MMM_Ekonometrika

Тема: 1 «Концептуальні засади математичного моделювання економіки»

1.1. Економетрика - порівняно молода галузь науки, яка відома під такою назвою з 1930 року. Тоді було засноване товариство, яке назвало себе так міжнародне товариство для розвитку економетричної теорії і її розвитку із статистикою і математикою.

1933р. – виходить журнал «Економетрія»

1910р. Павло Щербак (Львівський учений)

Економетрія вивчає методи кількісного вимірювання взаємозв’язків між соціально економічними процесами і явищами.

Засновниками економетрії вважаються Роберт Фріш, Ерік Шум-Петер, Ян Тінбертен. Ці вчені намагалися поєднати економічну теорію із математичними і статистичними методами. (Спочатку обмежувалися моделями попиту і пропозиції.)

Після ІІ Світової війни було побудовано економетричні моделі на макрорівні, в яких основна увага приділяється попиту, фінансовому стану, податкам та видаткам.

Особливі досягнення в розвитку економіки відбулися в останній 30 років.

-Вивчення та визначення мультиколінеарності.

-Специфікація помилок.

-Коопераційний аналіз параметрів моделі.

-Побудова моделі з фіктивними змінними і визначення лагових змінних.

-Побудова і аналіз моделей розподіленого лагу.

1.1Математична модель, основні етапи процесу моделювання

Моделювання економічних процесів - це частина сфери застосування математичних методів і моделей, аналізів, планування, організації та управління.

Математична модель, об’єкти явища чи процесу містить в собі 3 групи елементів:

1) Характеристику об’єкта, яку потрібно визначити.

Y= { y }

2) Характеристики зовнішніх щодо модельованого об’єкта умов, які змінюються.

Х= {xi}

3) Сукупність внутрішніх параметрів об’єкта

А= {a sj}

Множини умов параметрів Х і А можуть розглядатися як екзогенні величини, тобто такі, які

визначаються поза рамками людей. Величини Х називають ендогенними, тобто такі, які визначаються з допомогою людей.

Побудова будь-якої економічної моделі (ЕММ) незалежно від того на якому рівні і для яких даних вона будується здійснюється як послідовність певних етапів:

1.Постановка задачі

2.Специфікація моделі

3.Формування вхідної інформації

4.Оцінка параметрів моделей

5.Коригування моделі

6.Верифікація моделі

Основою для постановки задач є економічні закони розвитку суспільства , ґрунтоване вивчення реального процесу, аналіз і узагальнення емпіричного матеріалу.

І Задача може бути поставлена лише в тому випадку, коли сформульована мета, яку необхідно досягти.

ІІ Задача. Специфікація моделі - це аналогічна форма ЕММ

Використовуються всі види функцій, які можуть бути застосовані для визначення взаємозв’язків необхідно сформувати теоретичне уявлення і прийняття гіпотези у вигляді математичних рівнянь і нерівностей.

ІІІ Задача. На наступному етапі формуються масиви вхідної інформації згідно з метою і завданням дослідження.

До економічної інформації ставлять ряд вимог, основними з яких є вірогідність повного охоплення об’єкта, синхронність, одночасність та співставлення.

ІV Задача. На четвертому етапі оцінюють параметри ЕММ. Для економетричних моделей найчастіше використовують метод найменших квадратів.

V Задача. На 5 етапі при необхідності проводять котирування моделей, а саме можна змінити специфікацію моделей або використати інший метод для оцінки параметрів моделей.

VІ Задача. На останньому 6 етапі проводять аналіз достовірності моделі та приймають рішення на основі її інтерпретації.

1.2. Класифікація ЕММ

Розроблена велика кількість ЕММ, які відрізняються між собою певними ознаками:

1.3. Інформаційна база ЕММ (див. Ксерокс) 1.4. ЕММ на макрорівні

Макроекономічні моделі використовуються для можливості реалізації певних програм для планування укрупнених показників щоб вибрати політику ціноутворення систему оплати праці, з’ясувати перспективу розвитку економіки.

Тема: 2 «Принципи побудови економетричних моделей. Парна лінійна регресія»

2.1. Специфікація моделі.

Економетрична модель базується на єдності двох аспектів:

1)Якісного аналізу взаємозв’язків

2)емпіричної інформації

Аналіз взаємозв’язків знаходить своє відображення у специфікації моделі.

Специфікація моделей – це аналітична форма економетричної моделі . Вона складається з певного виду функції або функцій ,що використовують для побудови моделей та має ймовірнісні характеристики.

З досвіду економетричних досліджень та на підставі аналізу взаємозв’язків між економічними показниками можна навести функції які найчастіше використовуються :

1)у = а0 – а1х

2)У = а0 + х^а1

3)У = а0а1^х

4)У = а0 + а1/х

5)У = а0 + а1х + а2х^2

Вибір аналітичної форми економетричної моделі не може розглядатися без переліку конкретних факторів , тобто специфікація моделей передбачає також відбір факторів для моделювання . В процесі економетричного моделювання можна декілька разів повертатися до етапу специфікації уточнюючи перелік факторів та вид моделі. Коли вид залежності або її складові не відповідають реальним процесам то говорять про помилки специфікації .

Види помилок специфікації :

1)Ігнорування при побудові моделі істотного фактору

2)Введення в модель фактора який не є істотним для досліджуваного зв’язку

3)Використання невідповідних форм залежності

Питання про вибір найкращої форми залежності має базуватися на перевірці ступеня узгодженості виду функції з вхідними даними спостережень .

2.2 Загальний вигляд лінійної економетричної моделі . Оцінка параметрів моделі за допомогою методу найменших квадратів.(МНК)

Парні ,лінійні ,регресійні моделі встановлюють лінійну залежність між двома змінними . При цьому одна із змінних вважається залежною (у) та розглядається як функція від незалежної змінної (х). В загальному вигляді лінійну парну модель можна записати у виді :

У= а0 + а1х + u (2.1)

У– залежна зміна або показник

Х – незалежна зміна або фактор

а0 – а1 – параметри моделі

u – випадкові відхилення або залишки

Припустимо , що необхідно кількісно оцінити зв’язок між витратами на споживання та доходами сім’ї. Припустимо ,що цей зв’язок має вид 2.1 . Щоб оцінити параметри моделі 2.1 необхідно сформувати сукупність спостережень кожна одиниця якої буде характеризуватися витратами на споживання та доходи .

Припустимо також , що економетрична модель будується для тієї групи людей у якій із зростанням доходів зростають витрати на споживання . Зобразимо кожну пару спостережень у системі координат де величина витрат на споживання відкладається на осі (у) ,а доходу на осі (х) . Отримаємо кореляційне поле точок .

Рис 2.1 Кореляційне поле точок

На підставі гіпотези про лінійність зв’язку через кореляційне поле точок можна провести безліч прямих які будуть відрізнятися параметрами а0 і а1 .

Якщо витрати на споживання будуть описуватися прямою (І) ,то відхилення від фактичних значень від теоретичних будуть мати переважно знак мінус.

Якщо ці витрати будуть описуватися прямою (ІІІ) то відхилення фактичних значень до теоретичних будуть переважно додатними .

У випадку коли ці витрати будуть описуватися прямою (ІІ) то кількість від’ємних і додатних значень буде приблизно однакове .

Наявність серед відхилень переважно додатних або від’ємних значень ,свідчить про їх невипадковий характер ,тобто ця залежність неадекватно описує зв’язок між витратами на споживання і доходами сім’ї.

Необхідно провести пряму таким чином ,щоб сума квадратів відхилень була мінімальною . В цьому полягає суть методу найменших квадратів (МНК). Це означає ,що розрахункові значення максимально наближені до фактичних ,що є гарантією достовірності моделі . Розглянемо графічну інтерпретацію :

Рис 2.2 Регресійна модель

Формула 2.2

Зауважимо що (МНК) можна застосувати тоді коли залишки розподілені нормально тобто їх середнє значення дорівнює нулю і дисперсія є константою .

Необхідною умовою існування мінімуму є рівність нулю часткових похідних функціонала Q по а0 і а1 .

Формула 2.3

Розкриємо душки і отримаємо систему нормальних рівнянь .

Формула 2.4-2.5

Розв’язавши таку систему відносну невідомих оцінок а0 і а1 ,отримаємо єдиний розв’язок .

Зазначимо ,що регресійна пряма проходить через середню точку

2.3 Передумови застосування (МНК ) (ксерокс)

2.4 Коефіцієнти кореляції і детермінації.

Коефіцієнт кореляції характеризує ступінь щільності та лінійної залежності між випадковими величинами (х) та (у) . Коефіцієнт кореляції можна визначити за формулою :

Формула 2.6

Коли коефіцієнт кориляці по модулю прямує до одиниці то це свідчить про наявність тісного або щільного зв’язку.

Зазначимо , що параметр а1 має такий самий знак як коефіцієнт кореляції .

Частина регресії яку можна пояснити через регресійний зв’язок називається коефіцієнтом детермінації. Коефіцієнти детермінації визначають за формулою :

Формула 2.7

Для лінійних моделей має місце спів відношення

Формула 2.8

14.10.2014

Коректність побудови економетричної моделі та перевірка значущості оцінки параметрів моделі та моделей загалом.

Питання 2.5.1. Поняття про ступені вільності

Розглянемо рівняння Сума(уі-ус)2 = Сума(уті-ус)2+Сума(уі – уті)2

Кожна сума квадратів пов’язана з числом, яке називають ступенем вільності. Це число показує, скільки незалежних лементів інформації, що утворилась з елементів у1, у2…ун потрібно для розрахунку потрібної суми. У статистиці ступенем вільності називають різницю між кількістю різних дослідів і кількістю констант, які отримано завдяки цим дослідам незалежно одна від одної. Ступені вільності відповідних сум подано у таб. 2.1

Таб. 2.1.

Питання 2.5.2. F критерій Фішера

В багатьох випадках не можна зробити однозначний висновок про щільність зв’язку між фактором та показником.

R2 = 0,65

Коли воно так? Дати відповідь на це питання може критерій Фішера, або F критерій.

Перевірка моделі на адекватність складається з декількох етапів:

1.Розрахуємо величину F = (Сума(уті – ус)2/k1)/( Сума(уі – уті)2/k2), Де k1 = m, k2 = n-m-1 – ступені вільності.

2.Задаємо рівень значущості Альфа. Наприклад, якщо ми вважаємо, що допустима помилка становить 0,05, або 5%, то це означає, що можна помилитись не більше, ніж у 5% випадків, а в 95% наші висновки будуть правильні.

3.За статистичними таблицями F розподілу з k1 і k2 ступенями вільності при рівні ймовірності p, який = 1-Альфа, знаходимо значення Fтабл.

4.Якщо F>Fтабл., то кажуть, що побудована регресійна модель адекватна статистичним даним генеральної сукупності.

Питання 2.5.3. Значущість коефіцієнта кореляції та детермінації

Коефіцієнт кореляції, який визначено за вибірковими даними, є точковою оцінкою загального коефіцієнта кореляції і в свою чергу є випадковою величиною. Тому значущість коефіцієнта кореляції вимагає перевірки. Ця перевірка базується на Ткрит. або критерії Стюдента

T = (rxy*Корінь(n-m-1))/Корінь(1-r2xy)

Для заданого рівня ймовірності та з (n-m-1) ступенем вільності знаходять

табличне значення Ттабл.. Якщо значення |T| > Tтабл., то можна зробити висновок про значущість коефіцієнта кореляції, тобто наявність зв’язку між x

та y.

Запишемо альтернативну формулу для Fкрит.:

F = R2/(1-R2) * (n-m-1)/m

Згідно з цією формулою можна перевірити статистичну значущість коефіцієнта детермінації і моделі загалом.

Питання 2.5.4. Перевірка значущості оцінок економетричної моделі та надійні інтервали

(Див. ксерокс.)