tema02-lect03
.pdf
Тема 2 – Лекция 3 |
СЦОИ |
1 |
Тема 2. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Базисная система гармонических функций. – Тригонометрический ряд Фурье. – Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала. – Комплексный ряд Фурье. – Понятие отрицательной частоты. –Спектры простейших периодических сигналов. – Условия и теорема Дирихле. – Явление Гиббса. – Распределение мощности в спектре периодического сигнала. - Практическая ширина спектра периодического сигнала.
2.1. Базисная система сигналов
Наиболее распространенная система ортогональных гармонических функций:
Рис. 2.1. Базисные тригонометрические функции
Условия ортогональности имеют вид:
Доказательство:
Тема 2 – Лекция 3 |
СЦОИ |
2 |
2.2. Тригонометрический ряд Фурье
Всякая периодическая функция времени x(t), которая
Тригонометрический ряд Фурье (1-я форма записи):
Коэффициенты ряда:
При расчете коэффициентов начальный момент времени t0 выбирается
Если функция x(t), описывающая сигнал, является нечетной
Если функция x(t), описывающая сигнал, является четной
Тема 2 – Лекция 3 |
СЦОИ |
3 |
Тригонометрический ряд Фурье (2-я форма записи):
Амплитуда:
Фаза:
Связь с коэффициентами an, bn:
Периодический сигнал x(t) содержит в себе
Основная гармоника:
Высшие гармоники:
Спектральным разложением сигнала в базисе гармонических функций, или
гармоническим анализом сигнала
Амплитудный частотный спектр сигнала (или спектр амплитуд)
Фазовый частотный спектр сигнала (или спектр фаз)
Спектр периодического сигнала -
Амплитудная и фазовая спектральные диаграммы
Тема 2 – Лекция 3 |
СЦОИ |
4 |
Рис.2.2. Спектральные диаграммы периодического сигнала: а
– амплитудная; б – фазовая.
Между периодическими сигналами и их частотными спектрами существует взаимно-однозначное соответствие:
Спектр сигналов, описываемых гладкими функциями
Спектр сигналов, описываемых ломаными функциями
2.3. Комплексный (экспоненциальный) ряд Фурье
По формулам Эйлера:
Подставим (10) в (8):
Ряд Фурье (3-я форма записи):
Отрицательная частота:
Тема 2 – Лекция 3 |
СЦОИ |
5 |
Спектральные диаграммы
Амплитудный спектр
Фазовый спектр
Рис.2.3. Спектральные диаграммы: а – амплитудная; б – фазовая.
Связь коэффициентов тригонометрического и комплексного рядов Фурье
2.4.Спектры простейших периодических сигналов
2.4.1.Прямоугольное колебание (меандр)
Рис. 2.4. График прямоугольных колебаний (меандра)
а) Пусть начало отсчета времени совпадает с началом положительной полуволны
Тема 2 – Лекция 3 |
СЦОИ |
6 |
Коэффициенты:
Ряд Фурье:
n |
– |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
An |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕn |
рад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.5 а. Спектральная диаграмма прямоугольных колебаний
б) Пусть начало отсчета времени располагается в середине импульса
Коэффициенты:
Ряд Фурье:
n |
– |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
An |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕn |
рад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 2 – Лекция 3 |
СЦОИ |
7 |
Рис. 2.5 б. Спектральная диаграмма прямоугольных колебаний
в) Найдем разложение прямоугольного колебания в комплексный ряд Фурье, приняв за начало отсчета начало положительной полуволны.
Коэффициенты:
n |
– |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|cn | |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕn |
рад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.5 в. Спектральная диаграмма прямоугольных колебаний
Вывод:
Тема 2 – Лекция 3 |
СЦОИ |
8 |
Рис. 2.6. Аппроксимация прямоугольного колебания усеченным рядом Фурье с различным числом N гармоник: 1 – N=5, 2 – N=9, 3 – N=19
2.4.2. Пилообразный сигнал
Рис. 2.7 а. График пилообразного сигнала
В пределах периода пилообразный сигнал описывается линейной функцией:
Коэффициенты
Ряд Фурье
n |
– |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
An |
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕn |
рад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 2 – Лекция 3 |
СЦОИ |
9 |
Рис. 2.7 б. Спектральная диаграмма прямоугольных колебаний
2.4.3. Последовательность прямоугольных импульсов
Рис. 2.8. Последовательность прямоугольных импульсов
На интервале (−T/2,T/2) сигнал описывается функцией:
Коэффициенты
Амплитуды гармонических составляющих
Рис. 2.9. Амплитудная спектральная диаграмма последовательности
прямоугольных импульсов для τ/T=0.5
Тема 2 – Лекция 3 |
СЦОИ |
10 |
2.5. Условия сходимости ряда Фурье. Явление Гиббса
Усеченный ряд Фурье
Представляет интерес следующее:
1)
2)
Функция, разлагаемая в ряд Фурье, должна удовлетворять условиям Дирихле: 1)
2)
3)
Пример функции, имеющей пять разрывов непрерывности первого рода и неравные предельные значения x(−T 2+ 0) и x(T 2−0) . Такая функция удовлетворяет приведенным выше условиям Дирихле:
Рис.2.10. Пример сигнала, удовлетворяющего условиям Дирихле
Теорема Дирихле