Представление дробных чисел в форме с плавающей запятой

Для представления дробных чисел используется так называемая полулогарифмическая форма

 

A_q = mq^p =(p, m)_q ,

 

где

    q - основание системы счисления;

    p - порядок;

    m - мантисса.

Например, А=3,1415927. Вот варианты полулогарифмической формы:

(0,031415927×10²)₁₀ = (2; 0,031415927)₁₀,

(3141,5927×10^-3)₁₀ = (-3; 3141,5927)₁₀

и т. д. Видим, что для каждого числа существует бесконечное количество вариантов полулогарифмической формы.

Число называется нормализованным, если

т. е. 1) мантисса по абсолютному значению не превосходит 1 (это второе неравенство);

        2) первая цифра мантиссы после запятой не равна нулю (это первое неравенство).

В нашем примере нормализованная форма числа А=0,31415927×10¹ = (1; 0,31425927).

Вот вариант представления нормализованного числа в ЭВМ:

 

 

Запятая не фиксирована в определенном месте разрядной сетки, т. е. как бы плавает, отчего такой способ представления получил название "форма с плавающей запятой".

Попробуем на конкретном примере оценить возможный диапазон представления чисел в форме с плавающей запятой.

 Пусть длина числа - 4 байта (32 бита), в том числе:

- знак - 1 бит;

- порядок со знаком - 8 бит;

- мантисса - 23 бита.

Максимальная мантисса = 2^-1+ 2^-2+ ...+ 2^-23 = 1- 2^-23  (во всех битах 1, сумма подсчитана по формуле для арифметической прогрессии).

Максимальный порядок =  2⁷=127 (т. к. из 8-ми бит порядка один бит- знак).

Следовательно, максимальное равно

 

(1- 2^-23)2¹²⁷  1,710³⁸ .

 

Сомневающиеся могут запустить Калькулятор и выполнить вычисления.

 Заглянув в справочники, для четырехбайтовых действительных увидим максимальное примерно равно 3,410³⁸ .

Операции над действительными числами

Для данных действительного типа определены следующие арифметические операции:

• сложение ( + );

• вычитание ( - );

• умножение ( * );

• деление ( / );

• возведение в степень ( ^ ),

В нецелую степень можно возводить только положительные числа.

Нецелая степень по правилам математики вычисляется по формуле:

a^x = e^xln(a) ,

где е - основание натуральных логарифмов. Это значит, что в дробную степень можно возводить числа, превышающие ноль.

Ввод-вывод действительных чисел Возможны 2 формы ввода действительных чисел:

• с десятичной запятой;

• экспоненциальная.

Форма с десятичной запятой - это обычная, привычная нам форма, например: 23, 78069.

Экспоненциальная форма - это по существу то, что мы называли полулогарифмической формой: мантисса плюс английская буква Е полюс порядок числа (обязательно целое число). Пробелы внутри числа не допускаются.  Например:

 4,556098Е3 – это 4,55609810³ = 4556,098); 0,1234567Е-4 – это 0,123456710^-4 = 0,00001234567).

Экспоненциальная форма удобна для записи чисел значительно больших единицы либо значительно меньших единицы. Действительно, проще записать 1,23Е-10, чем 0,000000000123 или 3,37Е16 чем 33700000000000000. Мало того, что от нулей рябит в глазах, так еще надо не ошибиться в их количестве.

Вывод чисел.

Практически все программы, выполняющие математические расчеты, допускают  2 формы вывода действительных чисел:

• с десятичной запятой;

• экспоненциальную.

Форма вывода может выбираться как самой программой (выбирается та форма, при которой количество выводимых символов меньше), так и пользователем.