пособие мат.моделирование

Теперь искомыми величинами являются J xи Jr

С учетом того что мы отбросили индекс *, граничные условия записываются следующим образом:

с2 (0 ) = с,(0 ) = с,., с2 (1 ) = с,(1 ) = с0, Ф(0 ) = v, ф(1 ) = 0 .

Рассмотрим две аппроксимации, учитывающие особенности каналов.

Короткий канал или низкие концентрации ионов. Если канал короткий (т. е. L — малая величина) или концентрации ионов по обе стороны мембраны низкие (т. е. с — малая величина), то можно принять X 1 .

Тогда положим X = 0, что дает

^1 = 0 .

dx

Имеем ф = их + Ь. Учитывая граничные условия, получим

dip _ dx

То есть аппроксимация X » 0 дает постоянный градиент элек­ трического потенциала, т. е. выполнение условия постоянного поля, которое приводит к уравнению ГХК, как мы видели раньше.

Уравнение для схв системе (191) принимает вид

^ - v c , + 7 , = 0 . dx 1 1

Решая линейное ОДУ относительно ср получим

сх= — + AT,exp(vjc), v

где У, и К хнаходятся из граничных условий с,(0) = с, и с,(1) = со:

с ,.= ^ + К„

V

се = ^ - +К / ,

V

откуда получим

7 С( - С ле

*/, = V—

\ - e v

Если вернуться к размерным величинам и перейти к электри­ ческому току. С учетом того, что z = 1, то, как и ожидалось, полу­ чим в точности уравнение ГХК

RT

Так же можно получить выражение для ионов S2, но с учетом z = - 1 .

Таким образом, уравнение ГХК применимо для описания ВАХ ионных токов через канал в случае короткого канала и/или низких концентраций иона.

Длинный канал. Обозначим ц= 1/Х и перепишем уравнение

(191)с параметром ц:

2 < /2ф

Для длинного канала г| * 0. Вообще говоря, исходя из этого, было бы некорректным прямо перейти к псевдостационарному уравнению с, - с2 = 0 , поскольку замена левой части уравнения на ноль понижает порядок системы и граничные условия, заданные

Видно, что мы получили линейную зависимость ионного потока от мембранного потенциала. Отсюда, перейдя к размер­ ным величинам и домножая на постоянную Фарадея, мы получим линейную зависимость для ВАХ канала.

Итак, для протяженных каналов более корректной аппрокси­ мацией ВАХ является линейная.

В обоих рассмотренных случаях концентрация с монотонно возрастает в толще канала, а значение ср потенциала, напротив, монотонно убывает в направлении «изнутри — наружу». Однако в первом случае линейной является зависимость ф(х), а во вто­ ром — зависимость с(х).

Отметим, что при анализе ВАХ мы использовали особенно­ сти электродиффузии внутри канала в толще мембраны. Однако сами полученные зависимости (и линейная, и ГХК) определяют ток сквозь мембрану уже как функцию состояний (потенциалов и концентраций) только на границе мембраны. Это позволяет во многих более сложных интегративных моделях клеточного гомео­ стаза пренебрегать толщиной мембраны и процессами, происхо­ дящими в ее толще, рассматривая ее упрощенно, как тонкую (не имеющую поперечного размера) пленку, отделяющую клетку от внешней среды.

7.3. Потенциал действия. Модель Ходжкина — Хаксли

7.3.1. Потенциал действия

Мы уже видели, что мембранный потенциал — один из ключе­ вых участников клеточного гомеостаза, который участвует в орга­ низации потоков ионов через мембрану. В ряде случаев наиболее важная регуляторная роль мембранного потенциала — передача сигнала от клетки к клетке или внутрь клетки.

Внастоящее время общепризнанно, что распространение воз­ буждения в нервных и мышечных волокнах обусловлено электри­ ческим током. Возбужденный участок волокна становится генера­ тором электрического тока. Этот ток, возбуждая соседние участки, заставляет их, в свою очередь, генерировать ток, который перево­ дит в возбужденное состояние новые участки, и т. д.

Ввозбудимых клетках разность потенциалов на мембране может существенно изменяться в ответ на действие электри­ ческого тока. Это изменение разности потенциалов называется потенциалом действия (ПД). Во всех возбудимых тканях потен­ циалы действия обеспечивают сигнализирующую функцию и во многих клетках функцию управления, например в клетках сердеч­ ной мышцы. В клетках рабочего миокарда ПД участвует в регу­ ляции силы сокращения, служит в качестве триггера — запускает функцию сокращения.

Будем возбуждать клетку электрическим током в виде кратко­ временного электрического импульса.

При определенных значениях электрического импульса вели­ чина изменения разности потенциалов на мембране будет тем больше, чем больше амплитуда импульса. Такие ответы — про­ порциональные импульсу и затухающие — называются градуаль­ ными. Если мы будем дальше увеличивать амплитуду импульса, то, начиная с некоторой величины мембранного потенциала, воз­ никает ответ по принципу «все или ничего», т. е. практически независимо от амплитуды стимула формируется характерный по форме и длительности ПД, а критический уровень изменения раз­ ности потенциалов, выше которого запускается этот ответ, назы­ вается пороговым уровнем. Малые изменения ПД к окрестности порогового уровня приводят к большим ответам (рис. 78).

Согласно закону «все или ничего» мембрана клетки воз­ будимой ткани либо практически не отвечает на стимул, либо отвечает с максимально возможной реакцией. То есть, если сти­ мул слишком слаб и порог не достигнут, потенциал действия не возникает; а если порог достигнут, то возникнет потенциал дей­ ствия, амплитуда которого практически не зависит от величины

Рис. 79. Потенциалы действия в различных сердечных клетках млекопитающих

Рассмотрим ПД, характерный для миокарда желудочка сердца (рис. 80).

Как мы уже ранее выяснили, в покое проницаемость мем­ браны для ионов К+ наибольшая по сравнению с проницаемостью к другим ионам. Поэтому потенциал покоя всех клеток близок по значению к равновесному потенциалу Нернста для ионов К+.

устремляются внутрь клетки (быстрый натриевый ток). При этом меняется заряд мембраны: внутренняя поверхность мембраны становится положительной, а наружная отрицательной. Вели­ чина мембранного потенциала изменяется от -90 до +30 мВ, т. е. происходит реверсия заряда — перезарядка мембраны. Продол­ жительность этой фазы составляет от долей миллисекунды до нескольких миллисекунд в различных типах возбудимых клеток, но не превышает 10 мс. Овершут — это часть ПД выше нулевого уровня. Во время овершута мембрана оказывается заряженной положительно.

Фа з а 1. Фаза начальной быстрой реполяризации. Реполя­ ризация — восстановление поляризации, т. е. исходной отрица­ тельной разности потенциалов. Как только величина потенциала достигает примерно +30 мВ, проницаемость мембраны для ионов Na+ существенно снижается, а для ионов К+ начинает постепенно увеличиваться, что обусловливает выход положительных зарядов из клетки и снижение мембранного потенциала в сторону нулевого значения разности потенциалов.

Фа з а 2. Фаза плато. В течение данной фазы величина потенциала снижается, но медленно, так что на кривой ПД наблю­ дается своеобразное плато. Эта фаза обусловлена одновременным противоположно направленным входом ионов Са2+ через кальци­ евые каналы и выходом ионов К+ через калиевые каналы. Про­ должительность этой фазы достаточно велика и может составлять 100-200 мс. В течение фазы мышечная клетка остается в возбуж­ денном состоянии.

Фа з а 3. Фаза поздней быстрой реполяризации. К началу третьей фазы резко, практически до исходного уровня, уменьша­ ется проницаемость клеточной мембраны для Na+ и Са2+ и значи­ тельно возрастает проницаемость для К+. Поэтому вновь начинает преобладать выведение ионов К+ наружу из клетки, что приводит

квосстановлению прежней поляризации клеточной мембраны, имевшей место в состоянии покоя: наружная ее поверхность вновь оказывается заряженной положительно, а внутренняя

поверхность — отрицательно. Мембранный потенциал достигает величины потенциала покоя.

Ф а з а 4. Потенциал покоя. Во время этой фазы происхо­ дит восстановление исходных концентраций ионов внутри и вне клетки благодаря действию различных механизмов активного транспорта, в частности Na+-K+-Hacoca (см. раздел 6). При этом мембранный потенциал мышечных клеток остается на уровне потенциала покоя, т. е. около -90 мВ.

Внекоторых клетках достижение порогового значения потен­ циала (следовательно, и генерация возбуждения) может происхо­ дить полностью за счет внутриклеточных процессов. В этом слу­ чае говорят, что клетка обладает спонтанной активностью.

Вклетках сердечной мышцы есть специализированные клетки водителей ритма — синусного узла, которые обладают авторитмической активностью, т. е. генерируют периодические колебания мембранного потенциала и тем самым задают ритм сердцебиения (см. рис. 79). В клетках синусного узла во время четвертой фазы происходит спонтанная диастолическая деполяризация мембраны,

врезультате которой достигается пороговый уровень потенциала, вслед за чем происходит генерация очередного импульса.

Сигнальная роль потенциала действия имеет две стороны. Во-первых, ПД, как правило, активирует основную функцию самой клетки (например, побуждает мышечную клетку к сокраще­ нию). Во-вторых, он позволяет возбуждению передаваться вдоль ткани — от одной клетки к другой (инициируя процесс возбужде­ ния как процесс горения).

Изучение генерации и распространения ПД является одной из центральных задач как экспериментальной, так и теоретической электрофизиологии в течение более чем 1 0 0 лет.

7.3.2. Модель Ходжкина—Хаксли

Алан Ходжкин и Эндрю Хаксли предложили математическое описание экспериментально наблюдаемой кинетики изменений натриевой и калиевой проводимости мембраны при различных сме­ щениях мембранного потенциала и построили модель генерации