Примеры решения задач

Задача 1. Найти число молекул в 1 см³ водорода, если давление газа равно 2,67^.10⁴ Па, а средняя квадратичная скорость его молекул при данных условиях равна 2400 .

Дано: Решение

р

В условиях задачи концентрацию молекул можно найти двумя способами:

1. Используем основное уравнение кинетической теории

где .

= 2,67^.10⁴ Па

<V_кв > = 2400

V = 1 см³ = 10^–6 м³

 = 2^.10^-3

N - ? ,

где .

Отсюда

. (1)

Массу молекулы найдем, зная молярную массу и число Авогадро:

.

Подставляем в формулу (1):

.

Вычисляем концентрацию молекул:

= 4,2 ^. 10²⁴ м ^–3.

Тогда число молекул N = n ^. V = 4,2 ^. 10¹⁸ (молекул).

2. Используя связь давления с концентрацией и формулу средней квадратичной скорости

Получаем ту же формулу для вычисления п.

Ответ: N = 4,2 ^. 10¹⁸ молекул содержится в 1 см³.

Задача 2. Плотность некоторого газа 6^.10^-2 , а средняя квадратичная скорость его молекул <V_кв > = 500 . Найти давление, которое газ оказывает на стенки сосуда.

Дано:Решение



Запишем основное уравнение молекулярно-кинетической теории:

.

= 6,0 ^. 10^-2

<V_кв > = 500

p - ?

Преобразуем это уравнение:

где N – число молекул газа, т – масса газа, – масса одной молекулы газа.

Тогда - плотность газа равна произведению массы одной молекулы на концентрацию молекул. Получим

= 5 ^. 10³ Па.

Ответ: p = 5 ^. 10³ Па.

Задача 3. В колбе емкостью V = 100 см³ содержится некоторый газ при температуре t = 27 ⁰С. На сколько понизится давление газа в колбе, если вследствие утечки из колбы выйдет N = 10²⁰ молекул?

Дано:Решение

V

Начальное давление в колбе

= k T.

Конечное давление

= 100 см³ = 10^-4 м³

t = 27 ⁰С, Т = 300 К

N = 10²⁰ молекул

р - ?

= k T,

где и– концентрации молекул газа в колбе.

Отсюда получаем изменение давления при утечке газа

,

.

Тогда

,

= 4,14 ^. 10³ Па.

Ответ: р = 4,14 Па.

Задача 4. Определить среднюю кинетическую энергию теплового движения всех молекул двухатомного газа, заключенного в сосуд объемом 2 л при давлении 1,5 ^. 10⁵ Па?

Решение

Энергия теплового движения одной молекулы идеального газа

Дано:

V = 2 л = 2 ^.10^-3 м³

р = 1,5 ^. 10⁵ Па

i = 5

<W_к> - ?

где i – число степеней свободы молекулы.

В сосуде объемом V находится N молекул. Полная энергия теплового движения всех молекул равна

.

Число молекул газа N можно найти с помощью числа Авогадро. Число молекул в одном моле вещества одинаково для всех веществ и равно .

Количество вещества в молях определяется так:

где m – масса вещества;  - его молярная масса.

Тогда число молекул будет равно

.

Полная энергия теплового движения всех молекул вещества

.

Это выражение определяет энергию теплового движения всех молекул данного количества вещества. Для идеального газа энергия теплового движения молекул является его внутренней энергией. Это следует из определения идеального газа. Внутренняя энергия обозначается буквой U:

.

Для условий нашей задачи

(уравнение Менделеева - Клапейрона).

Следовательно,

Дж.

Из равенства видно, что внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры газа. Изменение внутренней энергии не зависит от процесса. Внутренняя энергия является функцией состояния.

Ответ: <W_к> = 750 Дж.