Найти оптимальное решение двойственной задачи

Из первого задания следует, что допустимое базисное решение

X* = {x₁ = 0,x₂ = 83,s₁= 166,s₂= 0}

является оптимальным решением прямой задачи.

По оптимальному базисному решению X^* прямой задачи найдем оптимальное решение двойственной. Для этого все ограничения двойственной задачи, соответствующие базисным переменным x₂, s₁, нужно заменить равенствами

x₁ 5y₁+ 0,1y₂ 40,

x₂ 10y₁+ 0,3y₂ =130,

s₁ y₁ = 0,

s₂ y₂ 0.

Из этих равенств найдем оптимальные значения двойственных переменных

Минимальное значение целевой функции равно

Оптимальная теневая цена 1 кг сырья равна 0, а оптимальная теневая цена 1 часа работы оборудования равна

Стоимость ресурсов, затраченных на изготовление единицы продукции 1, равна

а стоимость ресурсов, затраченных на изготовление единицы продукции 2, равна

Приведенные стоимости каждого вида продукции будут равны

,

.

Отсюда следует, что производство единицы продукции 1 принесет убыток а производство единицы продукции 2 – рентабельно ().

Определим целесообразность производства продукции 3, для которой на единицу продукции требуется 4 кг. сырья и 0,4 часа времени изготовления. Рыночная цена составляет 120 у.е. за единицу продукции. Для этого вычислим стоимость ресурсов, затраченных на изготовление единицы продукции 3:

Приведенная стоимость этого вида продукции будет равна

Отсюда следует, что производство единицы продукции 3 принесет убыток

Пример задания 3

Пусть функция полезности наборов из двух товаров X = (x₁, x₂) имеет вид

^.

1. Найти набор товаров, который имеет такую же полезность как набор X₁=(2,4) и количества второго товара равно 1.

2. Для набора X₁ = (2,4) найти предельные полезности первого и второго товаров.

3. В наборе X₁ = (2,4) количество первого товара увеличивается на 0,1, а второго уменьшается 0,2. Найти приближенное изменение полезности.

Решение

1. Найдем полезность набор X₁ = (2,4):

^.

Кривая безразличия

определяет все наборы товаров, которые имеют такую же полезность как набор X₁=(2,4). Из этого уравнения можно найти набор товаров, в котором количества второго товара равно x₂ =1, подставив это значение в уравнение кривой безразличия

, x₁=4.

Таким образом, наборы X₁=(2,4), X₂=(4,1) безразличны для потребителя.

2. Найдем частные производные функции полезности

Предельная полезность первого товара в наборе X₁=(2,4) равна значению частной производной

в точке (2,4):

.

Предельная полезность второго товара в наборе X₁ = (2,4) равна значению частной производной

в точке (2,4):

_.

Найдем изменение полезности, если количество первого товара увеличивается на 0,1, т.е. Δ x₁=0,1, а количество второго товара уменьшается 0,2, т.е. Δ x₂= -0,2. Приближенное изменение полезности вычислим по формуле

_{Следовательно, полезность набора X1 = (2,4), равная 2, увеличится на 0,025. Таким образом, полезность нового набора X 3 = (2,1, 3,8) составит 2,025.}

Модель Стоуна

Пусть полезность потребителя описывает неоклассическая мультиплика-тивная функция

.

Величина a_i определяет минимальное количество i – го товара, а величина b_i – коэффициент эластичности этого товара. Набор (a₁, a₂) можно рассматривать как минимальную корзину потребления.

Модель Стоуна можно сформулировать как оптимизационную задачу:

найти такой потребительский набор, в котором достигается максимум функции полезности

при ограничениях

Решая полученную задачу нелинейного программирования, получаем формулы для функций спроса