5. Интеграл Дирихле

Рассм-м n-ю частичную сумму ряда Фурьепериод-ю ф-циюf: - (1)

Подставим выражение для коэф-в ai, bi в (1):

- (2)

2=2

Из периодичности =>t-x=,t=x+

Опр1. Интеграл наз интегралом Дирихле ф-цииf.

6. Сходимость и равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье. Воздействие гладкости функции на порядок её коэффициентов Фурье.

Положим: f(x)1? Тогда к-ты Фурьеai,bi=0 i-натуральный. Sn(x)=1, n. Подставим эти данные в интеграл Дирихле. 1=умножим получаем равенство наf(x): f(x)=fn(x)-f(x)=Таким образомсходимость ряда Фурье ф-ииf зависит от стремления к нулю непрерывно стоящей в правой части последнего равенства. когда n. +=+. Последний интеграл есть к-т Фурье ф-ии: Ф1=, а значит в силу необходимости признака сходимости этот интеграл, когдаn. =; т.о(1). соотношение стоящее справа, интегрирование ведется по признаку:, значит интеграл зависит только от значения ф-ииf в некоторой открытой точки х. т.о сходимость ряда Фурье, в данной точкех, зависит только от поведения ф-ииf в достаточно малой области этой точки. В этом и заключается принцип локализации исследуемого ряда Фурье. Непосредственно из соотношения (1) следует что если по ф-ииf построен ряд Фурье. F(x)+, то этот ряд сходится к регулярной точке ф-ииf. Т.е+=,x[-],x=+-, в граничных точкахв частности, для непрерывной ф-ии+,x[-]

7. Почленное дифференцирование рядов Фурье

Если ряд Фурье функции f(x) продифференцировать почленно, то полученный ряд

вообще говоря, будет расходящимся, даже если в рассматриваемой точке х для функции f(x) существует конечная производная f (х). : почленное дифференцирование приводит к повсюду расходящемуся ряду

Однако имеет место следующее интересное предложение, принадлежащее Ф а т у (16): если в точке х существует конечная производная f (х), то ряд суммируем по методу Пуассона — Абеля и именно к сумме f (х). Для доказательства продифференцируем по х ряд Пуассона

почленное дифференцирование здесь допустимо в силу равномерной относительно х сходимости полученного ряда. Тот же результат получится, если продифференцировать по х интеграл Пуассона:

причем в этом случае можно дифференцировать под знаком интеграла по теореме 3. Последний интеграл преобразуем так:

положим если переписать это выражение в виде

то станет яясно, чтоПоложим в (18), в частности, f(x) = sin x. Тогда

Подставляя все это, по сокращении на г cos х, получим, что

8. Комплексная форма ряда Фурье.

Пусть функция f (x) определена в интервале [−π, π]. Применяя формулы Эйлера:

можно записать ряд Фурье данной функции в комплексной форме:

Мы использовали здесь следующие обозначения:

Коэффициенты cn называются комплексными коэффициентами Фурье. Они определяются формулами:

Если нужно построить продолжение функции f (x), имеюшей произвольный период 2L, то соответствующее выражение в комплексной форме имеет вид: Где

9. Кратные ряды Фурье.

кратный ряд Фурье можно записывать как в комплексной форме:

так и в виде кратного тригонометрического ряд

где коэффициенты Фурье функции f(x,y):