Курс теоретической механики 2007 (Рус)

Поэтому

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел, составляющих систему

Т = Т1 + Т2 + Т3 + Т4 + Т5 .

Здесь Т1 и Т2 − кинетические энергии грузов, Т3 , Т4 и Т5 − кинетические энергии блоков.

Предположим, что груз 1 перемещается вверх со скоростью V1 , а груз 2 − влево со скоростью V2. Кинетическая энергия грузов определяется по формуле

Подвижный блок совершает плоскопараллельное движение. Его кинетическая энергия определяется по формуле (144)

22

Здесь VC − скорость центра C блока, ω3 − его угловая скорость, момент инерции Jz определяется по формуле

Обозначим через А и В точки обода блока, которые лежат на одном горизонтальном диаметре. Точки А, В и С лежат на одной прямой, а следовательно, их скорости изменяются по линейному закону (§5 главы IV части II), т.е.

где K − мгновенный центр скоростей блока.

По известному свойству пропорции из (219) следует

191

Кинетическая энергия неподвижных блоков определяется по формуле

Таким образом, кинетическая энергия системs определяется так

192

Это и есть ускорение грузов. Знак «минус» при &x&1 означает, что груз 1 движется вниз, а не вверх, как предполагалось.

193

Рекомендуемая литература

1.Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. Руководство к решению задач по теоретической механике.− М.: Высш. шк., 1961.

2.Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая ме-

ханика в примерах и задачах (в 3 т.). − М.: Наука, 1972 − 1973.

3.Березова О.А., Солодовников Р.В., Друшляк Г.Ю. Збірник задач з теоретичної механіки. − К.: Вища школа, 1975.

4.Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической

механики (в 2 т.). − М.: Наука, 1979.

5.Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики (в 2ч.)

−: Наука, 1972.

6.Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики.− М.: Изд−во МГУ, 1992.

7.Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики (в 2 т.).− М.: Наука, 1972-1977.

8.Кириллов В.Х., Д.Д. Лещенко. Курс теоретической механики.

−Одесса: Изд-во ОДАБА, 2002.

9.Кошляков В.Н. Краткий курс теоретической механики. Кине-

матика, кинетика.− К.: Вища шк., 1993.

10.Лойцянский Л.Г., Лурье А.И.. Курс теоретической механики (в 2 т.).− М.: Наука, 1982.

11.Маркеев А.П. Теоретическая механика.− М.: Наука, 1990.

12.Никитин Н.Н. Курс теоретической механики.− М.: Высш. шк.,

1990.

13.Павловский М.А., Акинфиева Л.Ю., Бойчук О.Ф. Теоретичес-

кая механика. Статика. Кинематика.− К.: Вища шк., 1989.

14.Павловский М.А., Акинфиева Л.Ю., Бойчук О.Ф. Теоретическая механика. Динамика.− К.: Вища шк., 1990.

15.Павловский М.А., Путята Е.В. Теоретическая механика. − К.: Рад. шк., 1985.

16.Путята Т.В., Фрадлін Б.Н. Методика розв’язування задач з те-

оретичної механіки.− К.: Рад. шк., 1952.

17.Старжинский В.М. Теоретическая механика: краткий курс по полной программе вузов.− М.: Наука, 1989.

18.Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теретической меха-

ники.− ч.1. Статика. Кинематика.− М.: Высш. шк., 1977.

19.Яблонский А.А. Курс теретической механики.− ч.2. Динамика.

−М.: Высш. шк., 1977.

194

Д О Б А В Л Е Н И Я

_____________________________________________________________

Добавление 1. Проекция вектора на ось.

Начнем с определений проекций точки на ось и на плоскость. Поскольку эти определения аналогичны, мы их объединим в одно.

Проекцией точки А на ось (плоскость) называется основание а перпендикуляра, опущенного из точки на эту ось (плоскость) (рис.1 а) и б)).

Рис.1

Проекцией вектора на ось называется скаляр (т.е. число), равный длине отрезка ab, соединяющего проекции начала А и конца В вектора на эту ось, взятой с соответствующим знаком (рис.2). Если придать отрезку ab направление, соответствующее направлению вектора (т.е. от точки а к точке b), то знак проекции выбирается следующим образом:

если направление отрезка ab совпадает с направлением оси, то

проекция имеет знак "плюс", если же это направление противоположно направлению оси, то проекция имеет знак "минус".

Будем обозначать проекцию вектора F на ось х символами прхF или Fх. Таким образом,

Так как треугольник АВВ1 прямоРис.2 угольный и АВ1 = ab является прилежащим к углу α катетом

(рис.2), то |ab| = F cos α, т.е.

195

По аналогии с силой будем называть линией действия вектора прямую, на которой этот вектор расположен (для свободного вектора в качестве линии действия можно взять любую прямую, которой этот вектор параллелен).

Тогда из (2) следует, что проекция вектора на ось равна

произведению величины вектора на косинус угла между линией действия вектора и осью, взятому с соответствующим знаком.

Рассмотрим два частных случая.

1. Линия действия вектора перпендикулярна оси. В этом случае точки а и b совпадают (рис.3а) и следовательно,

если линия действия вектора перпендикулярна оси, то проекция вектора на ось равняется нулю.

2. Линия действия вектора параллельна оси. Очевидно |ab| = F

(рис.3б), т.е. величина проекции равна величине вектора. В этом случае говорят, что вектор проектируется на ось в натуральную величину:

Таким образом, если линия действия вектора параллельна оси (в

частности, если он лежит на оси), то вектор проектируется на ось в натуральную величину, при этом проекция имеет знак "плюс", если направление вектора совпадает с направлением оси, и знак "минус", если эти направления противоположны.

Рис.3

196

Теорема. Проекция геометрической суммы векторов на какую-либо

ось равна сумме проекций векторов на эту ось.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай двух векторов F1 и F2, проекции которых на ось х положительны (рис.4а). Отложим вектор F1 из произвольной точки А, а затем из конца В этой вектора отложим вектор F2. Вектор G, соединяющий начало А вектора F1 с концом С вектора F2 представляет собой геометрической сумму векторов F1 и

F2.

Из чертежа следует, что |ac| = |ab| + |bc|. Но |ac| = прхG, |ab| = прхF1, |bc|= прхF2. Таким образом,

Если же проекция одного из векторов, например F2 отрицательна (рис. 4б), причем |ab| > |bc|, то

Но в этом случае прхG=|ac|, прхF1= =|ab|, прхF2 =– |bc| и из (6) снова получаем (5). Легко убедиться, что в остальных мыслимых случаях двух векторов равенство (5) имеет место.

Пусть теперь равенство аналогичное (5) имеет место для случая п векторов, т.е.

Покажем, что такое же равенство справедливо и для случая п+1

откуда и следует, что

197

что и требовалось. Теорема доказана.

Добавление 2. Проекция вектора на плоскость.

Проекцией вектора на плоскость называется вектор, соединяющий проекцию начала с проекцией конца вектора на эту плоскость

(рис.4).

Проекцию вектора F на плоскость хОу будем обозначать символом Fху , а ее вличину – символом Fху. Очевидно (рис.5)

где β – угол между направлением вектора и направлением ее проекции.

Рис.5

Из формулы (8) следует, что

1.если линия действия вектора перпендикулярна плоскости, то проекция вектора на плоскость равна нулю,

2.если линия действия вектора параллельна плоскости (в частности, если вектор лежит в плоскости), то проекция вектора на плоскость равна этому вектору.

198

200