- •М1жрегюналына академ1я управл1ння персоналом
- •О. Л. Лещинський, в. В. Рязанцева, о. О. Юнькова
- •Об'скт, предмет, мета I завдання економетрп
- •Основнi етапи економетричного аналiзу
- •Економiчнi задачу якi розв'язують за допомогою економетричних методiв
- •МНсце курсу серед дисциплiн фундаментально! шдготовки бакалаврiв з економiчних спецiальностей
- •Структура курсу
- •Коротка юторична довщка
- •Контрольнзапитання
- •1.1. Загальнi принципи моделювання в економщ
- •1.1.1. Поняття математично! моделi
- •1.1.2. Етапи побудови еконогшчно! модел1
- •1.1.3. Класифшащя моделей
- •1.2. Кореляцшно-регресшний анал1з в економМ
- •2) Визначення тГсноти зв'язку (задача кореляцшного аналГзу).
- •1.3. Економетрична модель та и елементи
- •1.4. Статистична база економетричних дослщжень
- •1.5. Особливост математичного моделювання економ1чних систем
- •Контрольш запитання
- •2.1. Приклади парних зв'язмв в економщ
- •2.2. Лшшна модель з двома зм1нними
- •2.3. Метод найменших квадралв
- •Властивост оцшок параметр1в
- •Контрольнзапитання
- •Вправи та завдання
- •3.1. Багатофакторш економетричш модел1 та Ух специфшащя
- •3.2. Метод найменших квадралв 3.2.1. Основн1 припущення
- •3.2.3. Оцшювання за методом найменших квадралв та штерпретащя результалв
- •3.3.2. Перев1рка значущосп та flOBipni штервали
- •3.4. Прогнозування за лшшною моделлю
- •3.5. Методи побудови багатофакторноУ регресшноУ модел1
- •3.6. Етапи дослщження загальноУ лшшноУ модел1 множинноУ регресп
- •3. Перевiрити статистичну значупцсть отриманих результапв:
- •Приклад параметризацм та дослщження багатофакторноУ регресшноУ модел1
- •Контрольш запитання
- •Вправи та завдання
- •4.1. Поняття про мультиколшеаршсть та и вплив на оцшку параметр1в модел1
- •4.2. Тестування наявност мультиколшеарносп
- •4.3. Алгоритм Фаррара — Глобера
- •Приклад дослщження наявност мультиколшеарносп на основ1 алгоритму Фаррара — Глобера
- •4.4. Засоби усунення мультиколшеарностч. Метод головних компонент1в
- •Алгоритм методу головних компонешчв
- •Контрольш запитання
- •Вправи та завдання
- •5.1. Виявлення гетероскедастичност та и природа
- •5.2. Тестування наявност гетероскедастичност
- •5.2.1. Параметричний тест Гольдфельда — Квандта
- •5.2.2. Непараметричний тест Гольдфельда — Квандта
- •5.2.3. Тест Глейсера
- •5.3. Трансформування початковоУ модел1
- •VXVX VX VX
- •5.4. Оцшювання параметр1в багатофакторноУ регресшноУ модел1 на основ1 узагальненого методу найменших квадралв
- •Контрольш запитання
- •6.1. Природа автокореляцм та и наслщки
- •6.2. Тестування наявност автокореляцм
- •6.2.1. Критерш Дарбша — Уотсона
- •6.2.2. Критерш фон Неймана
- •6.2.3. Коефщ1енти автокореляцм та IX застосування
- •6.3. Параметризащя модел1
- •6.3.1. Метод Ейткена
- •X UtUt-1
- •X utut-I
- •6.3.2. Метод Кочрена - Оркатта
- •6.4. Приклад оцшювання параметр1в модел1 з автокорельованими залишками
- •Контрольш запитання
- •7.1. Поняття лага та лагових моделей в економщ
- •7.2. Оцшювання параметр1в
- •7.3. Оцшювання параметр1в авторегрес1йних моделей
- •Контрольн1запитання
- •8.1. Поняття про системи одночасних р1внянь
- •8.2. Приклади систем одночасних р1внянь
- •1. Модель "попит — пропозищя".
- •3. Модель р1вноваги на ринку грошей (модель lm).
- •8.3. Структурна та зведена (прогнозна) форми системи р1внянь
- •1. Структурна форма економетрично! мoделi.
- •3. Зеедена форма економетрично! модель
- •8.4. Поняття щентифшацм (ототожнення) системи р1внянь
- •Необхщш й достатн умови щентифшованосп
- •Необхщна I достатня умова щентифшованосп
- •8.5. Методи оцшювання паpаметpiв систем piвнянь
- •8.5.1. Непрямий метод найменших квадралв оцшювання параметр1в точно щентифшованих систем
- •8.5.2. Метод шструментальних змшних
- •8.5.3. Двокроковий метод найменших квадралв оцшювання параметр1в надщентифшованих систем
- •8.5.4. Трикроковий метод найменших квадралв
- •8.5.5. Мнк для рекурсивних моделей
- •8.6. Прогноз I загальн flOBipni штервали
- •Контрольш запитання
- •Вправи та завдання
- •5.Нехай модель "прибуток — споживання" мае такий вигляд:
- •14. Розглядаеться модель попиту та пропозицп для грошей:
- •9.1. Ямсш економ1чн1 показники
- •9.2. Регресшш модел1 з бшарними незалежними змшними
- •9.3. Регресшш модел1 з бшарними залежними змшними
- •Контрольш запитання
- •Tectobi завдання 3 економетрп' BapiaHt 1
- •7. Критерий ф!шера застосовуеться для перев!рки значущост!:
- •BapiaHt 2
- •6. Критерий ф1шера застосовують для перев1рки значущост1:
- •BapiaHt 3
- •7. Наявшсть мультиколГнеарност! перевгряеться за допомогою:
- •BapiaHt 4
- •4. Дисперс!йно-ковар!ац!йна матриця визначаеться на п!дстав!:
- •7. Критерий Дарб!на - Уотсона застосовуеться для виявлення:
- •BapiaHt 6
- •BapiaHt 8
- •6. Метод Фаррара — Глобера застосовуеться для виявлення:
- •BapiaHt 10
- •5. Критер!й ф!шера застосовують для перев!рки значущост!:
- •Робота 3 таблицями стандартизованого нормального ро3под1лу
- •Список використано! та рекомендовано! л1тератури
- •Економетрш
- •Econometrics
6.3. Параметризащя модел1
з автокорельованими залишками
Зазначимо, що параметри модел1 з автокорельованими залишками можна оцшити на основ1 чотирьох метод1в: 1)Ейткена (УМНК); 2)перетворення вихщно! шформацп; 3)Кочрена — Оркатта; 4)Дарбша.
Першш два методи дощльно застосовувати тод! коли залишки опи-суються авторегресшною моделлю першого порядку (6.6):
1теращйш методи Кочрена — Оркатта i Дарбша можна застосо-вувати для оцшки параметрiв економетрично! моделi й тод^ коли залишки описуються авторегресшною моделлю вищого порядку:
або
Щ =piUt-i + p2ut-2 +vt > Щ = PlUt-1 + p2Ut-2 +p3Ut-3 + Vt •
6.3.1. Метод Ейткена
Як зазначалося, оператор оцiнювання УМНК можна записати так:
a = ( x xi-1 x )-1 x 'q-1y (6.9)
a = (X's-1 x )-1 x's-1y ,
(6.И
де Q 1 — матриця, обернена до дисперсiйно-коварiацiйно'l матрицi за-лишюв Q; S-1 — матриця, обернена до матриц S = о^^1.
Оскiльки в Q коварiацiя залишюв ps —> 0 при S > 2, то матриця Q 1 матиме вигляд
1
-p2
(6.11)
1
1 |
|
0 |
0 |
0 . |
. 0л |
|
1 + p2 |
|
0 |
0 . |
0 |
0 |
|
1 + p2 |
-p |
0 . |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 . |
. 1 |
На практшц для розрахунку p використовуеться сшвввдношення
n
X UtUt-1
~ t=2
I u2
t=1
(6.12)
або
n
X utut-I
' t=2 П
p = r « — . (6.13)
t=1
6.3.2. Метод Кочрена - Оркатта
Зауваження. Метод Кочрена - Оркатта е перащйним методом на-ближеного пошуку оцшок параметр1в модел1 з автокорельованими залишками, який базуеться на МНК.
Крок 1. Довшьно вибрати значення параметра p, наприклад p = ri. Шдставивши його у
nn
Xе2 = X[(yt -pyt-i) - «o(1 -p)-ai(xt -px^i)]2, (6.14)
t=2t=2
обчислити i Я((1).
Крок 2. Покласти a = a^) i a\ = a(1); пiдставивши ix у рiвняння (6.14), обчислити p= r1.
Крок 3. Пiдставити в рiвняння (6.14) значення p= r 2, знайти
a(2) i a(2.
Крок 4. Використати ao = a(2) i a\ = a(2) для мiнiмiзацil суми квадратiв залшшав (6.14) за невiдомим параметром p = Г3. Процедуру повторювати доти, доки наступш значення параметрiв a0, a i p не вiдрiзнятимуться менш як на задану величину.
Зазначимо, що наведений метод завжди забезпечуе:
знаходження глобального оптимуму;
порiвняно добру збiжнiсть.
6.4. Приклад оцшювання параметр1в модел1 з автокорельованими залишками
На основi двох взаемопов'язаних часових рядiв про роздрiбний то-варообiг i доходи населення побудувати модель, що характеризуе залежшсть роздрiбного товарообпу вiд доходу.
Розв'язання.
1. 1дентифгкуемо 3MiHHi моделк yt — роздр!бний товарообгг у пе- рюд t, залежна змшна; xt — дохщ у перюд t, пояснююча змшна;
yt =f (xt> ut)'
де ut — стохастична складова (залишки).
2. Специфгкуемо модель у лшшшй форм!:
yt = + a + ut;
yt = a0 +a1xt;
ut=yt - Vt-
3. Визначимо a0, 0г1 на основ! МНК, припустивши, що залишки некорельоваш:
a = (XX)-1 XTy.
X
27,6 ^
27,4
28,7
29,5
30,9
31,4
31,8
32,2
33,6
34,7
XrX:
' 10,0 307,8 \ 307,8 9528,36 '
(XTX )-1
' 17,55538 -0,5671 4 -0,5671 0,018424
XTy
' 290,4 8985,64
л _(2,313641N a _[0,868303 ^'
Отже, модель мае вигляд
yt _ 2,313641 + 0,868303 xt.
4. Знайдемо оцiненi значення yt на основi отримано! моделi та визначимо залишки u.
Piк |
yt |
|
ut |
ut2 |
Ut-1 |
(ut-Ut-1)2 |
utut-1 |
1 |
25,5 |
26,2787973 |
-0,7788 |
0,606525 |
|
|
|
2 |
26,4 |
26,1051367 |
0,294863 |
0,086944 |
-0,7788 |
1,152747 |
-0,22964 |
3 |
26,9 |
27,2339303 |
-0,33393 |
0,111509 |
0,294863 |
0,395381 |
-0,09846 |
4 |
27,1 |
27,9285725 |
-0,82857 |
0,686532 |
-0,33393 |
0,244671 |
0,276685 |
5 |
27,8 |
29,1441963 |
-1,3442 |
1,806864 |
-0,82857 |
0,265868 |
1,113764 |
6 |
28,3 |
29,5783477 |
-1,27835 |
1,634173 |
-1,3442 |
0,004336 |
1,71835 |
7 |
29,4 |
29,9256688 |
-0,52567 |
0,276328 |
-1,27835 |
0,566526 |
0,671988 |
8 |
30,7 |
30,2729899 |
0,42701 |
0,182338 |
-0,52567 |
0,907597 |
-0,22447 |
9 |
31,5 |
31,4886138 |
0,011386 |
0,00013 |
0,42701 |
0,172743 |
0,004862 |
10 |
33,4 |
32,4437468 |
0,956253 |
0,91442 |
0,011386 |
0,892774 |
0,010888 |
Сума |
287 |
290,4 |
-3,4 |
6,305763 |
-4,35625 |
4,602643 |
3,243969 |
5. Обчислимо оцшку d-статистики Дарбша — Уотсона:
10
DW
10
X
ut2
t-1
6,305763
0,7299.
Задамо a_ 0,05 i при n _ 10 та m _ 1 знайдемо за таблицею d-ста-тистики Дарбша — Уотсона (дод. 4) критичш значення критерiю: DW1 _ 0,604 — нижня межа; DW2 _ 1,001 — верхня межа.
Оскшыси DW1 < DW < DW2, то з похибкою щонайбшыпе у 5 % ви-падюв можна стверджувати, що автокорелящя залишюв ut невизна-чена.
Завдання для самостШног роботы: перев1рити автокорелящю за-лишюв модел1 на основ1 критер1ю фон Неймана.
Щоб оцшити параметри модел1 з автокорельованими залишками, використаемо УМНК. Оператор оцшювання
а = (X'Q-1X)-1 X'Q-1Y або а = (X'S-1X)-1 X'S-1Y, де Q -дисперсшно-ковар1ащйна матриця залиппав, яка мае вигляд
1
РР2 Р3 1 Р Р2
,9 \
Р2Р1 Р
I I
S = oUQ.
Р9 Р8 Р7 Р6
1
Щоб сформувати q або S, необхщно знати величину р, яка характеризуе взаемозв'язок м1ж послщовними членами ряду залишюв.
Припустимо, залишки описуються автокорелящйною моделлю першого порядку (6.6):
ut =put-1 +vt,
де
£
utut-1
'
t=2
£ u2
t=1
— + = + — - 0,77.
n 2 n -1 n 6,305763 9 10
Отже,
0,0951
0,1235 0,1604 0,2084
q:
f 1 0,77
0,77 1 0,5929 0,77
0,5929 0,4565 0,77 0,5929 1 0,77
0,0951 л 0,1235
0,1604 1
' 2,4564
1,8914
1,8914 3,9128
.. 5,6E -17 4 .. 0
-4,4657E -17 -3,65E -17 ... 2,4564
6. Розрахуемо:
XtT Q-1
' 0,565 0,1041 ... 0,56494 15,9715 -0,1246 ... 21,685
XtTQ-1Xt
2,171 67,163
67,157 2110,708
63,007 4
1976,647
( XtT Q-1Xt )-1
^ 29,1312 -0,9269 4 -0,9269 0,0299
^3,20236 4 0,834594
Отже, yt _ 3,20236 + 0,834594xt.
7. Знайдемо оцiненi значення yt на основi побудовано! моделi та визначимо ii залишки v.
Piк |
yt |
|
vt |
vt2 |
vt-1 |
(vt- vt-1)2 |
vtvt-1 |
1 |
25,5 |
26,23716 |
-0,73716 |
0,54341 |
— |
— |
— |
2 |
26,4 |
26,07024 |
0,329755 |
0,108739 |
-0,73716 |
1,13831587 |
-0,24308 |
3 |
27,9 |
27,15522 |
0,744783 |
0,554701 |
0,329755 |
0,17224772 |
0,245596 |
4 |
28,1 |
27,82289 |
0,277107 |
0,076788 |
0,744783 |
0,21872034 |
0,206385 |
5 |
28,8 |
28,99132 |
-0,19132 |
0,036605 |
0,277107 |
0,2194286 |
-0,05302 |
6 |
29,3 |
29,40862 |
-0,10862 |
0,011799 |
-0,19132 |
0,00683976 |
0,020782 |
7 |
29,8 |
29,74246 |
0,05754 |
0,003311 |
-0,10862 |
0,0276099 |
-0,00625 |
8 |
30,7 |
30,0763 |
0,623702 |
0,389005 |
0,05754 |
0,32053971 |
0,035888 |
9 |
31,5 |
31,24473 |
0,25527 |
0,065163 |
0,623702 |
0,13574218 |
0,159213 |
10 |
32,4 |
32,16278 |
0,237217 |
0,056272 |
0,25527 |
0,00032594 |
0,060554 |
Сума |
290,4 |
288,9117 |
1,488264 |
1,845793 |
1,251048 |
2,23977001 |
0,426067 |
8. Розрахуемо d-статистику Дарбша — Уотсона:
10
DW = £ ' = 2,23977001 - 1,2134.
10 2 1,845793
t-1
Пор1вняемо d-статистику Дарбша — Уотсона з критичними значеннями при а= 0,05, n = 10 та m = 1
Оскшьки DW2 < DW < 4-DW2, робимо висновок, що ми усунули автокорелящю залишюв. А це в свою чергу означае, що дотримуеть-ся гшотеза про те, що залишки описуються авторегресшною схемою першого порядку. Якщо залишки описуються авторегресшною схемою вищого порядку, дощльно оцшити параметри модел1 методом Кочрена — Оркатта або Дарбша.
9. Прогноз: визначимо прогнозний р1вень товарообггу, якщо дохщ становитиме xn+1 = 35. Сшввщношення, що визначае прогнозний
р1вень залежно! змшно! мае вигляд: yn+\ = xn+1a. Отже,
yn+l = 3,20236 + 0,834594xt=3,20236 +0,834594-55 = 49,105085.
Це означае, що прогнозний р1вень роздр1бного товарообпу на (п+1)-й рпс становить 49,105085.