294

Вряде случаев оба метода решения дают совпадающие результаты.

Вбольшинстве случаев условие прочности должно быть дополнено поверками на устойчивость и жесткость. Первая поверка должна обеспечить невозможность общего изменения элементами конструкции намеченной для них формы равновесия, вторая – должна ограничить их деформации.

Установление допускаемых напряжений требует знания предела прочности материала и других его механических характеристик, что может быть получено при помощи экспериментальных исследований материала.

Сопротивление материалов изучает реальные материалы с точки зрения их работы в конструкциях путем широких экспериментальных и теоретических исследований, что открывает возможность решения ряда новых практических задач.

Вопросы для самопроверки

1.Выведите формулу для определения напряжений при растяжении (сжатии).

2.Как построить эпюры продольной силы и напряжений по длине стержня.

3.Дайте определение основных механических характеристик материала.

4.Определите напряжения в поперечном сечении при заданной нагрузке.

5.В чем заключается общий метод решения статически неопределимых задач.

Раздел 3 Напряженное и деформированное состояние в точке тела

В этом разделе рассматривается 3 темы: напряженное состояние в точке и виды напряженного состояния, гипотезы прочности, деформированное состояние в точке.

Материал этого раздела следует внимательно прочитать и усвоить основные понятия: напряженное состояние в точке, виды напряженного состояния, главные площадки, главные напряжения, связь между напряжениями и деформациями. Знания, полученные после изучения раздела, можно проверить по тесту №3.

295

3.1. Напряженное состояние в точке

Напряжение на любой площадке в рассматриваемой точке тела может быть определено, если известны напряжения в данной точке на каких-либо трех взаимноперпендикулярных площадках.

X

Z

Рис. 3.1

Совокупность напряжений возникающих на бесчисленном множестве различно ориентированных в пространстве площадок, которые можно провести через данную точку называется напряженно деформированным состоянием в

этой точке (Н.Д.С.).

В общем случае Н.Д.С. определяется девятью компонентами:

Через каждую точку тела можно провести три взаимноперпендикулярные площадки, на которых τ=0. Эти площадки называются главными, а дей-

ствующие на них нормальные напряжения называются главными напря-

жениями. Принято неравенство σ1>σ2>σ3, с учетом знака. Нормальные

296

напряжения в данной точке достигают экстремальных значений на главных площадках. Существует три вида Н.Д.С.:

1.Линейное σ1≠0, σ2=0, σ3=0

2.Плоское σ1≠0, σ2≠0, σ3=0 или σ1≠0, σ2=0, σ3≠0

3.Объемное σ1≠0, σ2≠0, σ3≠0.

3.2. Гипотезы прочности

Необходимость появления гипотез прочности определяется желанием состыковать две части неравенства, определяющие любое условие прочности:

σmax≤ [σ] или τmax ≤ [τ], где левая часть определяется методом расчета при любом напряженно-деформированном состоянии, тогда как правая часть неравенства определяется опытным путем, как правило при линейном Н.Д.С. Современное представление о гипотезах прочности можно представить в виде схемы (рис. 3.2).

3.3. Деформированное состояние в точке

Относительные линейные деформации по направлению главных площадок определяются по формулам:

ε1= E1 ·[σ1- μ(σ2 + σ3)]

ε2= E1 ·[σ2- μ(σ3 + σ1)]

ε3= E1 ·[σ3- μ(σ2 + σ1)]

Эта зависимость носит название обобщенный закон Гука.

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение видов напряженно деформированного состояния в точке тела.

2.Как проверить прочность материала при сложном напряженном состоянии?

3.Понятие о гипотезах прочности

4.Обобщенный закон Гука.

298

4.2. Крутящий момент. Построение эпюр

Кручением называется деформация стержня, возникающая под действием внешних пар сил, лежащих в плоскостях перпендикулярных к оси стержня. Крутящий момент в данном сечении численно равен алгебраической сумме

299

моментов, действующих на часть вала по одну сторону от рассматриваемого сечения (рис. 4.3).

Рис. 4.3

4.3. Определение напряжений при кручении. Условие прочности

Касательные напряжения в произвольной точке рассматриваемого сечения :

где τ – касательные напряжения ,

Мкр – крутящий момент в исследуемом поперечном сечении, ρ – расстояние от исследуемой точки до оси стержня,

Jp – полярный момент инерции.

300

Условие прочности при кручении:

где GJp – жесткость при кручении. Относительный угол закручивания

(4.10)

Диаметр из условия жесткости определяется по формуле

d = 4 M K 180[ ], 0,1Gπ θ

(4.11)

для полого вала

4.5. Геометрические характеристики поперечных сечений

301

Полярный момент инерции площади относительно (полюса) точки, лежащей в ее плоскости определяется по формуле

J P = ∫ρ2dA.

A

(4.13)

Радиусы инерции плоской фигуры относительно осей X и Y представляют

моментами инерции выражаются равенством

J P = J x + J y .

(4.14)

Для круглого поперечного сечения

J P = πd 4 .

32

(4.15)

Для полого вала

J P = πd 4 (1 − α4 ) ,

32

(4.16)

где α = Dd .

Полярный момент сопротивления

WP = JRP ,

следовательно, для круга

для полого вала

Wp = πd 3 (1 − α4 ) .

16

(4.18 )

302

4.6. Рациональные формы поперечного сечения

Учитывая характер распределения напряжений в плоскости поперечного сечения (рис. 4.4) предпочтение можно отдать полому валу.

Эпюра касательных напряжений

Рис. 4.4

4.7. Алгоритм решения задачи

Пример: Стержень загружен системой крутящих моментов. Подобрать сечение вала из условия прочности и жесткости, определить угол закручивания на участке между М1 и М3. Принять G=8·104 МПа, [τ]=80 МПа, [θ]=0,2° n/м, сечение-сплошной круг (рис. 4.5). М1=10 кн·м, М2=20 кн·м, М3=30 кн·м.

M2 M0 M3

M1

10 30

30

Рис. 4.5

Решение:

1.Покажем все силы, действующие на систему.

2.Разобьем вал на участки.

303 3. На каждом из участков, используя метод сечений, определим величину

действующего момента.

4.Построим эпюру крутящего момента (п. 4.2).

5.Выберем наиболее опасное сечение.

6.Для этого сечения, используя формулы 4.7 и 4.11, определим d из условия прочности и условия жесткости

Примем наибольшее значение d=12 см, которое удовлетворяет и условию прочности и условию жесткости

7. Определим

J P = πd 4 = 0,2 104 м4. 32

8.Определим угол закручивания участка между сечениями, в которых приложены моменты M1 и M3. Для этого воспользуемся формулой

(4.19)

Вопросы для самопроверки

1.Практические методы расчета на сдвиг.

2.Дайте определение чистого сдвига.

3.Как построить эпюру крутящего момента?

4.Выведите формулу для определения касательного напряжения в любой точке круглого поперечного сечения.

5.Выведите формулу для определения угла закручивания.