- •Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
- •Ответы и указания к упражнениям
|
|
|
|
|
dx |
|
= |
|
dy |
|
= |
dz |
= d (x + y + z) . |
|
|||
|
|
|
|
|
x + z |
|
y + z |
x + y |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x + y + z) |
|
||||||||
Далее выберем k1 = −k2 =1, k3 = 0 , тогда |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
dx |
= |
dy |
|
= |
|
dz |
|
= |
|
|
|
|
1dx −1dy +0dz |
= d (x − y) . |
||
|
x + z |
y + z |
x + y |
|
1(x + z) −1( y + z) +0(x + y) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
x − y |
Сравнивая правые части полученных двух равенств, приходим к интегрируемому уравнению:
d (x + y + z) = d (x − y) |
. Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2(x + y + z) |
x − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ln |
|
x + y + z |
|
= ln |
|
x − y |
|
+C x + y + z = C (x − y)2 , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
= |
x + y + z |
. Зная первый интеграл, выразим z : |
||||||||
следовательно, |
один первый интеграл найден: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(x − y)2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z = C (x − y)2 − x − y и подставим его в первое уравнение системы |
|
dx |
= |
dy |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + z |
y + z |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(C (x − y)2 − x)dx = (C (x − y)2 − y)dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
C |
(x − y)2 d (x − y) + d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x − y)3 |
|
|
y2 |
|
− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
C |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
= C |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Далее, обратно заменяя первый интеграл C |
= |
x + y + z |
, окончательно записываем еще один не- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(x − y)2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
зависимый первый интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+(x + y + z)(x − y) . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Общее решение принимает неявный вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x + y + z |
|
|
y |
2 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(x − y)(x + y + z) |
= 0 . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x − y) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
1.Дайте определение первого интеграла. От чего зависит общее количество независимых первых интегралов уравнения (1)?
2.В каком случае сама неизвестная функция, входящая в уравнение (1), будет являться одним из первых интегралов? Приведите пример.
3.Для некоторого дифференциального уравнения вида (1) относительно функции u(x, y, z) из-
вестны два независимых первых интеграла ϕ1(x, y, z, u) и ϕ2 (x, y, z, u) . Достаточно ли этого, чтобы записать общее решение данного уравнения?
4.Найти общее решение и указать какое-либо частное решение уравнения
а) y2 zx = x2 z y ; |
б) ex zx + y3z y = yex ; |
в) 2 y4 zx − xyz y = x 1 + z2 ; |
г) xux + yuy + zuz = 0 . |
5.Найти общее решение уравнения
1 ∂z |
+ xz |
∂z |
= xe y . |
|||
|
|
|
|
|||
2z ∂x |
∂y |
|||||
|
|
6*. Найти общее решение уравнения
( y + z)ux +(x + z)uy +(x + y)uz = u .