Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

METODU09

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

518.54 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Міністерство освіти і науки України

Національний технічний університет України

„ Київський політехнічний інститут”

ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ

ЗМІННОЇ

Методичні вказівки до вивчення дисципліни

„ Вища математика”

Київ –2008

Міністерство освіти і науки України

Національний технічний університет України

„ Київський політехнічний інститут”

ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ

ЗМІННОЇ

Методичні вказівки до вивчення дисципліни

„ Вища математика”

для студентів енергетичних спеціальностей

усіх форм навчання

Затверджено Методичною радою НТУУ „ КПІ”

Київ

НТУУ „ КПІ”

2008

Теорія функцій комплексної змінної: Метод. вказівки до вивч. дисципліни „Вища математика” для студ. енергет. спец. усіх форм навчання / Уклад.: Є. В. Массалітіна, О. О. Кільчинський. – К.: НТУУ „КПІ”, 2008. – 54 с.

Гриф надано Методичною радою НТУУ „КПІ”

(Протокол № 10 від 19.06. 2008 р.)

Навчальне видання

Теорія функцій комплексної змінної

Методичні вказівки

до вивчення дисципліни „ Вища математика”

для студентів енергетичних спеціальностей

усіх форм навчання

Укладачі:

Массалітіна Євгенія Вікторівна, канд. фіз.-мат. наук, доц.

Кільчинський Олександр Олександрович. канд. фіз.-мат. наук, доц.

Відповідальний редактор А. М. Самойленко, д-р фіз.-мат. наук, проф.

Рецензент: З. П. Ординська, канд. фіз.-мат. наук, доц.

За редакцією укладачів

ВСТУП

В методичних вказівках викладено основні теоретичні положення і методи теорії функцій комплексної змінної, які знаходять важливі застосування при розв’язуванні прикладних задач теорії автоматичного керування, електротехніки, радіотехніки, теоретичної механіки. Для більш глибокого розуміння матеріалу теоретичні положення ілюструються розв’язанням типових задач. Робота буде корисною студентам для глибшого розуміння їх фахових дисциплін і при самостійному вивченні курсу теорії функцій комплексної змінної.

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ТА МЕТОДИКА РОЗВ'ЯЗУВАННЯ

НА ПРИКЛАДАХ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

1.КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА (КЧ)

1.1.Комплексні числа в алгебраїчній формі

Означення. Комплексним числом z в алгебраїчній формі називається

вираз вигляду
	z = x +yi,			(1.1)
де x, y – дійсні числа, i –	уявна одиниця, що має властивість
i2	= −1 (		= ±i).	(1.2)
		−1

Складові x, y називають дійсною та уявною частинами комплексного

числа z і позначають символами	x = Rez,	y = Imz .
df	df	df	df
За означенням ( „=” ) покладають	x + 0i=x;	0 +yi=yi;	0+0i=0.

КЧ z = x −yi називають спряженим до КЧ z = x +yi.

Геометрична інтерпретація,

модуль та аргумент комплексного

числа

Комплексні числа можна зображувати на спеціальній площині, яка в цьому випадку називається комплексною площиною. Комплексне число z = x +yi зображується на площині Oxy

−−→

M(x,y)

Рис. 1.1

точкою M(x;y) або радіусом–

вектором OM (рис.1.1). Довжина цього вектора позначається символом z і називається модулем КЧ z , кут між цим вектором і додатною піввіссю Ox позначається через Argz і називається аргументом КЧ z .

Значення Argz в межах інтервалу (−π;π] позначається через argz і

називається головним. Модуль і аргумент знаходяться за формулами:

z =|x +yi |= ρ = x2 +y2,

argz = ϕ, Argz = argz +2kπ (k = 0,±1,±2,...),

де ρ,ϕ−полярні координати точки M(x;y), що зображує КЧ z :

			y
						x > 0;
	arctg				,	x > 0;
			x
			x
		y
		y
	π +arctg			,		x < 0,	y ≥ 0;
	π +arctg			,		x < 0,	y ≥ 0;
		x
		x
			y
			y
	−π +arctg					x < 0,	y < 0;
argz = ϕ =					,
argz = ϕ =			x		,
			x

			π
			π			x = 0,	y > 0;
					,
					,
			2
			2
			π
			π
	−					x = 0,	y < 0.
	−		2		,	x = 0,	y < 0.
			2

(1.3)

(1.4)

Комплексні числа z1 = x1 +y1i та z2 = x2 +y2i зображується сумою та

різницею	радіус-векторів з кінцевими точками M1(x1;y1), M2(x2;y2).
Величина	\|z1 −z2 \| має геометричний зміст відстані між точками M1 та

M2, що зображують числа z1,z2.

Операції з КЧ в алгебраїчній формі

Операції додавання, віднімання, множення, ділення здійснюються з КЧ як зі звичайними алгебраїчними виразами, тільки слід враховувати,

що i2 = −1.

1) (порівняння КЧ) КЧ z1 = x1 +y1i та z2 = x2 +y2i вважаються рівними z1 = z2 тоді і лише тоді, коли x1 = x2 та y1 = y2 ;

2) (додавання КЧ)

z1 +z2 =(x1 +y1i)+(x2 +y2i) = (x1 +x2)+(y1 +y2)i;

3)(віднімання КЧ)

z1 −z2 =(x1 +y1i)−(x2 +y2i) = (x1 −x2)+(y1 −y2)i;

4)(множення КЧ)

z1z2 = (x1 +y1i)(x2 +y2i) = x1x2 +x1y2i +y1x2i +y1y2i2 =

=x1x2 +x1y2i +y1x2i +y1y2i2 = (x1x2 −y1y2)+(x1y2 +y1x2)i;

Зозначення добутку КЧ випливає

z z = (x +iy)(x −iy) = x2 +y2 =|z |.

5) (ділення КЧ)

(x1 +y1i)(x2 −y2i)

+y i)(x

−y i)

(x1x2 +y1y2)+(y1x2 −x1y2)i

x1x2 +y1y2

y1x2 −x1y2

x22 +y22

На множину комплексних чисел розповсюджуються всі відомі властивості арифметичних операцій з дійсними числами; залишаються, у

силі і всі формули скороченого множення.

1.2. Комплексні числа в тригонометричній та показниковій формах


Означення.			Тригонометричною		та	показниковою	формами
комплексного числа z = x +yi називають відповідно вирази вигляду
		z = ρ(cosΦ +isinΦ),			z = ρeΦi,		(1.5)
де	ρ =	z	,	Φ = Argz = ϕ +2kπ		(k = 0,±1,±2,...),
де	ρ =	z	,	Φ = Argz = ϕ +2kπ		(k = 0,±1,±2,...),

а значення параметрів ρ,ϕ визначаються за формулами (1.4).

Взаємозв’язок між тригонометричною та показниковою формами

(1.5) базується на формулі Ейлера

eΦi = cosΦ +i sinΦ,

(1.6)

де функція eΦi має алгебраїчні властивості звичайної показникової функції (як у випадку, коли б число i було дійсним).

Операції з КЧ в тригонометричній та показниковій формах

Нехай	z	1	= ρ eΦ1i = ρ (cosΦ +i sinΦ ),
		1	1	1	1	1

z2 = ρ2 eΦ2i = ρ2 (cosΦ2 +i sinΦ2).

Тоді операції з цими числами здійснюються за правилами:

1) (порівняння КЧ) КЧ z1,z2 вважаються рівними z1 = z2 тоді і лише

тоді, коли мають місце				рівності:
ρ1 = ρ2 ,	Φ1	= Φ2 +2kπ				(k = 0,±1,±2, ...);
2) (множення КЧ)	z z	2	= ρ eΦ1i ρ eΦ2i = ρ ρ e(Φ1+Φ2)i =
	1			1	2	1	2

= ρ1ρ2[cos(Φ1 +Φ2)+isin(Φ1 +Φ2)];

	z	1		ρ eΦ1 i			ρ		(Φ1	−Φ2)i
3) (ділення КЧ)		1	=	1		=	1	e			=
3) (ділення КЧ)	z2		=	Φ	i	=	ρ2	e			=
	z2			ρ e 2			ρ2
				2

=ρ1 [cos(Φ1 −Φ2)+isin(Φ1 −Φ2)] ;

ρ2

4)(піднесення КЧ до степеня) степені КЧ

z = ρeΦi = ρ(cosΦ +i sinΦ)

знаходяться за формулою Мyавра

= (ρe

Φi n

= ρ

n Φi

= ρ

(cosnΦ +i sinnΦ),

(n = 0,±1, ...); (1.7)

)

5) (видобування кореня з

КЧ) КЧ w називається коренем

n-го

степеня з КЧ z

і пишуть w = n

тоді і лише

тоді,

коли wn

= z;

існує

рівно

різних

значень n

, які

при

z = ρeΦi =

= ρ(cosΦ +isinΦ) ≠ 0 знаходяться за формулою:

ϕ+2kπ

wk = n

= n ρeΦi = n

en i

= n

i =

e n

ϕ +2kπ

+isin

(k = 0;n −1),

ρ cos

де через nρ позначено арифметичне значення кореня степеня з дійсного числа ρ.

(1.8)

n -го

				1.3. Методика розв’язування завдання №1
Завдання				1.	Представити	число	z =	z1	в алгебраїчній,
								z2

тригонометричній					та показниковій	формах. Зобразити числа z,
z		= 1+3i, z		= 2 +i на комплексній площині.			Обчислити 4				.
	1		2							z

Розв’язання.				1.	Для приведення числа z		до алгебраїчної форми у

виразі

z =

1+3i

поділимо чисельник на знаменник. Матимемо:

z =

1+3i

2−i

2−i +6i + 3

5+5i

= 1

+i.

2+i

4 +1

2+i 2−i

z1 = 1+3i

z= 1+i

z = 2 +i

2 x

Рис. 1.2

Отже, z = 1+i – алгебраїчна форма КЧ

1+3i z = 2+i .

Для приведення числа z до тригонометричної та показникової форм,

скористаємося формулами (1.3) – (1.4). При x = Rez = 1, y = Imz = 1знайдемо:

z = ρ = x2 +y2 = 2,

ϕ = argz = arctg y = arctg1 = π .

У відповідності із співвідношеннями (1.5)

z =

2 cos

sin

–

комплексна форма КЧ z ,

z =

2 e 4

– показникова форма КЧ z .

2. Зобразимо комплексні

числа

z = 1+i,

= 1+3i,

= 2 +i на

комплексній площині (рис. 1.2).

3. Обчислимо значення кореня

= 4

1+i

Скористаємося формулою

(1.8) при n = 4, ρ =

, k = 0,1,2,3:

2, ϕ =

			ϕ+2kπ		i						ϕ +2kπ
wk =	4	ρ e				=	4
	4						4
				4					ρ cos
											4
								π		+ 2kπ


								4

		=	8	2								+i sin
		=		2	cos							+i sin
										4
										4

Отже рівняння має чотири корені:

+isinϕ +2kπ 4

π
	+ 2kπ
	+ 2kπ
4
4
		.
		.
	4
	4

= 8 2

cos

+isin

≈ 1.07

+i 0.213;

= 8

cos

+isin

ϕ =

= 8 2

−sin

+icos

≈ −0.213 +i 1.07;

8 2

= 8 2

cos

+ π

+isin

+π =

−cos

−isin

≈ −1.07

−i

0.213;

Рис. 1.3

3π

w3 =

cos

+isin

= 8

sin

−icos

≈ 0.213

−i 1.07.

Зобразимо корені рівняння w = 41+i на комплексній площині (рис. 1.3).

	π	i		π		π
Відповідь: z = 1+i, z = 2 e 4 , z = 2			cos		+i sin		;
Відповідь: z = 1+i, z = 2 e 4 , z = 2			cos		+i sin		;
				4
				4		4

									π				π													π				π
									π				π													π				π
w		0	=	8	2		cos				+isin			,		w		1	= 8		2 −cos						−isin				,
w			=	8	2		cos				+isin			,		w			= 8		2 −cos						−isin				,
								16				16													16
								16				16													16					16
										π			π											π					π
										π			π											π					π
w	2	= 8		2		−cos					−isin				,	w	3		= 8	2		sin				−icos				.
w		= 8		2		−cos					−isin				,	w			= 8	2		sin				−icos				.
									16														16					16
									16				16										16					16

2. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ (ФКЗ)

2.1. Способи задавання ФКЗ, елементарні ФКЗ

Нехай змінні КЧ z = x +yi та w = u +vi приймають значення з

множин D = {z}, E = {w}.
Означення.	ФКЗ w = f (z) з областю визначення D	і множиною
значень E	називається така залежність між змінними z	та w, при якій

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.02.2016261.32 Кб61Metodichni_vkazivki_do_individualnoyi_roboti.pdf
#
12.02.2016402.75 Кб3Metodichni_vkazivki_do_individualnoyi_roboti_dlya_studentiv_dennoyi_formi_navchannya.pdf
#
22.11.20191.74 Mб0Metodichni_vkazivki_new.rtf
#
11.11.2019527.36 Кб4metoditchka.doc
#
24.08.2019749.57 Кб0MetodPosibnik.doc
#
12.02.2016518.54 Кб3METODU09.pdf
#
15.11.2019792.06 Кб3metodu4ka_KR_2011.doc
#
18.11.2018518.14 Кб4Metoduchka_per.doc
#
06.12.2018888.83 Кб23Metodychka z Osnov ZED po tsinah-2006 (1).doc
#
23.08.2019300.54 Кб4metodychka%20kontrolni%20sotsia%27na%20polityka...doc
#
12.02.20163.26 Mб98METodychka.doc