Выводы.

1. Оптимальная производственная программа имеет вид:

х1* = 36, х2* = 0, х3* = 26, х4* = 0 или Х* = (36, 0, 26, 0).

2. Максимальная прибыль равна Z(max) = 2096 денежных единиц.

2. Использование ресурсов:

Первый и третий ресурсы используются полностью (х5* = 0, х7* = 0),

а второй ресурс имеет остаток х6* = 4 единицы.

2. При выполнении производственной программы ресурсы первого и третьего вида расходуются полностью, т.е. образуют “узкие места производства”.

1.4. Проверка полученного решения

Укажем обращенный базис Q^-1, соответствующий оптимальному базисному решению, и проверим выполнение соотношения

Q^-1 *В =H

Обращенный базис Q^-1, соответствующий оптимальной производственной программе, содержится в последней симплексной таблице на месте единичной матрицы в первой симплексной таблице:

Обращенный базис Q^-1

2/3 0 -1/2

Q^-1= 0 1 -1/2

- 1/3 0 1/2

х₅ х₆ х₇

Проверим выполнение соотношения:

2/3*186 + 0*102 - 1/2*196 26

Q^-1 *B= 0*186 + 1*102 – 1/2*196 = 4 =H

-1/3*186 + 0*102 + 1/2*196 36

Соотношение выполняется, следовательно, найден верный оптимальный план производства.

1.5. Графическое решение линейной производственной задачи с двумя переменными

Составим математическую модель задачи оптимизации производственной программы с двумя оставшимися переменными (х1 , х3) и решим ее графически.

Воспользуемся тем, что в оптимальной производственной программе х2* = 0, х4* = 0, т.е. продукция второго и четвертого вида не производится. Предположим, что второй и четвертый виды продукции мы не намеревались выпускать с самого начала.

Рассмотрим задачу с оставшимися двумя переменными, сохранив их нумерацию.

Исходные данные примут вид:

Вектор удельной прибыли

Нормы затрат различных ресурсов на производство единицы каждого вида продукции	38	28		Вектор объемов ресурсов
	3	3	186
	2	1	102
	4	2	196

Математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом:

Найти производственную программу Х (х1, х3),

максимизирующую прибыль Z = 38x₁ + 28x₃ → max,

при условии ограниченности

имеющихся ресурсов 3х1 + 3х3 ≤ 186

2х1 + х3 ≤ 102

4х1 + 2х3 ≤ 196

где по смыслу задачи х1 ≥ 0, х3 ≥ 0

Полученную линейную производственную задачу с двумя переменными можно решить графически.

Построим систему координат, где на горизонтальной оси будем откладывать значения х1, а на вертикальной – значения х3, причем нас интересует только правая верхняя полуплоскость данной системы, поскольку по условию задачи х1 ≥ 0, х3 ≥ 0.

Каждое линейное неравенство системы, выражающей условие ограниченности имеющихся ресурсов, на графике определяет полуплоскость допустимых значений переменных этого неравенства вместе с ограничивающей данную полуплоскость прямой, множество точек которой является решением соответствующего неравенству линейного уравнения:

3х1 + 3х3 = 186 - ограничивающая прямая I

2х1 + х3 = 102 - ограничивающая прямая II

4х1 + 2х3 = 196 - ограничивающая прямая III

Вся система линейных неравенств определяет общую часть таких полуплоскостей, представляющую собой выпуклый четырехугольник множества допустимых решений данной системы неравенств OQRS (закрашен серым).

Построим вектор-градиент grad Z = (0, 0); (38, 28), указывающий направление наискорейшего возрастания функции Z.

Линии уровня функции Z перпендикулярны вектору-градиенту grad Z и образуют семейство параллельных прямых.

Перемещаем линию уровня функции Z в направлении вектора-градиента grad Z, не выходя при этом за пределы допустимого множества (четырехугольника OQRS), до крайней точки допустимого множества.

Определяем, что максимального значения в области допустимого множества функция Z достигнет в точке R, которая является пересечением I и III прямых. Следовательно, координаты этой точки определяют оптимальный план производства, и мы можем их найти, решив систему уравнений:

3х1 + 3х3 = 186

4х1 + 2х3 = 196

1). Выразим переменную х3 через второе уравнение системы:

х3 = 196 – 4х1 = 98 – 2х1

2

2). Подставим полученное выражение 3). Найдем 4). Найдем максимальную

в 1-е уравнение и найдем значение х1: значение х3: прибыль:

3х1 + 3 (98 – 2х1) = 186 108 + 3х3 = 186

3х1 + 294 – 6х1 = 186 3х3 = 78 Z = 38х1 + 28х3

- 3х1 = - 108

х1* = 36 х3* = 26 Z(max) = 38*36 + 28*26 = 2096