Приклад дослщження наявност мультиколшеарносп на основ1 алгоритму Фаррара — Глобера

Розглянемо досл!дження впливу на економ!чний показник y — ре-альне споживання кра!ни (у млрд грн.) трьох фактор!в: X1 — куп!вл! та оплати товар!в ! послуг (у млрд грн.), X2 — ус!х заощаджень в!д загаль-ного грошового доходу (у % в!д загально! суми доходу), X3 — р!вня став­ки ПДВ (у %). Необх!дно перев!рити фактори на мультиколшеаршсть.

№ п/п	y(i)	x1 (i)	x2(i)	x3(0
1	25,74	4,69	11,97	29,23
2	25,34	5,64	13,43	29,35
3	31,26	6,26	12,92	33,40
4	33,50	6,99	14,74	30,97
5	32,30	6,36	14,64	32,92
6	38,90	7,60	17,10	37,27
7	41,58	7,12	15,63	30,97
8	48,02	6,81	15,35	33,58
9	43,30	8,67	15,85	35,62
10	51,78	7,83	18,05	34,99
11	52,14	7,84	17,24	39,34
12	54,94	8,85	20,52	41,50
13	59,18	9,61	19,18	45,58
14	62,22	10,67	19,03	41,08
15	63,62	11,04	21,45	40,54
16	65,01	11,85	22,25	42,75
17	67,78	12,94	24,75	43,89
18	71,45	14,24	25,03	41,95
19	75,24	15,67	27,87	44,06
20	77,38	16,33	30,486	46,77

Розв'язання. 1-й крок:

нормал!зуемо зм!нн! х^, х^, Х3 економетрично! модел!, обчисливши

* ^(xij ^{- x}j ⁾

де n = 20 — к!льк!сть спостережень (i = 1, 2, n); m = 3 — к!льк!сть не- залежних зм!нних (j = 1, m); xj — середня арифметична j-! незалеж- но! зм!нно!:

x₁ = 9,3505; x₂ = 18,874; x₃ = 37,788;

2

о _xj — дисперс!я j-! незалежно! змшнок

ox = 11,35297; o²_x = 26,06648; о²_x = 31,86169.

2-й крок:

на основ1 ново! матриц! X*, елементами яко! е нормализован! не-залежн! зм!нн!

' 0,309287	-0,302374	0,339018"
0,246242	-0,238430	0,334264
0,205096	-0,260766	0,173826
0,156651	-0,181056	0,270089
0,198460	-0,185436	0,192841
0,116169	-0,077695	0,020520
0,148024	-0,142077	0,270089
0,168596	-0,154340	0,166696
0,045160	-0,132441	0,085883
-0,100905	-0,036088	0,110840
-0,100242	-0,071564	0,061481
-0,033215	0,072089	0,147047
0,017221	0,013401	0,308673
0,087566	0,006832	0,130409
0,112121	0,112820	0,109018
0,165875 0,147858 0,196565 0,238212 0,257350 0,241725
0,324485	0,269613	0,164874
0,419385	0,393997	0,248460

обчислимо кореляц!йну матрицю (матрицю момент!в нормал!зовано! системи нормальних р!внянь):

R = X^trX

^{1 r}12 ^r21 ¹

^rm1 ^rm2

1m

2m

... Г

... r₂

, = r

_{де X} ^tr _{— транспонована матриця X ; елементи матриц! R характеризу­ють щ!льн!сть зв'язку одн!е! незалежно! зм!нно! з !ншою ( rj парн! коефщденти кореляц!!);}

R

0,95 0,92883 0,819534 0,92883 0,95 0,831277 0,81953 0,83127 0,95

3-й крок:

визначимо |R| — визначник кореляцшно! матриц! R:

|R| = 0,00881;

обчислимо значення критер!ю х²:

n - 1 - 6 (2m + 5)

ln |R|;

X² = 81,23005;

₂ 1

пор!вняемо значення X з табличним при 2 m (m -1) = 3 ступе­нях свободи й р!вн! значущост! а = 0,05 (дод. 3):

Гтабл = 7,814724.

₂₂

Оск!льки ^х > ^х_таб_л, то в масив! незалежних зм!нних !снуе муль-тикол!неарн!сть у сукупност!. 4-й крок:

визначимо матрицю похибок:

1m

^c11 ^c12 — ^c

2m

21 22

C = R^-1 = (X ^trX )

c2 2 c

^cm1 ^cm2 — ^cm

с=

< 24,00377 -22,82912 -0,7311322^л -22,82912 26,20416 -3,235457 0,731132 -3,235457 4,5144749

5-й крок:

розрахуемо F-критер!!:

= (c_kk ^{- - m)} , k = 1, 2, 3, ^k (m -1)

де — д!агональн! елементи матриц! С;

F₁ = 195,53205, F₂ = 214,2354, F₃ = 29,87303;

значення критер!!в F_k пор!вняемо з табличним при (n-m) = 17 ! (m-1) = 2 ступенях свободи ! р!вн! значущост! а = 0,05 (дод. 5):

F _б = 19,43703.

табл '

Оск!льки F₁ > F₂ > F_табл, F₃ > робимо висновок, що пер­ша, друга й третя незалежт змгнт мулътиколгнеарт з гншими; визначимо коеф!ц!енти детерм!нац!! для кожно! зм!нно!:

Rk² = 1 --;

R² = 0,958339; R2² = 0,961838; R3² = 0,778490. 6-й крок:

знайдемо частков! коеф!ц!енти кореляц!!, як! характеризують щ!льн!сть зв'язку м!ж двома зм!нними за умови, що !нш! зм!нн! Хц,%12, x_lm не впливають на цей зв'язок (!снування парно! мульти-кол!неарност!):

-Си

^гц =

■]^ckk^cj₁

де Сщ — елементи матриц! С, що розм!щен! в k-му рядку та j-му стовпц!, k = 1, 2,m, j = 1, 2, m; c_kk ! Cj. — д!агональн! елементи матриц! С;

r₁₂ = 0,910257, r₁₃ = 0,070234,r₂₃ = 0,297472.

Однак якщо пор!вняти абсолютн! значення часткових парних ко-еф!ц!ент!в, то можна побачити, що перш! значно менш!, н!ж останн!. Тому на основ! знання парних коеф!ц!ент!в кореляц!! висновок про мультиколшеаршсть робити неможливо. Для цього необх!дно ще ви-конати 7-й крок.

7-й крок:

розрахуемо t-критер!!:

_t = | >4 n - m _;

t₁₂ = 9,064506, t₁₃ = 0,290302, t₂₃ = 1,284666;

значення критер!!в t_kj пор!вняемо з табличними при (n-m) =17 сту­пенях свободи й р!вн! значущост! а= 0,05 (дод. 4):

t _б = 2,109818.

табл '

Оск!льки t₁₂ > ^_абл,^₃ < t_тaбл,t₂₃ < ^_абл, то MiM першою та дру­гою незалежними змшними icuye мультиколшеаршсть.

Якщо F-критерш перевищуе табличне значення, а це означае що k-та зм!нна залежить в!д !нших зм!нних у масив!, необх!дно вир!шу-вати питання про !! виключення з перел!ку зм!нних.

Якщо tkj-критерш перевищуе табличне значення, то ця пара зм!нних (k i j) т!сно взаемопов'язана. Зв!дси, анал!зуючи р!вень обох вид!в кри-тер!!в F i t, можна зробити обгрунтований висновок про те, яку з! зм!нних необх!дно виключити !з досл!дження чи зам!нити Г! !ншою. Але зам!на масиву незалежних зм!нних завжди мае узгоджуватися з еко-ном!чною доц!льн!стю, що зумовлена метою досл!дження.