откуда y = x ln x +Cx .

З а м е ч а н и е 2. Исследуемое уравнение (x + y)dx − xdy = 0 можно было бы решать методом вариации постоянной. Действительно, разделим уравнение на dx и, учитывая, что dydx = y′,

получим обыкновенное линейное неоднородное уравнение первого порядка: y′− 1x y =1 .

4.Решить уравнение tg(x2 + y2 )dx + x2dx + xydy = 0 .

Ре ш е н и е Данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах (убедитесь

вэтом). Для нахождения интегрирующего множителя µ(x, y) необходимо аналогично примеру 1.

преобразовать переменные. Заметим, что последние два слагаемых могут быть сгруппированы следующим образом:

где C − произвольная постоянная.

Вопросы и упражнения для самостоятельной работы

1. Является ли уравнение в полных дифференциалах обыкновенным дифференциальным уравнением? Ответ поясните.

2.Что называют интегрирующим множителем уравнения? Может ли у какого-либо уравнения существовать два различных интегрирующих множителя? Ответ поясните.

3.Решить уравнения в полных дифференциалах.

a)e−ydx − (2 y + xe−y )dy = 0;

б) (1 + y2 sin(2x))dx − 2 y cos2 x dy = 0;

в) 3x2 (1 + ln y)dx = 2 y − xy3 dy ;

г) xy dx + (y3 + ln x)dy = 0.

4.Найти интегрирующий множитель и решить уравнения

а) (x2 + y2 + x)dx + ydy = 0; б) y2dx − (xy + x3 )dy = 0;

г) (x2 −sin2 y)dx + x sin(2 y)dy = 0.

§ 4. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Функции y1 = ϕ1(x) , y2 = ϕ2 (x) , …, yn = ϕn (x) называются линейно независимыми, если тождественное равенство

α1 y1 + α2 y2 +... + αn yn ≡ 0

с постоянными α1 , α2 , …, αn возможно только при α1 = α2 = ... = αn = 0 . В противном случае функции y1 , y2 , …, yn называются линейно зависимыми. Если функции y1 , y2 , …, yn линейно за-

висимы, то их определитель Вронского

то линейное уравнение имеет на этом отрезке единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям

y(x0 ) = y0 , y′(x0 ) = y0′ , …, y(n −1) (x0 ) = y0(n −1) ,

где x0 (a;b) .

Пусть y1 , y2 , …, yn набор линейно независимых решений (фундаментальный набор решений) однородного уравнения

y(n) + a1(x) y(n −1)a2 (x) y(n −2) +... + an (x) y = 0

с непрерывными коэффициентами. Тогда его общее решение имеет вид y = C1 y1 +C2 y2 +... +Cn yn .

Определитель Вронского для фундаментального набора решений не обращается в ноль ни в одной точке.

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид y = y0 + y , где y – некоторое его частное решение, а y0 – общее решение соответствующего однородного уравнения. Если известен фундаментальный набор решений y1 , y2 , …, yn однородного уравнения, частное решение y может быть найдено методом вариации постоянных в виде

y = C1(x) y1 +C2 (x) y2 +... +Cn (x) yn .

Функции Ci (x) , i =1, K, n определяются из системы уравнений

П ри ме р ы

1. Найти общее решение уравнения y′′+ tgx y′= sin 2x , если известно его частное решение

y = −x − sin22x .

Р е ш е н и е . Сначала найдем общее решение однородного уравнения y′′+ tgx y′= 0 . Применим подстановку y′ = p(x) . Так как y′′= p′ , то уравнение (при p ≠ 0 ) принимает вид

Интегрируя, получаем

∫dpp = −∫sincosxdxx ,

идалее, ln p = ln cosx +const . Пусть p =cosx . Это означает, что y′ = cos x . Тогда y1 = sin x – частное

решение рассматриваемого однородного уравнения. Случай p = 0 дает второе частное решение y2 =1.

Он не равен тождественно нулю (более того, ни в одной точке из области определения не обращается в ноль). Значит, найденные решения линейно независимы. Поэтому

y0 = C1sinx +C2

общее решение однородного уравнения.

Чтобы найти частное решение исходного уравнения, применим метод вариации постоянных. Ищем частное решение в виде

y = C1 (x)sin x +C2 (x) .

Функции C1(x) и C2 (x) определяются из системы уравнений

По правилу Крамера получаем:

Интегрируя, находим C1 = −2 cos x и C2 = −x +0,5sin 2x . Формируем частное решение: y = −2 cos x sin x +(−x +0,5sin 2x) = −x −0,5sin 2x .

Общее решение исходного уравнения имеет вид y = y + y0 , т.е. y = −x −0,5sin 2x +C1 sinx +C2 .

Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть

y′′+ px′+ qy = 0

однородное уравнение с постоянными коэффициентами, а D = p2 −4q – дискриминант квадратного уравнения

λ2 + pλ + q = 0 ,

называемого характеристическим. Общее решение y записывается в одном из следующих трех видов.

I.D > 0 , характеристическое уравнение имеет два действительных корня λ1 ≠ λ2 :

y= C1eλ1 x +C2eλ2 x .

II.D = 0, характеристическое уравнение имеет один кратный корень λ :

y = C1eλx +C2 xeλx .

III. D < 0 , характеристическое уравнение два комплексных сопряженных корня λ1 = α+iβ,

λ2 = α−iβ :

y = C1eαxsinβx +C2 eαx cosβx .

П ри ме р ы

2. Найти общие решения уравнений, в задаче в) указать, кроме того, частное решение, удовле-

Ре ш е н и е .

б) Характеристическое уравнение λ2 −2λ +1 = 0 имеет один кратный корень λ =1 . Общее реше-

ние:

y = C1ex +C2 xex .

Подстановка начальных значений в выражения для y и y′ приводит к уравнениям:

C2 = 0,

2C1 +3C2 = 2 ,

откуда C2 = 0 , C1 =1 . Искомое частное решение: y = e3x sin 2x .

Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Для решения неоднородного уравнения

y′′+ p y′+ qy = f (x)

вобщем случае применяется метод вариации постоянных.

Вследующих случаях частное решение неоднородного уравнения может быть найдено методом неопределенных коэффициентов.

I.f (x) = eax P(x) , где P(x) – многочлен. Если a не является корнем характеристического

уравнения, частное решение ищется в виде ϕ(x) = eaxQ(x) , где Q(x) – многочлен с неопределенными коэффициентами той же степени, что и P(x) . Если a – корень характеристического уравнения

кратности k , частное решение ищется в виде ϕ(x) = xk eaxQ(x) .

II. f (x) = eax (P(x) cos bx +Q(x) sin bx) , где P(x) и Q(x) – многочлены. Если a +bi не является корнем характеристического уравнения, частное решение ищется в виде

ϕ(x) = eax (R(x) cos bx + S(x) sin bx) ,

где R(x) и S(x) – многочлены, степень которых равна наибольшей из степеней многочленов P(x) и Q(x) . Если a + bi – корень характеристического уравнения кратности k , частное решение ищется в виде

ϕ(x) = xk eax (R(x) cos bx + S(x) sin bx) .

П ри ме р ы

3. Найти общие решения уравнений:

После подстановки в исходное уравнение получаем

2 A +5(2 Ax + B) + 4( Ax2 + Bx +C) ≡ 8x2 −4x −14 ,

или

4 Ax2 +(10A + 4B)x +(2 A +5B + 4C) ≡ 8x2 −4x −14 .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x :

4 A =8,

10A +4B = −4,

2 A +5B +4C = −14.

Отсюда A = 2 , B = −6 , C = 3 . Получаем частное решение ϕ(x) = 2x2 −6x +3 . Общее решение исходного уравнения имеет вид:

y = 2x2 −6x +3 +C1e−x +C3e−4 x ;

б) характеристическое уравнение λ2 −λ = 0 имеет корни λ1 = 0 , λ2 =1 . Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

y = C1 +C2ex .

Правая часть исходного уравнения f (x) = 2x – многочлен первой степени, имеющий корень x = 0 ,

совпадающий с одним из корней характеристического уравнения. Частное решение будем искать в виде ϕ(x) = x( Ax + B) . Имеем

Ре ш е н и е :

а) характеристическое уравнение λ2 +4λ +20 = 0 имеет корни λ1 = −2 + 4i , λ2 = −2 −4i . Следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения записывается в виде

y = (C1sin 4x +C2 cos 4x)e−2 x .

Ищем частное решение исходного уравнения в виде ϕ(x) = Ae−x . После подстановки в уравне-

y = C1e−x + C2 e3x .

Частное решение исходного уравнения будем искать в виде ϕ(x) = Axe−x . После подстановки в уравнение ϕ′ = A(1 − x)e−x , ϕ′′ = −A(2 − x)e−x получаем

− A(2 − x)e−x − 2 A(1 − x)e−x −3Axe−x ≡ 4e−x ,

откуда −4 A = 4 и A = −1 . Таким образом, ϕ(x) = −xe−x . Общее решение имеет вид y = −xe−x + C1e−x + C2 e3x ;

в) характеристическое уравнение λ2 −4λ +4 = 0 имеет кратный корень λ = 2 . Поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

y = (C1 +C2 x)e2 x .

Частное решение исходного уравнения будем искать в виде ϕ(x) = Ax2 e2 x . После подстановки в уравнение

ϕ′(x) = A(2 + 2x)xe2 x ; ϕ′′(x) = (4 Ax2 +8Ax + 2 A)e2 x

получаем

(4 Ax2 +8Ax + 2 A)e2 x −4 A(2 + 2x)xe2 x + 4 Ax2 e2 x = e2 x ,

откуда 2 A =1 и A = 0,5 . Таким образом, ϕ(x) = 0,5x2 e2 x . общее решение уравнения имеет вид

y= (C1 +C2 x +0,5x2 )e2 x .

5.Найти общие решения уравнений:

в) y′′+ 3y′− 4 y = ex cos x .

Ре ш е н и е :

а) характеристическое уравнение λ2 −2λ +2 = 0 имеет корни λ1 =1 +i , λ2 =1 −i . Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения записывается в виде

y = (C1 sin x +C2 cos x)ex .

Частное решение исходного уравнения будем искать в виде ϕ(x) = Asin3x + Bcos3x . После под-

и приведения подобных получаем:

(−7 A +6B) sin 3x −(6A + 7B) cos 3x = −85cos 3x .

б) характеристическое уравнение λ2 +1 = 0 имеет чисто мнимые корни λ1 = i , λ2 = −i . Значит, общее решение соответствующего однородного уравнения запишется так:

y = C1 sin x +C2 cos x .

Частное решение исходного уравнения будем искать в виде ϕ(x) = x( Asin x + Bcos x) . Подстав-

Значит, ϕ(x) = −x cos x . Общее решение имеет вид

y = C1 sin x +(C2 − x) cos x ;