2. Плоскі електромагнітні хвилі

Розглянемо частковий випадок електромагнітних хвиль, коли поле залежить тільки від одної координати, скажімо x (і від часу). Такі хвилі називаються плоскими. В цьому випадку рівняння поля набувають вигляду

(1)

де під f розуміємо будь-яку компоненту векторів Е чи Н.

Для розв’язку цього рівняння перепишем його у вигляді

і введемо нові змінні

так що

Тоді

і рівняння для f набере вигляду :

(2)

Очевидно, що його розв’язок має вигляд

де f₁ і f₂ - довільні функції. Таким чином,

(3)

Нехай, наприклад, f₂ =0, так що f=f₁(t-x/c). Вияснимо зміст цього розв‘язку. В кожній площині x=const поле змінюється з часом; в кожен даний момент поле різне для різних x. Очевидно, що поле має однакове значення для координат x і моментів часу t, що задовольняють рівності t-x/c=const , тобто x=const+ct.

Це означає, що якщо в деякий момент t=0 в деякій точці x простору поле мало певне значення, то через проміжок часу t теж саме значення поле має на відстані ct вздовж осі x від початкового місця. Ми можемо сказати, що всі значення електромагнітного поля поширюються в просторі вздовж осі x зі швидкістю, яка дорівнює швидкості світла c.

Таким чином, f₁(t-x/c)—падаюча хвиля представляє собою плоску хвилю, що поширюється в додатному напрямку осі x (падаюча хвиля). Очевидно, що f₂(t+x/c) представляє собою хвилю, що поширюється в протилежному, від’ємному, напрямку осі x (відбита хвиля). 3. Монохроматична плоска хвиля

Важливий частковий випадок електромагнітних хвиль представляють хвилі, в яких поле є простою періодичною функцією часу. Така хвиля називається монохроматичною. Всі величини (потенціали, компоненти полів) в монохроматичній хвилі залежать від часу у вигляді множника виду cos(ωt+α), де ω - циклічна частота (або просто частота) хвилі.

В хвильовому рівнянні друга похідна від поля по часу дорівнює тепер ∂²f/∂t²=-ω²f так що розподіл поля по простору визначається в монохроматичній хвилі рівнянням

(1)

В плоскій хвилі (що поширюється вздовж осі х) поле є функцією тільки від t-x/c. Тому якщо плоска хвиля періодична, то її поле є простою періодичною функцією від

t-x/c. Векторний потенціал такої хвилі зручно всього написати у вигляді дійсної частини комплексного виразу:

(2)

Тут А₀ - деякий постійний комплексний вектор. Очевидно, що і напруженості Е і Н в такій хвилі будуть мати аналогічний вигляд з тією ж циклічною частотою ω. Величина

(3)

називається довжиною хвилі; це і є період зміни поля з координатою х в заданий момент часу t.

Вектор

(4)

(де n- одиничний вектор в напрямку поширення хвилі) називається хвильовим вектором (показує скільки довжин хвиль вкладається на віддалі 2π метрів). З його допомогою можна представити вираз (2) у вигляді

(5)

який не залежить від вибору координат (якщо хвиля поширюється в довільному напрямку з ортом n: x = rn). Величину, яка стоїть з множником (і) в показнику, називають фазою хвилі.

До тих пір, поки ми виконуємо над величинами лише лінійні операції, можна опускати знак взяття дійсної частини і оперувати з комплексними величинами як такими. Так, підставивши

в (7 попереднього параграфа), отримаємо зв’язок між напруженостями і векторним потенціалом плоскої монохроматичної хвилі у вигляді

(6)

Розглянемо детальніше питання про напрям поля монохроматичної хвилі. Будемо для визначеності говорити про электричне поле

Е₀ є деякий комплексний вектор. Його квадрат Е²₀ є також деяке комплексне число. Якщо аргумент цього числа є -2α (тобто

то вектор b, визначений згідно:

(7)

буде мати дійсний квадрат . З таким визначенням напишемо:

(8)

Запишемо в у вигляді: в= в₁+і в₂, де в₁ і в₂ — два дійсних вектори. Оскільки квадрат

повинен бути дійсною величиною, то в₁ в₂=0, тобто вектори в₁ і в₂ взаємно перпендикулярні. Виберемо напрям в₁ в якості осі у (вісь х — за напрямком поширення хвилі). Тоді із (8) маємо:

,

(9)

де знак плюс або мінус має місце в залежності від напрямку вектора b₂. Із (9) випливає, що

(10)

Ми бачимо, що в кожній точці простору вектор електричного поля обертається в площині, перпендикулярній до напрямку поширення хвилі, причому його кінець описує еліпс (10). Така хвиля називається еліптично поляризованою. Обертання проходить в напрямку за або проти напрямку обертання гвинта вздовж осі х, відповідно при знакові плюс або мінус в (9).

Якщо в₁=в₂, то еліпс (10) перетворюється в коло, тобто вектор Е обертається, залишаючись постійним за величиною. В цьому випадку говорять, що хвиля поляризована по колу. Вибір на­прямків осей у і z при цьому залишається, очевидно, довільним. Зауважимо, що в такій хвилі відношення у і z компонент комплексної амплітуди Е₀ рівні

(11)

відповідно для обертання за і проти напрямку гвинта (права і ліва поляризації).

Якщо в₁ або в₂ дорівнюють нулю, то поле хвилі напрямлене в усі сторони і завжди паралельне (або антипаралельне) одному і тому ж напрямкові. Хвилю в цьому випадку називають лінійно-поляризованою або поляризованою в площині. Еліптично-поляризовану хвилю, очевидно що можна розглядати як накладання двох поляризованих хвиль.