6. Построение амплитудно-фазовой характеристики (афх)

разомкнутой САР и определение устойчивости системы по

амплитудно-фазовому критерию (Найквиста). Определение по

АФХ запасов устойчивости САР

Амплитудно-фазовый критерий устойчивости формулируется: если все корни характеристического уравнения разомкнутой системы имеют отрицательные вещественные части или, если имеется один нулевой корень, а вещественные части остальных корней отрицательны, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывала бы точку на комплексной плоскости с координатами (-1;0).

S₁ = 0;

Так как корни характеристического уравнения удовлетворяют требованиям данного критерия устойчивости, то можно сделать вывод, что система устойчива.

В выражении передаточной функции разомкнутой системы заменим величину S на jω и выделим из полученного выражения вещественную и мнимую части.

ω	0	0.01	0.05	0.8	1	3	5	8	10
U(ω)	0	0.023	-0.031	-0.086	-0.012	-0.35	-0.52	-0.58	-0.62
V(ω)	0	0.036	0.081	0.084	-0.008	-0.37	-0.48	-0.78	-0.92

По данным таблиц нанесём точки на плоскости. Соединив точки плавной кривой, получим амплитудно-фазовою характеристику разомкнутой системы.

Согласно амплитудно-фазовому критерию замкнутая система автоматического регулирования устойчива.

Для определения запаса устойчивости необходимо на графике амплитудно-фазовой характеристики построить окружность единичного радиуса с центром в начале координат и соединить начало координат с точкой пересечения окружности с амплитудно-фазовой характеристикой. Угол между отрицательным лучом вещественной оси и лучом, проведённым из начала координат в точку пересечения окружности с амплитудно-фазовой характеристикой, определяет запас устойчивости по фазе ( =63⁰).

Если отрезок оси вещественной оси между началом координат и точкой пересечения её с АФХ разомкнутой системы обозначить через R, то запасом устойчивости запасом устойчивости по амплитуде будем называть число m=1/R выраженное в децибелах.

m = 1/ 0.1 = 10

Запас устойчивости по амплитуде составляет

20lg(6.25) = 20 (дБ).

.

5. Исследование качества переходного процесса.

Этот метод базируется на связи переходного процесса с вещественной частотной характеристикой замкнутой системы.

Связь выражается интегралом

Где P(ω) – ВЧХ,

ω – угловая частота,

h(t) – переходный процесс.

Расчет логарифмической частотных характеристик замкнутой системы удобно вести, заполняя таблицу 1.

ω	Lp	φp	Lз	φз	lgRз=Lз/20	Rз	cos(φз)	P(ω)=Rз*cos(φз)
0		-90		90	0	1	0	0
0,01	42	-90	0	90	0	1	0	0
0,05	27	-90	-25.6	90	-1.28	0.913	0	0
0,1	22	-90	-21.9	90	-1.09	0.901	0	0
0,4	10	-104	-10.6	88.5	-0.5	0.895	0.026	0.0256
0,8	5	-110	-1.7	88	-0.05	0.822	0.03	0.0216
1	2	-127	0.1	88	0.05	1.123	0.03	0.033
10	-25	-248	1.9	0	0.095	1.244	1	1.244
20	-45	248	0	0	0	1	1	1
		-90	0	0	0	1	0	0

График ВЧХ, построенный по данным таблицы изображен на рисунке 14.

Расчет и построение переходной характеристики САР. Представим вещественную частотную характеристику в виде суммы трапецеидальных характеристик

Параметры трапецеидальных характеристик

1. Трапеция abcd: P₁=1.244

ω _d1=10

ω _k1=48

χ₁=10/48=0.208

2. Трапеция dgfq: P₂=-1.244

ω _d2=1.83

ω _k2=8

χ₂=1.83/8=0.228

Данные трапеции представлены на рис

Расчет переходных процессов для трапеций представленных на рис произведем в таблице

2. По данным таблицы строим графики переходных процессов для трапеций и производим их графическое суммирование. В результате получим переходный процесс САР x(t)

1,244 0,208 -1,244 0,228 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 0,215 2,403846 0,26746 0,5 0,21 2,192982 -0,26124 1 0,417 4,807692 0,518748 1 0,412 4,385965 -0,512528 1,5 0,603 7,211538 0,750132 1,5 0,598 6,578947 -0,743912 2 0,761 9,615385 0,946684 2 0,755 8,77193 -0,93922 3 0,987 14,42308 2,5168 3 0,982 13,15789 -1,221608 4 1,09 19,23077 1,35596 4 1,04 17,54386 -1,29376 5 1,103 24,03846 1,372132 5 1,098 21,92982 -1,365912 6 1,075 28,84615 1,3373 6 1,07 26,31579 -1,33108 7 1,038 33,65385 1,291272 7 1,033 30,70175 -1,285052 8 1,017 38,46154 1,265148 8 0,966 35,08772 -1,201704 9 1,011 43,26923 1,257684 9 0,97 39,47368 -1,20668 10 1,011 48,07692 1,257684 10 0,982 43,85965 -1,221608 11 1,007 52,88462 1,252708 11 0,993 48,24561 -1,235292 12 1,001 57,69231 1,245244 12 0,997 52,63158 -1,240268 13 0,9865 62,5 1,227206 13 0,997 57,01754 -1,240268 14 0,9695 67,30769 1,206058 14 1 61,40351 -1,244 15 0,977 72,11538 1,215388 15 1,005 65,78947 -1,25022 16 0,998 76,92308 1,241512 16 1,011 70,17544 -1,257684 17 1,014 81,73077 1,261416 17 1,012 74,5614 -1,258928 18 1,008 86,53846 1,253952 18 1,008 78,94737 -1,253952 19 1,0075 91,34615 1,25333 19 1,006 83,33333 -1,251464 20 0,996 96,15385 1,239024 20 0,996 87,7193 -1,239024 21 0,988 100,9615 1,229072 21 0,995 92,10526 -1,23778 22 0,991 105,7692 1,232804 22 0,996 96,49123 -1,239024 23 0,998 110,5769 1,241512 23 0,998 100,8772 -1,241512 24 1,004 115,3846 1,248976 24 1,007 105,2632 -1,252708 25 1,004 120,1923 1,248976 25 1,004 109,6491 -1,248976 26 1,003 125 1,247732 26 1,002 114,0351 -1,246488										-1,365912
										-1,33108