Курс теоретической механики 2007 (Рус)

формул (43) при замене Fk на Pk :

§ 4. Статические моменты

Величины, стоящие в числителях формул (44), называются

статическими моментами, т.е.

Тогда (44) можно записать так:

Свойства статических моментов.

1. Если тело состоит из нескольких тел, то статический момент тела равен сумме статических моментов этих тел.

Доказательство следует из того факта, что разбиение тела в этом случае на элементарные массы можно произвести путем разбиения на элементарные массы отдельных тел, образующих данное тело.

2. Если известны координаты центра тяжести тела, то его статические моменты можно определить из формул

Эти формулы вытекают из формул (46).

§ 5. Центры тяжести симметричных тел

Теорема. Если тело имеет плоскость (либо ось, либо центр) материальной симметрии, то центр тяжести тела лежит на этой плоскости (на этой оси, в этом центре).

51

Доказательство. Доказательство проведем для случая наличия у тела плоскости материальной симметрии Π (в остальных случаях доказательство проводится аналогично). Так как центр тяжести тела не

Таким образом, система параллельных сил тяжести элементарных масс тела эквивалентна плоской системе параллельных сил, расположенных в плоскости симметрии. Следовательно, равнодействующая сил тяжести элементарных масс тела будет лежать в плоскости симметрии,

а значит, там же будет находиться и центр тяжести тела.

Следствие. Цетр тяжести шара находится в его центре, а центр тяжести параллелепипеда – в точке пересечения его диагоналей.

§6. Методы определения положения центра тяжести

1.Метод эквивалентных точек.

52

тов, получаем

Здесь Pk – вес каждого из тел, а хk – координата его центра тяжести. Подставляя (49) в (48) (а также аналогичные формулы для других статических моментов), а затем в (46) , находим

Эти формулы совпадают с (44), однако в них m << n, так как m невелико, а п должно большим для достижения нужной степени точности определения положения центра тяжести.

Формулы (50) останутся неизменными, если исходное тело заменить системой тяжелых точек, расположенных в центрах тяжести тел, составляющих это тело, и имеющих веса, совпадающих с весами соответствующих тел. Эти точки называются эквивалентными, откуда

иберет название метод.

2.Метод отрицательных весов.

Этод метод используется при нахождении центра тяжести тел, имеющих полости или отверстия (рис.49). Мысленно дополняем тело до сплошного и считаем его первым составляющим телом, а тела, заполняющие пустоты , считаем имеющими отрицательные веса. После этого используется метод эквивалентных точек.

Рис.49

53

du

производная вектор-функции и(t) направлена вдоль dt

касательной к годографу.

Свойства производной вектор-функции.

1.Производная постоянной по величине и направлению век- тор-функции равна 0.

2.Производная суммы вектор-функций равна сумме их производных:

3. Производные произведения скалярной функции λ(t) на вектор-функцию u(t), а также производные скалярных и векторных произведений двух вектор-функций u(t) u v(t)

определяются по следующим формулам:

d[u, v] = [du , v]+[u, dv ].

4. Проекция производной вектор-функции на какую либо ось равна производной проекции вектор-функции на эту ось:

Первые три свойства аналогичны соответствующим свойствам производных скалярных функций и их доказательства проводятся так же. Поэтому приведем только доказательство четвертого свойства.

Представим вектор-функцию u(t) в следующем виде:

Здесь ux(t), uy(t) и uz(t) – проекции вектор-функции u(t) на оси координат, а i, j и k – орты этих осей, т.е. постоянные векторы.

Дифференцируя (5) по t и используя свойства 1 - 3, будем иметь

Спроектировав теперь (6) на ось z, получим (4).

55

§ 2. Способы задания движения точки

Движение точки считается заданным, если исходя из заданных величин и соотношений между ними, можно определить положение точки в любой момент времени.

Координатный способ.

При координатном способе задания движения точки задаются:

1.система координат (как правило прямоугольная),

2.координаты точки как функции времени:

уравнениями движения точки.

Нетрудно убедиться, что при этом можно определить положение точки в любой момент времени t1 .

Действительно, подставляя

t1 в функции f1 ( t ) , f2 ( t ) и f3 ( t ), получаем значения координат

точки, которые однозначно определяют ее положение.

Рис.2

Траекторией называется линия, которую описывает точка в процессе движения.

Заметим, что уравнения (7) являются уравнениями траектории точки в параметрической форме. Для нахождения уравнений

траектории точки в аналитической форме необходимо исключить параметр t из уравнений движения (7).

Естественный способ.

Натуральной координатой s точки М на кривой называется длина

отрезка дуги кривой между началом отсчета О и этой точкой, взятая с соответствующим знаком (рис.3, на этом рисунке s > 0).

Рис.3

56

момента времени t до момента времени t+ t называется вектор, соединяющий два положения точки – М в начале и М1 в конце этого промежутка времени (рис.5).

Средней скоростью точки за промежуток времени t называется

вектор, равный отношению вектора перемещения к продолжительности промежутка:

Скоростью точки в данный момент времени называется предел средней скорости точки при стремлении к нулю промежутка времени t, т.е.

при |ММ1|→0) является касательная τ, то

вектор скорости точки V направлен по касательной к траектории точки

называется разность двух скоростей точки – V1 (в конце

промежутка) и V(в начале промежутка):

V = V1 – V.

Средним ускорением точки за промежуток времени t

называется вектор, равный отношению вектора приращения скорости точки к продолжительности промежутка:

Рис.6

58

Подставив (16) в (14), будем иметь

т.е. ускорение точки равно второй геометрической производной

радиус-вектора точки по времени.

§ 6. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

Спроектируем равенство (16) на оси координат и воспользуемся соотношениями

x = прx r, y = прy r, z = прz r

(r – радиус-вектор точки М, х,у,z – ее координаты), а также свойством 4 производной вектор-функции. В результате получим

(Vx = прx V, Vy = прy V, Vz = прz V, точка означает дифференцирование по времени), т.е.

проекции скорости точки на оси координат равны производным соответствующих координат точки по времени.

Абсолютная величина скорости определяется по формуле

а направление определяется направляющими косинусами

60