3.1.1.7 Поліноміальна регресія (2d-чохол)

Почнемо з нашого знайомого, наприклад, і пояснити це в деталях. Тоді ми можемо уявити загальне правило.

Приклад 3.1.1.2 '' (2D-чохол) Знову ж таки, ми вважаємо, наступні вимірювання:

z₁ = z (x₁,y₁) = z (1, 0) = 0,1, z₂ = z(x₂,y₂) = z (4, 0) = 0,2,

z₃ = z (x₃,y₃) = z (1, 1) = -0,1, z₄ = z(x₄,y₄) = z (4, 1) = -0,2.

Ми припускаємо, що структура даних випливає z(x,y) = a₁₀ • х + a₀₁ • у +a₀₀. Двовимірний многочлен в цій формі має бути визначено. Очевидно, що це є многочлен двовимірний першого ступеня. Основна ідея цього наближення слід підхід до 1D-випадку. Ми шукаємо параметрів a₁₀, a₀₁, a₀₀, які призводять до

(*.1)

Використання приватні похідні за цими параметрами, ми отримуємо:

При заданих значень з нашого набору даних, ми отримаємо:

(* 0,2)

і функціональна залежність визначається як площина або двовимірної полінома першого ступеня виду z(x,y) = 0x-0.3y+0.15(див.рис. 3.5).

Загальне правило для двовимірної полиномиальної регресії виглядає наступним чином:

Нехай наступні дані бути надана: z₁ = z (x₁,y₁), ..., z_N = z (x_N,y_N). Функціональне співвідношення виду до

шукається таким чином, що наступне необхідна умова виконується:

Рис.3.5

Ця умова приводить до

і після деякого спрощення (K + 1) (L + 1) рівнянь в наступному

LSE:

(3-11)

Вирішення цієї LSE параметрів призводить до a_kl, k = 0 ... K, l = 0 ... L.

Точність полиномиальной апроксимації дані можуть бути Де-

описувана

(3-11′)

з параметрами, які вирішити (3-11). Для перевірки моделі це значення має бути в порівнянні з Zmax - Zmin.

2

Примітка: У разі N = (M + 1) (L + 1), поліном виходить, що виконує вимогу інтерполяції. Матриця LSE (3-11) може бути нерегулярним. Таким чином, деякі необхідні умови повинні бути доведено, перш ніж намагатися вирішити LSE. Навіть у випадку регулярної матриці може бути чисельне проблеми, наприклад, для великих N.

Після 1D-випадку, припущення про полиномиальной структурі даних повинна бути відхилена, якщо точність порівнянна з z_max - z_min. Більш складні функціональні структури представлені в п. 3.2.1 і гол. 4.

3.1.1.8 В-сплайни (1d-випадку)

Позначення "B-сплайни" сходить до французьким математиком Безьє. Основна ідея підходу виходить з алгоритму, заснованого на алгоритмі Катестеляу повторної лінійної інтерполяції. Цей метод успішно використовується в сучасних CAD-інструментів. B-сплайни добре підходить для додатків, які повинні бути виконані без урахування координат. B-сплайни і B-поверхні параметрически визначений.

Так звані B-криві визначають за допомогою одного параметра, т. Більш загальні B-поверхні відповідають інтерполяції з двома параметрами, і та ін. Зміна системи координат (масштабування осей та інших афінних перетворень) НЕ вплив основний алгоритм або зміна вимірювальної сітки в тривимірному просторі E³.

Для плоских кривих в Е² координату у слід опустити в наступних рівняннях.

Сформулюємо загальне правило для побудови B-кривих наступним чином:

Нехай ,буде N+1 точок даних ібуде параметром. Після лінійної інтерполяції для N-разів з фіксованим параметром t для

B результаті отримана точка є точкою на B-кривійступеня N.

Примітка: Пам'ятайте, що нумерація точок починається з нуля. Отже, ми маємо N+1 точок даних. Співвідношення (3-12) відноситься до всіх координат даних, а саме, х, у, z (див. Приклад 3.1.1.4).

B-крива є параметричною і відповідає точцідляt = 0 і точці дляt = 1. Ця крива звивається поміж іншими точками (рис. 3.6), що пояснює той факт, що інтерполяцію з B-сплайнами називають інтерполяцією кінцевої точки. Полігон, побудований на основі точок називається полігоном Безьє або контрольним полігоном В-кривої .

Рис. 3.6 B-крива за даними прикладу 3.1.1.4

Приклад 3.1.1.4 (1D- Вигляд) дані такі часові виміри:

За умовою (3-12) це відповідає

Отже, як параметрична крива, що описує цю структуру з фіксованими кінцевими точками, виглядає насправді? Тут N = 3. Таким чином, потрібно виконати три кроки інтерполяції для отримання остаточної B-кривої з (3-12). Перший крок призводить до

(*.1)

Це три додаткових точки, що належать до ліній ,,і поділяють їх на однакові частини, залежно від t. На другому кроці ми отримуємо

(*.2)

Ці дві точки лежать на лініях ,і поділяють їх на рівні частини в залежності від t. На останньому кроці, параметрична В-крива визначається

(*.3)

І зображується, як показано на рис. 3.6.

Просте виконання і незалежність систем координат є перевагами цього підходу. Грубий підхід можна покращити згладженням, звивистістю лінії, використовуючи B-сплайни. Крім того, деякі підходи - полігони з однаковими кінцевими точками і такою ж кількістю точок - слід порівняти на основі їх аналітичної параметричної форми заданої (3-12). Наприклад, таким чином можна побудувати полігон (посередній). Одним незначним недоліком може бути нетрадиційне параметричне представлення B-сплайнів.