пособие мат.моделирование

2 ) решение у =у(х) представляет собой изолированный корень уравнения G(;t,y) = 0 (в окрестности этого корня нет других корней);

3)решение у = у(х) является устойчивой изолированной осо­ бой точкой присоединенного уравнения при всех значениях jc;

4)начальные условия у 0попадают в область влияния устойчи­ вой особой точки у = y(jc0).

Число начальных условий вырожденной системы меньше, чем полной: начальные значения быстрых переменных не использу­ ются в вырожденной системе. Согласно теореме Тихонова, если выполняется условие 3, результат не зависит от начальных усло­ вий для переменных присоединенной системы.

Таким образом, необходимым условием редукции полной системы является наличие малого параметра г при производной

водном из уравнений системы.

Внашем примере реакции Михаэлиса — Ментен условия

теоремы Тихонова для системы (73) выполняются при малых е = е0/ s0 «: 1 .

Во многих реальных реакциях это условие также выполняется

изначения 8 лежат в диапазоне КГ7 < 8 < 1 0 ”2.

Всоответствии с этой теоремой мы можем формально поло­

жить е = 0 и заменить присоединенное уравнение для у в пол­ ной системе (73) алгебраическим уравнением (75), определяю­ щим «квазистационарные» концентрации ферментсубстратного комплекса.

Таким образом, вырожденная (редуцированная) система имеет

х

У= -------• jc+ y

Подставив выражение для у в дифференциальное уравнение для х и учтя, что у = а + р, получим

jc (0) = 1.

Решение редуцированной системы (76) представлено на рис. 23 в сравнении с решением полной системы (73). Видно, что наибольшие отличия решений наблюдаются в течение начального промежутка времени, поскольку в полной и вырожденной систе­ мах не совпадают начальные условия для у: в полной системе у(0 ) = 0 , а в вырожденной системе в силу соотношения (75) при х(0 ) = 1 имеем

Несовпадение начальных условий является «платой» за пони­ жение порядка системы ОДУ в редуцированной системе при замене одного из ОДУ полной системы алгебраическим уравне­ нием (полагая г = 0 в системе (73)).

Тем не менее мы видим, что на продолжительном промежутке времени немного позднее начала реакции квазистационарное при­ ближение (решение вырожденной системы (76)) неплохо заменяет решение полной системы (рис. 23).

Кроме снижения порядка системы квазистационарное при­ ближение (76) выгодно также и с вычислительной точки зрения. Поскольку при его выводе уже учтены характеристические вре­ мена и особенности поведения быстрых и медленных переменных в системе (73), это позволяет обойти проблемы ее вычислительной жесткости, требующие применения неявных методов для эффек­ тивного численного решения таких систем.

Рассмотрим исходную систему в так называемом пограничном слое, т. е. при т ~ е. Выберем другой, более приемлемый масштаб времени вблизи т = 0. Для этого введем новую переменную о = т/е, тогда о ~ 1 .

Это преобразование означает, что масштаб времени в окрест­ ности т = 0 увеличен в 1 / г : » 1 раз, и тогда с о в качестве независи-

То есть два псевдорешения «сшиваются» и их можно исполь­ зовать вместо решения общей системы уравнений.

Решение в форме (81), для которого соответствующий масштаб времени есть о = т/в и которое удовлетворяет начальным условиям при а = т = 0 , называется внутренним решением, или сингуляр­ ной частью решения, тогда как решение в форме (82), соответст­ вующее значениям 0 т «: оо, называется внешним решением или несингулярной частью решения.

Внутреннее решение применимо для 0 < т / е оо, когда экспо­ нента е~{1+у)х1ев уравнении (81) существенно отлична от 1. При 6 1 это очень короткое время. В плоскости (т, у) это узкая по т область, где концентрация ферментсубстратного комплекса изменяется очень быстро (рис. 23, слева от пунктирной линии). Эта узкая область называется сингулярным слоем.

Возвращаясь к биологическому смыслу проведенного выше анализа, обратим внимание, что биологи долго не предполагали существования промежуточного состояния ферментсубстратного комплекса, участвующего в преобразовании субстрата в продукт, поскольку быстрые изменения его концентрации происходят, вообще говоря, прежде, чем начинаются какие-либо эксперимен­ тальные измерения. Поэтому биологов, как правило, устраивает псевдостационарное решение, хорошо согласующееся с результа­ тами экспериментальных наблюдений.

Первоочередной интерес для биологов представляет опреде­ ление скорости реакции, которое в эксперименте обычно измеря­ ется в моменты времени, выходящие за рамки действия внутрен­ него решения.

Напомним, что скорость реакции

(83)

Вернемся к размерным единицам и выразим с через s\

х

с = е0 -У = е0 -

х + у

S / S(

поскольку предполагается, что промежуточная стадия субстратферментного комплекса в каждый момент времени находится в стационарном состоянии.

Формула скорости реакции

является классической формулой Михаэлиса — Ментен в фермен­ тативной кинетике.

Величина Кт в (87) соответствует концентрации субстрата, при которой скорость v равна половине максимальной, т. е. при s = Кт v = 1/2 *vmax. В то же время из формулы (84) следует, что при s = Кт с = 1/2 *е0, т. е. величина Кт дает концентрацию суб­ страта, при которой половина фермента находится в состоянии комплекса с субстратом. Другими словами, Кт отражает чувст­ вительность (сродство) фермента к субстрату. Чем она выше, тем

2)инвертирует эти значения и получает точку на координат­ ной плоскости (I/5 , 1/v);

3)проделывается это несколько раз при разных величинах 5;

4)по полученным точкам, например методом наименьших квадратов, строит прямую;

5)для этой прямой определяет оценки значений Кти vmax. Формально формулу (88) можно было получить, опираясь на

соотношение (аналогичное соотношениям (60) и (63)), вытекаю­ щее из предположения стационарности промежуточной реакции образования ферментсубстратного комплекса. В соответствии с этим приравняем к нулю правую часть уравнения для концентра­ ции комплекса в системе (68):

Получим

kx e s-{k_\ +k2) c = 0,

откуда следует соотношение для стационарных концентраций

(89)

Учтя определения (83) и (86), а также равенство е0 = с + е, выпишем соотношение для величины vmax/v:

Преобразуем последнее слагаемое и воспользуемся соотноше­ нием (89):

Осталось поделить обе части равенства на vmax, чтобы полу­ чить формулу (88). Имея это соотношение, легко перейти к исход­ ным координатам (s, v) и получить формулу (87) для скорости реакции v.

Далее мы будем пользоваться этим приемом для выведения формул скорости реакции в более сложных случаях. При этом мы будем предполагать, что проведен анализ характеристических вре­ мен в системе и обоснована возможность перехода к псевдостационарной системе, для которой справедливы стационарные соотно­ шения типа (89).

3.2.Нелинейные эффекты

вферментативной кинетике

3.2.1. Конкурентное ингибирование

Рассмотрим несколько более сложную ситуацию, чем в реак­ ции Михаэлиса — Ментен. Пусть, как и раньше, фермент Е имеет один связывающий центр, за который конкурируют два вещества со сходной структурой — субстрат S и ингибитор /. Когда ингиби­ тор связывается с ферментом, образования продукта не происхо­ дит, что приводит к уменьшению скорости реакции или, другими словами, ингибированию (inhibition, т. е. подавление) функции фермента [24].

Схема реакции может быть представлена в виде

Используем аналогичные обозначения, как и в предыдущем параграфе, с учетом существования двух видов комплекса фер­ мента с субстратом ES и ингибитором EI:

^ = [5], / = [/], е = [Е1 с, = [ESI с2 = [EII р = [Р].

Применение закона действующих масс дает следующие кине­ тические уравнения:

Здесь, как и в уравнениях для реакции Михаэлиса — Ментен, концентрация продукта также может быть легко найдена, если известна концентрация комплекса с,.

Уравнение сохранения для фермента е получаем, складывая уравнения для сг с2 и е й учитывая начальные условия:

ной в уравнениях для концентраций ферментсубстратных ком­ плексов, как это было сделано ранее для исходной реакции Михаэлиса — Ментен.

По теореме Тихонова эти уравнения можно заменить алгеб­ раическими. Сделаем это сразу для исходных уравнений для