Решение
Аппроксимирующую функцию
= f1(x1) f2(x2)f3(x3)f4(x4)
будем искать по методу Брандона.
Нормализуем экспериментальные данные, для чего по (41) подсчитаем (или коэффициент )
и по формуле (42) найдем yu*. Затем проведем все расчеты, необходимые для составления линейного уравнения регрессии (43), и результаты запишем в форме табл.15.
По формулам (8), полученным методом наименьших квадратов, определяем b01 и b11, то есть
f1(x1) = 1.0999 - 0.0077228x1
На рис.69а изображена функция и точки yu*, вычисленные по формуле (44), и заносим их в табл,16 вместе с данными для расчета коэффициентов регрессии f2 (x2).
Уравнение регрессии f2 (x2) - второй составляющей функции - имеет вид:
f2(x2) = 0.8585 + 0.02123х2.
На рисунок нанесена функция и точки yu1=f2(x2). Подобную процедуру повторяю для нахождения функции f3(x3) и результаты расчетов сводят в таблицу.
Уравнение регрессии f3(x3) - третьей составляющей функции - имеет вид:
f3(x3) = 0.9791 + 0.0694x3.
На рис.69в нанесена функция и точки yu2=f3(x3).
Аналогично находим f4(x4) - четвертую составляющую функции , пользуясь табл.18, в которую для удобства занесены значения остаточной функции yu3 и данные, необходимые для расчета f4(x4).
Уравнение регрессии четвертной составляющей функции имеет вид:
f4(x4) = 1.0466 - 0.001656x4.
Указанная функция и точки yu3=f4(x4) приведены на рис.69г.Окончательно уравнение, описывающее исследуемый технологический процесс, записывается в виде (40):
(x1,x2,x3,x4) = 0.63 (1.0999 - 0.007228 x1) (0.8585 + 0.02123 x2) 3(0.9791 - 0.0694 x3) (1.0466 - 0.001656 x4)
После подстановки в приведенное выше уравнение экспериментальных
данных хi получим значения , которые занесены в табл.14. Сравнение экспериментальных и расчетных данные, т.е. проверку адекватности модели, можно проводить способом, описанным в предыдущем примере.
Заключение
1. В рассмотренных методах форма уравнения регрессии задавалась исследователем заранее, затем определялись коэффициенты и проверялась адекватность уравнения регрессии изучаемому процессу. Дополнение уравнения регрессии каждым новым членом требует от исследователя полного пересчета уравнения регрессии, что весьма трудоемко даже при реализации на ЭВМ.
Значительный интерес поэтому представляет задача выявления уравнения регрессии с одновременным определением и степени полинома. Такая задача может быть решена методом последовательных приближений, когда в качестве приближения рассматривают члены полинома, а в качестве критерия прекращения вычислений - остаточную дисперсию каждого приближения.
Не останавливаясь подробно на методах решения указанной задачи, отметим, что значительных успехов на пути ее решения можно достигнуть, используя ортогональные полиномы Чебышева fi (xi), i=1,2,...,n. Тогда уравнение регрессии может быть записано в форме
= b0f0(x) + b1f1(x) + ... + bnfn(x) (48)
Метод построения коэффициентов регрессии с применением полиномов Чебышева дает возможность при уточнении уравнения регрессии вычислять коэффициент лишь для вновь присоединяемого члена полинома, в то время как остальные коэффициенты уравнения остаются прежними.
2. Пассивные методы сбора экспериментальных данных о работе объектов химической технологии привлекают внимание многих исследователей тем, что интересующая их информация поступает в процессе нормальной эксплуатации объекта. Это преимущество значительно облегчает постановку эксперимента на промышленных объектах и не усложняет взаимоотношений между исследователями и технологами. В период интенсификации разработок математических моделей объектов химической технологии указанное преимущество способствовало практическому внедрению регрессионного анализа для целей изучения химико-технологических процессов на основе пассивного эксперимента. Опыт, однако, показал, что регрессионный анализ, примененный при обработке данных пассивного эксперимента, не всегда приводит к эффективным результатом. И дело здесь не в самой эффективности классических методов регрессионного анализа, а в невыполнении исследователями его основных предпосылок.
Действительно, исследователь, приступая к изучению технологического объекта, включает в программу изучения большое число переменных факторв6 предполагая в дальнейшем отбросить некоторые из них с помощью критерия Стьюдента. При исключении незначимых факторов часть не учитывают, что переменные факторы коррелированы между собой (это особенно характерно для пассивного эксперимента). После пересчета уравнения регрессии оценки коэффициентов регрессии изменяются. И хотя это обстоятельство не оказывает существенного влияния на величину выходного параметра при использовании уравнения регрессии в качестве интерполяционного, тем не менее применить его для целей управления невозможно. Кроме того, требование регрессионного анализа, состоящее в том, что факторы хi должны измеряться с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению с ошибкой в определении y и быть некоррелированными между собой, почти всегда нарушается при пассивном эксперименте (ошибка в их измерении часто превышает интервал изменения самих факторов).
Моделирование многомерных регрессионных задач, проведенное с помощью ЭВМ на искусственных примерах, продемонстрировало влияние ошибок в измерении факторов и правомерность процедуры отбрасывания факторов. В результате этого исследования показано, что ошибки при измерении факторов и их коррелированность между собой приводит к значительному искажению исходного уравнения. Отсюда, конечно, не следует, что нужно полностью отказаться от пассивных методов исследования объектов химической технологии. Корреляционный и регрессионный анализы продолжают оставаться действенным средством текущего анализа производства. Но данных пассивного эксперимента, собранных при значительных ограничениях, высоком уровне помех и нередко низком уровне оснащенности производства контролирующими приборами, явно недостаточно, чтобы построить математические модели, пригодные для управления и оптимизации технологических процессов. План: