Основы квантовой статистики

Для того, чтобы описать расположение электронов в твёрдом теле, используется квантовая статистика Ферми – Дирака.

Основные положения квантовой статистики:

• Частицы, находящиеся в твёрдом теле, неразличимы, т.е. обмен энергетическими состояниями между соседними электронами не меняет состояния всей системы;

• Энергетический спектр дискретен. Это означает, что два соседних энергетических состояния могут различаться на весьма малую, но конечную величину;

• Размер элементарной энергетической ячейки соответствует законам квантовой физики:

• Изменение энергии связано с изменением одного из квантовых чисел;

• Любое энергетическое состояние может быть занято лишь двумя частицами с разными спинами.

В п/п нас будет интересовать функция плотности энергетического состояния и функция плотности заполнения этих состояний частицами. Рассмотрим некоторую область пространства, энергии, которая содержит Zуровней (состояний). Попытаемся разместить в этой областиNчастиц. С учётом принципа ПаулиZдолжно быть больше или равноN. Учитывается и то, что частицы неразличимы.

Проведя определённые рассуждения, можно составить уравнения, решение которых даёт нам выражение для функции Ферми, определяющую плотность размещения частиц по состояниям.

F(w) = ф-я плотности заполнения

состояния частицами

W – энергия частицы

W_ф - энергия Ферми

k – постоянная Больцмана

T – температура.

W_ф– некоторый дискретный уровень энергии.

Предположим, чтоT . Функция изменяется:

W<W_ф

F_кв(W)--1

W>W_ф

F_кв(W)--0

W=W_ф

F_кв(W)—0,5

С точки зрения физической энергия Ферми – это наивысшая энергия частицы, которую она может принимать в некоторой системе при Т=0.

С точки зрения статистики функция F_кв(W) – это вероятность замещения частицами состояния. Если энергия частицы меньше энергии Ферми, то вероятность будет равна 1. Вероятность замещения состояния с энергией, большей энергии уровня Ферми, равна 0.

Уровень Ферми– энергетическое состояние частицы, вероятность замещения которого равна 0,5.

Важной характеристикой энергетической системы является функция плотности энергетического состояния. Это закон изменения числа энергетических состояний за какой-то элементарный интервал времени в зависимости от расположения этого интервала на оси энергии.

Для открытых и закрытых энергетических зон эта функция имеет вид:

Расположение уровня Ферми в п/п.

В собственном п/п уровень Ферми располагается посреди запрещенной зоны. Кривая распределения (F_кв(W)) всегда симметрична относительно уровня Ферми. Положение уровня Ферми и значение функцииF_кв(W) зависит от концентрации носителей и от температуры.

При Т=0 функция Ферми имеет ступенчатый характер. Вероятность занятия электронами уровней в зоне проводимости равна 0, а в валентной зоне эта же вероятность равна 1.

W

ЗП

W_с T>0

W_Ф

W_В T=0

ВЗ

0 0,5 1 F_кв(W)

При Т>0 появляется небольшая вероятность занятия электронами уровней в зоне проводимости, а вероятности занятия уровней в валентной зоне соответственно уменьшается на такую же величину. Из формулы Ферми видно, что при температуре, большей 0, уровень Ферми – это такой уровень, формальная вероятность занятия которого электронами равна 0,5. Формальная потому, что уровень Ферми находится в запрещённой зоне и не может быть занят электронами.

Реальный смысл имеют те участки, которые расположены в зоне проводимости и валентной зоне.

Вышеприведённые процессы (при Т>0) возможны при симметричном размещении кривой F_кв(W), только тогда, когда уровень Ферми находится посередине запрещённой зоны.