Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
1.Методом Эйлера найти значения соответствующих частных решений в указанных точках:
а) y′ = x , y(0) = 0 ; найти y(1) .
б) y′ = x + y , y(1) =1 ; найти y(2) .
2.Найти общие и особые решения следующих дифференциальных уравнений:
′ 2 |
= 4 y |
3 |
; |
′ 3 |
+ y |
2 |
′ |
′ |
+1) . |
а) ( y ) |
|
б) ( y ) |
|
= yy ( y |
|
3.Решить следующие дифференциальные уравнения:
а) y2 +1dx = xy dy ; |
б) 2x2 yy′+ y2 = 2 ; |
в) y − xy′ =1 + x2 y′.
4.Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям, для задач из пунктов в), г), кроме того, построить соответствующие интегральные кривые:
а) |
(x2 −1) y′+ 2xy2 = 0 , |
y(0) =1 ; |
||
б) |
y′ ctg x + y = 2 , |
π |
|
= 0 ; |
y |
|
|||
|
|
3 |
|
|
в) |
y′ = |
3 3 y2 , |
y(2) = 0 ; |
г) |
xy′+ y = y2 , |
y(1) = 0,5 ; |
|
д) |
x 1 |
− y2 dx + y 1 − x2 dy = 0 , y(0) =1 . |
|
5.Решить следующие линейные уравнения:
а) |
y = x( y′− x cos x) ; |
|
б) |
y′+ 2 y = x2 + 2x ; |
|
||||||||||||||||
в) |
x |
2 |
y |
′ |
+ xy +1 |
|
|
г) |
y |
′ |
+ y tg x |
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
= 0 ; |
|
= cos x |
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
д) y′+ 2xy = 2xe−x 2 ; |
|
е) (2x + y)dy = ydx + 4 ln ydy . |
|||||||||||||||||||
6. |
|
Решить следующие уравнения вида y′ |
|
|
|
y |
|
||||||||||||||
|
= f |
|
|
|
|
(однородные уравнения первого порядка), при- |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
меняя подстановки y = ux или x = uy : |
|
|
|
x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а) y′ = |
|
|
y |
б) y′ = − |
x + y |
; в) y − xy′ = y ln |
|
x |
|
||||||||||||
|
|
|
−1 ; |
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
x |
x |
y |
|||||||||||||||||
7.Решить следующие уравнения методом Бернулли:
а) xy′− 2 y = 2x4 ; |
б) y′+ (x +1) y = 3x2 e−x ; |
||
в) y′ = |
1 |
. |
|
x cos y +sin 2 y |
|
||
8.Интенсивность выпуска y = y(t) при условии ненасыщаемости потребителя удовлетворяет уравнению вида y′ = ky , где k – некоторая константа. Определить:
а) на сколько процентов вырастет выпуск за год, если рост за первые три месяца составил 3%; б) каков должен быть ежемесячный рост, чтобы рост за год составил не менее 25%?
9.Предположим, что скорость изменения цены p = p(t) пропорциональна разнице между спросом и предложением: p′= γ(d − s) . Исследовать поведение p(t) при t → +∞ в зависимости от на-
чальной цены p0 = p(0) , если спрос и предложение линейно зависят от цены: d =100 −10 p , s =10 + 20 p . Найти явное выражение для p(t) .
10.(Неоклассическая модель роста). Пусть Y = 
KL – национальный доход, где K – объем капиталовложений (фондов), L – величина затрат труда. Предположим, что
1)происходит естественный прирост трудовых ресурсов, т.е. L′ = αL , α = const ;
2)инвестиции направлены как на увеличение производственных фондов, так и на амортизацию, т.е. I = K′+βK , l – норма амортизации;
3)инвестиции прямо пропорциональны национальному доходу, т.е. I = lY , где l – норма инвестиций.
После преобразований получается уравнение
k' = l 
k −(α+β)k ,
где k = KL . Найти решение полученного уравнения.
11.Предположим, что скорость изменения выпуска продукции пропорциональна прибыли, т.е. q′= α( pq −c) , где p – цена продукции, а c – затраты. Пусть α = 0,2 , выпуск и цена
связаны зависимостью |
p =10 − q , а функция затрат имеет вид c =βq +4 , где β – посто- |
|
янный коэффициент. Найти q = q(t) при следующих значениях β: |
||
а) β = 6 ; |
б) β =10 ; |
в) β = 5 . |
Исследовать найденные функции.
§ 3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
h Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение вида |
|
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 |
(1) |
называется уравнением в полных дифференциалах, если выражение, стоящее в левой части, является дифференциалом некоторой функции F(x, y) :
dF(x, y) ≡ M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 .
Для нахождения решения уравнения в полных дифференциалах необходимо найти функцию F(x, y) и записать решение y(x) или x( y) в неявном виде F(x, y) = C , где C − произвольная посто-
янная.
Запишем систему уравнений для нахождения F(x, y) . В силу того, что выражение M (x, y)dx + N (x, y)dy является дифференциалом функцииF(x, y) : dF = Fxdx + Fydy , получаем
Fx = M (x, y),Fy = N (x, y).
Условием совместности данной системы является равенство смешанных производных Fxy = Fyx , что приводит к условию
M y (x, y) = N x (x, y) , |
(2) |
при выполнении которого уравнение (1) является уравнением в полных дифференциалах
П ри ме р ы
1.Решить уравнение 3y2e3xdx + 2 ye3xdy = 0 .
Р е ш е н и е . Проверим выполнение условия (2): M y (x, y) = (3y2e3x ) y = 6 ye3x и
N x (x, y) = (2 ye3x ) y = 6 ye3x , откуда M y (x, y) = N x (x, y) . Следовательно, рассматриваемое уравнение
является уравнением в полных дифференциалах. Далее найдемF(x, y) как решение соответствующей системы:
Fx = 3y2e3x ,
F = 2 ye3x .
y
Проинтегрируем первое уравнение системы по x , считая переменную y произвольно фиксированной:
F(x, y) = ∫3y2e3xdx = 3y2 ∫e3xdx = y2e3x +C( y) .
Заметим, что произвольная постоянная интегрирования, вообще говоря, зависит от переменной y и, следовательно, является некоторой неизвестной функцией C( y) . Подставим найденную функцию
F(x, y) во второе уравнение системы: Fy = 2 ye3x + C′y ( y) = 2 ye3x . Тогда для C( y) получим уравнение C′y ( y) = 0 , решением которого является произвольное число, например C( y) = 0 .
Таким образом, F(x, y) = y2e3x . Решение уравнения запишем в неявном виде y2e3x = C или яв-
но y(x) = ±Ce−3x .
2.Решить уравнение
( y cos(xy) + 4x)dx +(x cos(xy) − y)dy = 0 . |
||||||||||||||
Р е ш е н и е . Нетрудно убедиться, |
что и в |
|
этом |
|
случае условие (2) выполнено: |
|||||||||
M y = N x = cos(xy) − xy sin(xy) . Запишем систему для F(x, y) : |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
F |
= y cos(xy) + 4x, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fy = x cos(xy) − y. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интегрируем первое уравнение системы, считая y фиксированной: |
||||||||||||||
F(x, y) = ∫( y cos(xy) + 4x)dx = sin(xy) + 2x2 +C( y) , |
||||||||||||||
где C( y) неизвестная функция. Подставим найденную F(x, y) |
во второе уравнение системы: |
|||||||||||||
Fy = x cos(xy) +C′y ( y) = x cos(xy) − y . Следовательно, получаем уравнение для C( y) : C′y ( y) = y , |
||||||||||||||
решение которого имеет вид C( y) = |
1 |
y |
2 |
+C . Положим для удобства C = 0 и запишем полученную в |
||||||||||
2 |
|
|||||||||||||
итоге функцию F(x, y) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x, y) = sin(xy) + 2x |
2 |
− |
1 |
y |
2 |
. |
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение уравнения запишем в неявном виде sin(xy) + |
2x |
2 |
− |
1 |
y |
2 |
= C , где C − произвольная по- |
|||||||
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стоянная.
h Интегрирующий множитель
Интегрирующим множителем уравнения (1) называется такая функция µ(x, y) ≠ 0 , после умножения на которую уравнение (1) становится уравнением в полных дифференциалах.
Теорема. Если существуют непрерывные частные производные первого порядка функций M (x, y) и N (x, y) , то интегрирующий множитель µ(x, y) уравнения (1) существует.
Задача о нахождении интегрирующего множителя в общем случае приводит к следующему уравнению
(µ(x, y)M (x, y))y = (µ(x, y)N (x, y))x .
Здесь записано условие (2) для домноженного на µ уравнения (1). Однако полученное уравнение оказывается, вообще говоря, сложнее первоначальной задачи. На практике интегрирующий множи-
тель не вычисляют, а подбирают. Идея подбора заключается в нахождении новых переменных, для которых уравнение "сворачивается" в полный дифференциал. Здесь могут оказаться полезными следующие формулы:
x2 |
|
|
dx |
|
|
xdx = d |
|
|
, |
|
= d ln x , ydx + xdy = d (xy) , |
|
|
||||
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
ydx − xdy = y2d |
|
,.. |
|
||
|
|
|
|
y |
|
П ри ме р ы
3.Решить уравнение (x + y)dx − xdy = 0 .
Ре ш е н и е . Данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, т.к. условие (2) не выполняется: M y =1, N x = −1, M y ≠ N x . Определим интегрирующий множитель сле-
дующим образом. Раскроем скобки в левой части уравнения и перегруппируем слагаемые:
xdx + (ydx − xdy)= 0 . |
|
|
|
|
|
x |
|
Заметим, что слагаемые в скобках образуют |
ydx − xdy = y2d |
|
. Подставим в исходное уравнение и |
|
|||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
получим: xdx + y |
|
d |
|
= 0 . Таким образом, образовалась новая переменная z = |
|
. Заменим пере- |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
менные x, y на x, |
z . Для этого необходимо все уравнение разделить на x2 |
или, что то же самое, ум- |
|||||||||||||||||
ножить на интегрирующий множительµ(x, y) = |
1 |
|
. Получим: |
|
|
|
|
||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
y 2 |
|
x |
1 |
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
d |
|
= 0 d ln x + |
|
|
|
dz = 0 d ln x −d |
= 0 , |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
z |
|
z |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
= dF(x, y) = 0 . Следовательно, решение можно записать в виде |
|
|
|||||||||||||||
откуда d ln x − |
|
|
|
||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x − |
1 |
= C , |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
где C − произвольная постоянная. Возвращаясь к переменным x и |
y , получим окончательный от- |
||||||||||||||||||
вет, переобозначая произвольную константу C → −C , |
|
|
|
|
|||||||||||||||
y= x ln x +Cx .
За м е ч а н и е 1. Исходное уравнение могло быть решено быстрее и проще, если воспользо-
ваться не формулой ydx − xdy = y2d xy , а ее аналогом
ydx − xdy = −(xdy − ydx)= −x |
2 |
|
y |
|
|
d |
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
Тогда уравнение приобретает вид
xdx − x2d xy = 0 ,
что приводит к разделению новых переменных путем домножения на интегрирующий множитель µ(x, y) = x12 :