Пример 3.3.1

Рассмотрим игру, в которой оба игрока одновременно объявляют одно из целых чисел. Если сумма окажется четной, то игрок Iпроигрывает одно очко. Если сумма окажется нечетной, то игрок Iвыигрывает одно очко. Стратегиями обоих игроков являются выбор четного или нечетного числа. Будем считать, что первая строка означает выбор игрокомIчетного числа, вторая строка – нечетного числа. Для игрокаIIпервый столбец означает выбор четного числа, второго столбца – нечетного числа. Матрица выигрышей игрокаIимеет вид

min в строке

max в столбце 1 1

Отсюда следует, что максимальное среди минимальных в строке равно -1

maxmin=-1

и минимальное среди максимальных в столбце равно 1

minmax=1

Следовательно, решения этой матричной игры в чистых стратегиях не существует. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии):

первый игрок объявляет противнику, что он будет выбирать четное число с вероятностью p₁, нечетное число – с вероятностьюp₂,

второй игрок объявляет противнику, что он будет выбирать четное число с вероятностью q₁, нечетное число – с вероятностьюq₂. Таким образом, стратегией игрокаIявляется выбор пары чисел

,

стратегией игрока II является выбор пары чисел

.

Так как игроки выбирают числа случайным образом, то их сумма будет случайной и, следовательно, выигрыш игрока Iбудет случайной величиной. В этом случае игрокIдолжен выбирать свои смешанные стратегииp = (p₁,p₂) так, чтобы получить максимальный средний выигрыш, т.е. максимизировать математическое ожидание своего выигрыша. Аналогично, игрокIIдолжен выбирать свои смешанные стратегииq = (q₁,q₂) так, чтобы минимизировать математическое ожидание выигрыша игрокаI.

Пусть игрок Iвыбирает смешанную стратегию

а игрок II - смешанную стратегию . Тогда выигрыш первого игрока равен

В общем виде математическое ожидание выигрыша игрока I, если он выбирает смешанную стратегиюp = (p₁,p₂), а игрокII– смешанную стратегиюq = (q₁,q₂) будет равно

Заметим, что при стратегии игрока Iматематическое ожидание его выигрыша равно 0 для любой смешанной стратегии игрокаIIq = (q₁,q₂), т.е.. Аналогично, при стратегии игрокаIIматематическое ожидание выигрыша игрока Iравно 0 для любой смешанной стратегии игрокаIp=(p₁,p₂), т.е.. Следовательно, стратегия игрокаIи стратегия игрокаIIявляются оптимальными и означают, что оба игрока выбирают четное и нечетное числа с одинаковыми вероятностями. При этом средний выигрыш игрокаIравен, т.е. значение этой игры равно 0. Эту игру можно назвать справедливой, т.к. в среднем ни один игрок не выигрывает.

Вопросы для самопроверки

1. Дать определение смешанных стратегий игроков IиII.

1. Как определяется выигрыш игрока Iв смешанных стратегиях?

2. Дать определение ситуации равновесия в смешанных стратегиях.

3. Всегда ли существует ситуация равновесия в смешанных стратегиях?

3.4. Решение матричных игр симплекс-методом

Изучаемые вопросы:

• Формулировка матричной игры как задачи линейного программирования;

• Определение оптимальных стратегий в Excel.

Покажем, что для определения значения игры и оптимальных стратегий игроков нужно решить некоторую задачу линейного программирования. Неравенства (4.1.3) справедливы, в частности, для любых чистых стратегий игроков:

(3.4.1)

для всех строк i и всех столбцов j.

Отсюда следует, что для определения значения игры и оптимальных стратегий игрока Iнеобходимо решить задачу линейного программирования: найти переменныеv,p_i, которые максимизируют выигрышvигрока I

max v(3.4.2)

при ограничениях

для всех j = 1, 2,…,m(3.4.3)

p₁+p₂ +…+p_n = 1 (3.4.4)

p_i≥ 0 (3.4.5)

vне имеет ограничения на знак (3.4.6)

Для определения значения игры и оптимальных стратегий игрока IIнеобходимо решить задачу линейного программирования: найти переменныеv,q_j, которые минимизируют выигрышvигрокаI

min v(3.4.7)

при ограничениях

для всех i = 1, 2,…,n(3.4.8)

q₁+q₂+…+q_m= 1 (3.4.9)

q_j≥ 0 (3.4.10)

vне имеет ограничения на знак (3.4.11)

Заметим, что задачи определения значения игры и оптимальных стратегий (3.4.2) – (3.4.6) и (3.4.7) – (3.4.11) образуют пару двойственных задач линейного программирования.

Заметим, что выигрыш игрока IIравен –v. Поэтому для определения значения игры и оптимальных стратегий игрокаIIнеобходимо решить задачу линейного программирования:

найти переменные v,q_j, которые максимизируют выигрыш -vигрокаII

max – v(3.4.12)

при ограничениях

для всех i=1, 2,…,n(3.4.13)

q₁+q₂,+…+q_m=1 (3.4.14)

q_j≥ 0 (3.4.15)

vне имеет ограничения на знак (3.4.16)