дохід; б) максимальний прибуток; в) кількість приладів, що дає максимальний прибуток; г) ціна, яку компанія має встановити за кожний прилад.

(***Див. додаток)

3. Опишіть узагальнений алгоритм прямих методів пошуку екстремуму.

4. Опишіть метод Ньютона пошуку екстремуму, наведіть його особливості.

Варіант 3

1. Треба виготовити відкриту коробку з прямокутного куска металу розміром 16 х 30 см. Коробка виготовляється вирізанням квадратів зі стороною х і загинанням сторін. Визначити а) сторону квадрата, який треба вирізати, що отримати коробку максимального об’єму; б) максимальний об’єм коробки.

2. Компанія виробляє і продає х сенсорних екранів за місяць. Вартість одного екрану

, .

Затрати на виробництво за місяць описуються рівнянням

.

Обчислити для кожного місяця: а) максимальний дохід; б) максимальний прибуток; в) кількість приладів, що дає максимальний прибуток; г) ціна, яку компанія має встановити за кожний прилад.

(***Див. додаток)

3. Опишіть алгоритм золотого перетину для визначення мінімуму функції.

4. Опишіть модифікований метод Ньютона пошуку екстремуму, наведіть його особливості.

Варіант 4

1. Необхідно виготовити циліндричний контейнер об’ємом 1 куб. м. Матеріал для бічної поверхні корпусу коштує 18 грн. кв.м, матеріал для дна коштує 9 грн. кв.м. Визначити: а) радіус і висоту контейнера, при яких витрати мінімальні; б) витрати на матеріал контейнера.

2. Вартість виробництва тонометрів (у $) визначається як

,

де х – кількість (в тисячах) тонометрів, виготовлених за рік.

Обчислити: а) скільки тонометрів треба виготовити, щоб середня вартість на рік була мінімальною; б) мінімальну середню вартість тонометра.

(***Див. додаток)

3. Опишіть алгоритм параболічної інтерполяції для визначення мінімуму функції.

4. Опишіть квазіньютонівськи методи пошуку екстремуму функцій багатьох змінних.

Варіант 5

1. Необхідно виготовити закритий циліндричний контейнер об’ємом 300 куб. см. Матеріал для верхньої і нижньої частин контейнера коштує 2 грн. за кв. дм, а бокової сторони 6 грн. за кв. дм. Обчислити: а) радіус і висоту контейнера, при яких витрати мінімальні; б) витрати на матеріал контейнера.

2. Вартість виробництва біомедичних приладів (у доларах) визначається за формулою:

.

де – х кількість приладів.

Обчислити: а) скільки приладів має бути вироблено, щоб середня вартість одного приладу була мінімальною; б) вартість одного приладу.

(***Див. додаток)

3. Дайте визначення градієнту і матриці Гессе функції багатьох змінних. Наведіть приклади обчислення і застосування.

4. Наведіть постановку завдання оптимізації методами нелінійного програмування.

Варіант 6

1. Необхідно виготовити прямокутну металеву коробку з квадратним дном і без верхньої частини. Обсяг коробки має бути 32 куб. дм. Обчислити розміри коробки, при яких буде витрачено мінімальну кількість металу.

2. Вартість виробництва біомедичних приладів (у $) визначається за формулою:

,

де – х кількість приладів.

Обчислити, скільки приладів має бути вироблено, щоб середня вартість одного приладу була мінімальною.

(***Див. додаток)

3. Наведіть необхідні і достатні умови екстремуму функції багатьох змінних.

4. Опишіть метод множників Лагранжа для розв’язання завдань оптимізації.

Варіант 7

1. Необхідно виготовити прямокутну картонну коробку з квадратною дном і без верхньої частини. В наявності є 12 кв. м картону. Визначити максимально можливий обсяг коробки, що можна виготовити з цієї кількості картону.

2. Міністерство охорони здоров'я описує темпи поширення епідемії рівнянням, яке можна використовувати для визначення найбільш ефективних заходів з протидії епідемії. Недавня епідемія кору описується рівнянням

,

де у – кількість інфікованих людей; t – кількість днів з початку епідемії.

Обчислити а) за скільки днів кількість випадків захворювань досягне максимуму; б) скільки людей будуть інфіковані через 5 днів; в) швидкість поширення епідемії, тобто кількість випадків захворювань в день, через 5 днів після її початку.

3. Опишіть числову апроксимацію градієнта і матриці Гессе.

4. Опишіть умови оптимальності Каруша-Куна-Такера.

Варіант 8

1. Бак з прямокутним дном і прямокутними сторонами з відкритою верхньою частиною має бути побудований так, щоб його ширина була 5 м, а його об’єм – 200 куб. м. Вартість виготовлення дна $20 за кв. м і $15 за кв. м для сторін. Визначити: а) розміри баку, при яких його вартість буде мінімальною; б) вартість баку.

2. При введенні лікарського засобу артеріальний тиск у пацієнта знижується на величину D(х)

,

де х – кількість введеного лікарського засобу в куб. см.

Знайти: а) дозування х, яке забезпечує найбільше зниження артеріального тиску; б) величину зниження артеріального тиску.

3. Наведіть критерії позитивної визначеності матриці Гессе і їх застосування.

4. Опишіть методи оптимізації с використанням штрафних функцій, наведіть типи штрафних функцій.

Варіант 9

1. Бак з квадратним дном і прямокутними сторонами має бути відкритим у верхній частині. Обсяг бака має бути 125 куб. м. Вартість виготовлення дна складає $5 за кв. м., бокових сторін – $10 за кв. м. Визначити а) розміри баку, при яких його вартість буде мінімальною; б) вартість баку.

2. При перевезенні вантажу по автомагістралі витрати (вартість пального, технічне обслуговування, оплата праці водія) на 1 км шляху описується формулою

.

де v – швидкість руху вантажівки.

Вантаж перевозиться на відстань 600 км.

Обчислити: а) швидкість руху вантажівки щоб витрати звести до мінімуму; б) сумарні витрати на перевезення.

3. Наведіть узагальнений алгоритм градієнтних методів мінімізації.

4. Опишіть симплексний метод Нелдера-Міда, наведіть його особливості.

Варіант 10

1. Необхідно виготовити циліндричний корпус об'ємом 1 куб. м. Матеріал для бічній поверхні має ціну $18 за кв. м, матеріал основи і кришки – $9 за кв. м. Обчислити: а) радіус і висоту корпуса, при яких вартість матеріалів буде мінімальною; б) визначити вартість матеріалів.

2. Циліндрична банка для зберігання консервованих продуктів має обсяг приблизно 1,5 куб. дм. Визначити: а) радіус і висоту банки, при яких буде витрачено мінімальну кількість матеріалу; б) кількість витраченого матеріалу.

3. Наведіть критерії закінчення ітераційного процесу градієнтних методів оптимізації.

4. Опишіть метод Хука-Дживса, наведіть його особливості.

***Додаток.

1. Функція затрат С(х) є вартістю виробництва х одиниць певного виробу.

2. Функція ціни є ціною за одиницю виробу, яку компанія може брати, якщо продає х одиниць виробу.

3. Якщо продається х одиниць виробу і ціна за одиницю є р(х), то доход (функція доходу) буде

R(x) = xp(x).

4. Якщо продається х одиниць виробу, то загальний прибуток

P(x) = R(x) – C(x).

11