y = C1ex +C2 e−4 x + 261 (5sinx −cos x)ex

является общим решением исходного уравнения.

Вопросы и упражнения для самостоятельной работы

1.Найти общие решения уравнений:

2.Найти решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

3.Найти общие решения уравнений:

4.Найти решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

5.Изменение количества товара на рынке пропорционально разнице между предложением и спросом: q′= 0,48(s −d ) , а изменение цены пропорционально отклонению количества товара от ба-

зового уровня q = 50 : q′ = −0,1(q −50) . Функции спроса и предложения имеют вид: s =10 +20 p , d = 70 −10 p . Требуется:

а) найти в общем виде p = p(t) и q = q(t). С каким периодом будет колебаться цена? При каких начальных значениях цены останутся неизменными?

б) найти p = p(t) и q = q(t), если в начальный момент p(0) =1,5 , q(0) = 44 . Найти значения p и q в момент времени t1 = 0,1. Найти моменты времени, когда p и q принимают экстремальные значения; вычислить значения p и q для этих моментов времени.

§5. Уравнения, допускающие понижение порядка

I.Автономные уравнения

Уравнения вида

F( y, y′, y′′,..., y(n) ) = 0 ,

не содержащие переменную x , называются автономными и допускают понижение порядка, если принять за новую переменную неизвестную функцию y , а за новую функцию – p( y) = y′.

II. Уравнения, не содержащие y(x)

F(x, y′, y′′,..., y(n) ) = 0 .

Порядок уравнения в данном случае легко понижается, если выбрать в качестве новой функции

IV. Уравнения, приводимые к дивергентному типу

Уравнение вида

dxd (F(x, y, y′,..., y(n) )= 0

называетсяуравнениемдивергентноготипа, интегрированиекоторого

F(x, y, y′,..., y(n) ) = C

приводит к понижению порядка.

П ри ме р ы

1.Решить уравнение yy′′+ (y′)2 − yy′ = 0.

же удовлетворяет уравнению, т.е. y = C , где C − произвольная постоянная, является еще одним частным решением уравнения (заметим, что при C = 0 y(x) = 0 ).

Полученное уравнение p'+ 1y p =1 было уже рассмотрено нами в § 3 пример 2 (замечание 2); его

решение имеет вид p = y ln y +Cy , где C − произвольная постоянная. Возвращаясь к исходной переменной x и функции y , имеем

y′ = y ln y +Cy .

Действуядалее методом разделения переменных, получаем ответ y(x) = C1 exp(C2ex ) ,

где C1 и C2 − произвольные постоянные.

В итоге общее решение уравнения записывается в виде

y(x) = C1 exp(C2ex ) ; y(x) = C3 .

2.Решить уравнение y(4) + y′′′ = x.

Ре ш е н и е . Данное уравнение не содержит y и производных y′, y′′, следовательно, производим замену функции p = y′′′ (согласно п. II). Получаем линейное неоднородное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами

p′+ p = x ,

решение которого имеет вид p = Ce−x −1 + x , где C − произвольная константа (убедитесь в этом).

Возвращаясь к первоначальной функции, получим

y′′′ = Ce−x −1 + x ,

трехкратное интегрирование которого приводит к окончательному ответу

y = C1e−x + x4 − x3 +C2 x2 +C3x +C4 , 4! 3!

где Ck − произвольные постоянные ( k =1,4 ).

3.Решить уравнение yy′′+ 1 −x2x2 (y′)2 = 0.

Решение. Проверим однородность уравнения по y, y′ и y′′:

yy′ = Cxx−1 .

Данное уравнение также легко интегрируется. В итоге записываем окончательный ответ

Ре ш е н и е . К данному уравнению можно применить методики пп. I, II, т.к. уравнение является автономным и не содержит функцию y . Мы же решим данное уравнение IV способом, т.е. при-

ведем его к дивергентному виду. Для этого разделим уравнение на y′ ≠ 0 , предварительно убедившись, что y′ = 0 y(x) = C является частным решением. В итоге получим

yy′′′ = y′,

которое оказывается дивергентного типа, т.к. допускает следующую запись:

(ln y′)′ = (y)′.

Проинтегрируем полученное уравнение:

ln y′ = y +C,

и после тождественных преобразований и переобозначений произвольной постоянной C получим y′ = Ce y , интегрирование которого методом разделения переменных приводит к ответу

y(x) = −ln C1x +C2 ,

где C1 и C2 − произвольные постоянные. В окончательный ответ следует включить все найденные серии частных решений:

y(x) = −ln C1x +C2 , y(x) = C3 .

Вопросы и упражнения для самостоятельной работы

1.Верно ли, что при параллельном переносе вдоль оси Ox интегральная кривая автономного уравнения переходит в интегральную кривую того же уравнения? Ответ поясните.

2.Всегда ли однородное по y, y′,..., y(n) уравнение имеет частное решение y(x) = 0 ? Поче-

му?

4.Решить автономные уравнения:

5.Решить уравнения, не содержащие y :

6.Решить однородные по y, y′,..., y(n) уравнения:

в) x2 yy′′ = (y − xy′)2 .

7.Решить уравнения путем приведения к дивергентному виду:

§ 6. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Система дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций y1(x),..., yn (x) вида

где aki − заданные числа ( k,i =1, n ), а q1(x),..., qn (x) − заданные функции, называется системой ли-

нейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При qk (x) = 0 для всех

k =1, n говорят об однородной системе, в противном случае данную систему называют неоднород-

ной.

Метод подстановки

Путем исключения неизвестных функций линейную систему дифференциальных уравнений, вообще говоря, всегда можно свести к поэтапному интегрированию одного или нескольких линейных дифференциальных уравнений более высокого порядка.

П ри ме р ы

1. Найти общие решения следующих систем линейных дифференциальных уравнений (однородной (а) и неоднородной (б):

Ре ш е н и е .

а) Дифференцируя первое уравнение системы, получаем: y'' = −y'+z' .

Исключаем из системы переменную z . Имеем: z = y′+ y , z′ = 4 y − y′− y , так что y′′ = −y′+ 4 y − y′− y . В результате получаем однородное линейное уравнение второго порядка

y′′+ 2 y′−3y = 0 .

Его общее решение имеет вид y = C1ex + C2 e−3x . Теперь находим z :

z = y′+ y = C1ex − 3C2 e−3x + C1ex + C2 e−3x = 2C1ex − 2C2 e−3x .

б) Дифференцируя первое уравнение, с учетом обоих уравнений находим y′′ = 5y′− 2z′. Исключая из системы переменную z , получаем линейное неоднородное уравнение второго порядка

y′′+ y = 2sin x .

Его общее решение имеет вид y = C1sin x +C2 cos x − x cos x . Теперь находим z :

z = −0,5y′+ 2,5y ;

z= (2,5C1 + 0,5C2 −0,5x) sin x −(0,5C1 − 2,5C2 + 2,5x −0,5) cos x .

2.Найти общее решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

и записать соответствующие частные решения:

а) случай корня λ кратности 1. Ему соответствует лишь один собственный вектор V1 , следова-

тельно, частное решение, отвечающее данному корню λ , имеет вид C1V1eλx , где C1 – произ-

вольная постоянная (пример 3);

б) случай корня λ кратности k . Ему соответствует ровно k линейно независимых собственных векторов V1,K,Vk . Тогда соответствующее частное решение, отвечающее данному кор-

ню λ , имеет вид

C1V1eλx + C2V2eλx +... + CkVk eλx ,

где C1,C2 ,K,Ck – произвольные постоянные (пример 4).

в)* случай корня λ кратности k , но ему соответствует m (m < k) линейно независимых собственных векторов V1,K,Vm . В этом случае решение, отвечающее данному λ , необходимо искать в специальном виде:

нородную систему (пример 5).

3. В окончательный ответ для общего решения однородной системы Y0 необходимо записать сумму найденных частных решений, соответствующих каждому λk (согласно пункту 2).

П ри ме р ы

3.Найти решение однородной системы линейных дифференциальных уравнений

Ре ш е н и е :

а) матрица данной системы имеет вид

1.Составим характеристическое уравнение

решением которого являются собственные числа λ = ±5 .

2.Найдем собственные векторы, отвечающие найденным собственным значениям. Для λ = 5 получаем следующую систему:

3.Общим решением однородной системы а) является

1. Вычисление собственных значений приводит к λ2 +9 = 0 , λ = ±3i .

2. Возникновение пары комплексно-сопряженных корней всегда упрощает дальнейшее нахождение соответствующего им решения. В этом случае достаточно найти собственный вектор, отвечающий какому-либо одному из найденных λ (в нашем случае, например, для λ = 3i ), и в полученном решении выделить реальную и мнимую части, которые и будут соответство-

3.Общее решение системы б) приобретает следующий вид:

4. Решить однородную систему линейных уравнений из примера 2:

x′(t) = 4x − y − z,

y′(t) = x + 2 y − z,z′(t) = x − y + 2z.

Ре ш е н и е . Найдем собственные значения матрицы системы как решение характеристического уравнения

Разложим определитель левой части уравнения по первой строке и после несложных упрощений получим (λ −3)(−λ2 +5λ −6) = 0 . Первый сомножитель дает корень λ = 3 , второй сомножитель – λ = 2

и λ = 3 . Таким образом, мы получили два различных собственных значения, причем корень λ = 3 встречается два раза, следовательно, его кратность k = 2 . Перейдем к определению собственных векторов.

Рассмотрим случай λ = 2 кратности 1. Соответствующая система для собственного вектора V

Здесь мы выделили один из возможных базисных миноров (определитель максимального порядка, не равный нулю). Таким образом, переменная v1 становится свободной. Положим v1 =1 , тогда остав-

1

шиеся компоненты собственного вектора легко находятся: v2 = v3 =1 или V1 = 1 , что соответствует

1

1 2t

частному решению C1 1 e .

1

Перейдем к случаю λ = 3 кратности k = 2 . Действуя аналогично предыдущему случаю, получим следующую систему:

Заметим, что двойная кратность корня λ = 3 в данном случае приводит к появлению двух свободных переменных v2 и v3 , не вошедших в выделенный базисный минор. Выберем сначала v2 =1, v3 = 0 ,

симых собственных векторов совпадает с кратностью корня k = m (случай 2б), следовательно, част-

Общим решением системы будет являться сумма полученных частных решений

З а м е ч а н и е . Если в полученном ответе произвести переобозначение констант C1 → C1,C2 → C3,C3 → C2 −C3 , то новая форма записи ответа в точности совпадет с полу-

ченной ранее в примере 2 частью решения, отвечающего однородной системе (покажите это).

5. Решитьоднородную систему дифференциальных уравнений

x′(t) = x + z,

y′(t) = y + 2z,z′(t) = 2x − y +3z.

Ре ш е н и е . Составим характеристическое уравнение для определения собственных значе-