3.Моделирование проекта в среде mathcad

Задача. На материальную точку действуют две силы: Сила тяжести P=M∙g и реакция нити R. Момент реакции нити относительно оси z равен 0, а момент силы тяжести -(M∙g∙l∙sinφ). Момент отрицателен, т. к. его направление противоположно направлению положительного отсчёта угла поворота φ.

Решение

Для решения задачи применяем теорему об изменении момента импульса материальной точки относительно оси z.

Сумма моментов всех сил:

Момент импульса маятника относительно оси z:

Подставив значения суммы моментов всех сил, приложенных к маятнику получим:

После преобразований получим:

Разложим нелинейную функцию sinφ в ряд

Получаем линейное дифференциальное уравнение 2-ого порядка

Выполним прямое преобразование Лапласа:

Введя обозначения:

Получим:

Произведём обратное преобразование Лапласа по переменной s:

Начальные условия:

Сделав соответствующие подстановки получим:

где k – круговая частота, α – угловая амплитуда

Период колебаний маяника:

Далее запишем:

Окончательное уравнения движения маятника при малых колебаниях:

График колебаний маятника

Заключение

В процессе выполнения данного курсового проекта был изучен метод и исследование колебаний математического маятника с применением преобразований Лапласа.

В данной программе было использовано прямое и обратное преобразование Лапласа для аналитического решения дифференциальных уравнений. При аналитическом подходе так же, как и в вычислительном эксперименте, строится математическая модель. Но исследуется эта модель исключительно посредством аналитических выкладок, без привлечения каких-либо численных методов. Если аналитических выкладок оказывается достаточно, то данный подход приводит к строгому точному решению.

Однако на практике аналитическому подходу обычно отводится роль инструмента для (сравнительно быстрого) получения грубых оценок. Объясняется это тем, что аналитическими выкладками удается ограничиться только для несложных, сильно упрощенных моделей реальных процессов. Получаемое тут строгое аналитическое решение на самом деле в силу исходного огрубления модели оказывается весьма далеким от совершенства. Напротив, численные методы, применяемые в вычислительном эксперименте, дают возможность изучать более сложные модели, достаточно полно и точно отражающие исследуемые процессы.

Отмеченные достоинства вычислительного эксперимента вывели его в число основных методов исследования таких крупных физических и инженерно-технических проблем, как задачи ядерной энергетики, освоения космического пространства и др. Программные комплексы, обслуживающие вычислительный эксперимент, объемны и сложны.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. М.: Наука. 1969.

2. Боровой А., Херувимов А. Колебания и маятники. Ж. Квант. № 8, 1981.

3. Деч Густав «Руководство к практическому применению Лапласа и Z-преобразования».М.:Наука,1971

4. Л.Г. Смышляева «Преобразования Лапласа функций многих переменных» Изд-во ЛГУ, 1981

5. Дьяконов В. П., Абраменкова И. В. MathCad 7.0 в математике, физике и в Internet. – M.: «Нолидж», 1999. – 352с.

6. В.Ф. Очков MathCad 8Pro для студентов и инженеров. М.: Компьютер пресс

7. Гулд Х., Тобочник Я. «Компьютерное моделирование в физике» Пер. с англ. – Москва: «Мир»,1990г.

8. Кирьянов Д.В. «Самоучитель MathCAD 11». – Санкт-Петербург: «БХВ-Петербург», 2003г.

24